考研概率论试题(数一,数三)(2).pdf

考研概率论试题（数一，数三）题目： (87,2 分) 设在一次试验中A 发生的概率为 p, 现进行 n 次独立试验 , 则 A至少发生一次的概率为 1(1) ;np而事件 A至多发生一次的概率为知识点：伯努利概型解答： 根据伯努利概型的概率计算公式，A至少发生一次的概率 1PA发生 0 次=11111553353238120而PA至多发生 1 次= PA 发生 0 次+PA 恰发生 1 次 = 000111(1)(1)nnnnC ppC pp = 1(1)(1)nnpnpp题目： (87,2) 三个箱子 , 第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球 , 第二个箱子中有 3个黑球 3 个白球 , 第三个箱子中有3 个黑球 5 个白球 . 现随机地取一个箱子 , 再从这个箱子中取出1 个球, 这个球为白000111(1)(1)nnnnC ppC pp球的概率等于53120，已知取出的球是白球 , 此球属于第二个箱子的概率为2053. 知识点：全概率公式和贝叶斯公式的应用解答： 记iA 取的是第 i 个箱子 )(i=1 ，2，3) ，B=从箱子中取出的是白球)，那么1231()()()3P AP AP A112233()() ()() ()()()P BP A P B AP A P B AP A P B A,22()()()P A BP A BP B,35()8P B A第一问由全概率公式，得112233( )() ()()()() ()P BP A P B AP A P B AP A P B A =11111553353238120第二问由贝叶斯公式，得22()()( )P A BP A BP B = 22112233() ()()()() ()() ()P A P B AP A P B AP A P B AP A P B A =11203253531201120325353120题目： (87,6 分) 设随机变量 X,Y 相互独立 , 其概率密度函数分别为1,01( )0,Xxfx其他,0( )0,0yYeyfyy求随机变量 Z=2X+Y的概率密度函数 . 知识点：二维随机变量（连续型）函数的分布答案：2001( )(1)0221(1)22zZZZfZeZeeZ解答：用“积分转化法”计算，因为(2)( , )hxy f x y dxdy =1120002(2)( )yzxxdxhxy e dydxh z e e dz =212220020( ( )( ( )zzxzxh z ee dx dzh z ee dx dz =2202( ( )(1)( )(1)22zzzeeh z edzh z edz所以2001( )(1)0221(1)22zZZZfZeZeeZ题目： (87,2 分) 已知连续型随机变量X 的概率密度为2211( )xxf xe,则 EX =1,DX =12知识点：正态分布的密度，期望和方差解答： 因2(1)1221( )()122xf xexR , 可见1(1, )2XN , 故1()1,()2E XD X . 题目： (88,2 分) 设三次独立试验中 , 事件 A出现的概率相等 , 若已知 A至少出现一次的概率等于1927, 则事件 A在一次试验中出现的概率为13. 知识点：伯努利概型解答：设在每次试验中A 出现的概率为户则19271927PA 至少出现 1次)= 1 一 PA出现 0 次=003 0331(1)1 (1)C ppp，解答：得13p。

题目： (88,2分)在区间 (0,1) 中随机地取两个数 , 则事件“两数之和小于65”的概率为1725. 知识点：几何概型解答： 设这两个数为 x 和 y，则(x ，y) 的取值范围为图11 中正方形 G ，那么满足 “两数之和65” 即 “x+y56”的(x ， y) 的取值范围为图 1-1 中阴影部分 D 本题为等概率型几何概率题，所求概率为DpG的面积的面积DpG的面积的面积. 而 G的面积为 l ，D的面积为2110.82=0.68, 故0.68p. 题目：(88,2 分)设随机变量 X服从均值为 10, 均方差为 0.02 的正态分布上 . 已知221( ),(2.5)0.99382uxxedu， 则 X 落在区间 (9.95, 10.05)内的概率为0.9876. 知识点：正态分布的概率计算解答： 由题意，2(10,0.02 ),XN故10(0,1)0.02XN , 因此9.95101010.0510(9.9510.05)()0.020.020.02XPXP =(2.5)( 2.5)2 (2.5)1 = 0.9876 题目： (88,6分) 设随机变量X的概率密度函数为21( )(1)Xfxx, 求随机变量Y=1-3X的概率密度函数( )Yfy . 解答： ：263(1)1(1) yyyR知识点：一维（连续型）随机变量函数的分布。

解答：31yx 的饭函数3( )(1)xh yy单调，故32( )( ( )( )(1)3(1)( 1)YXXfyfh y h yfyy = 263(1)1 (1) yy()yR . 题目： (89,2 分) 已知随机事件 A 的概率 P( A)=0.5, 随机事件 B的概率 P( B)=0.6及条件概率P( B| A)=0.8, 则和事件 AB的概率 P(AB)=0.7. 知识点：条件概率解答： ： 由 0.8()()()P ABP B AP A，得()()()P ABP B AP A()0.8( )0.80.50.4P ABP A故()( )( )()0.50.60.4P ABP AP BP AB=0.7 题目：(89,2 分) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 0.6 和0.5, 现已知目标被命中 , 则它是甲射中的概率为34. 知识点：条件概率定义式，时间和概率计算和独立性的应用解答：记 A=甲命中目标 )，B=乙命中目标 ，C=(目标被命中 )则由题意，知()0.5P B，()0.5P B，A与 B独立，且,CAB ACA, 从而()()()0.75()()P ACP AP A CP CP C题目： (90,2 分) 设随机事件 A,B 及其和事件 AB的概率分别是 0.4, 0.3 和 0.6,若B表示 B的对立事件 , 那么积事件 AB的概率 P( AB)=0.3. 知识点：概率的性质解答： ：由已知得0.6()( )( )()0.40.3()P ABP AP BP ABP AB0.6()( )( )()0.40.3()P ABP AP BP ABP AB即()0.1P AB. 故()()( )()P ABP ABP AP AB()()( )()P ABP ABP AP AB =0.3 题目：(90,2 分) 已知随机变量 X的概率密度函数| |1( )2xf xe,x, 则 X的概率分布函数102( )11,02xxexF xex当当知识点：密度求分布函数的公式解答：1( )( )2xxtF xf t dtedt。

当0 x时，111( )222xttxxF xe dtee；当0 x时00111( )1222xttxF xe dte dte题目： (90,2 分) 已知随机变量X 服从参数为2 的泊松分布 , 且胡机变量Z=3X-2, 则 EZ = 4. 知识点：期望的性质和泊松分布的期望题目： (90,6 分) 设二维随机变量 ( X,Y) 在区域 D ：0X1, | y| x 内服从均匀分布 , 求关于 X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1 的方差 DZ . 知识点：边缘分布的计算和方差的性质，计算解答： D 的面积（见图 4-1）为212112，故（ X,Y）的概率密度为1, (x,y)( , )0,Df x y其他关于 X的边缘概率密度为( )( , )Xfxf x y dy当01xx或时，( )0Xfx当01x时，( )12xXxfxdyx故2 , 01( , )0,xxf x y其他因而102()23E Xxxdx，12201()22E xxxdx所以1()18D X2()(21)9D ZDX题目： (91,3 分) 随机地向半圆 0y22axx (a 为正常数 )内掷一点 , 点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比. 则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4的概率为112. 知识点：几何概率解答：记图 1-2 中半圆区域为 G ，阴影部分区域为GS 和DS , 则222111a242GDSSaa，222111a242GDSSaa，所求概率为112DGSS. 题目： (91,6 分) 设二维随机变量 ( X,Y)的概率密度为(2)20,0( , )0,xyexyf x y其他求随机变量 Z=X+2Y的分布函数 . 知识点：二维（连续型）随机变量函数的分布解答： Z 的分布函数为2(2 )2200( )22zzyxyzxGF zedxdyedye dx2( )2( , )xyzF zP ZzP XYzf x y dxdy当0z时，( )0F z，当0z时，2(2 )2200220( )22 =(22)1zzyxyyxGzyzzzF zedydxedye dxeedyeze其中( , )2,0Gx y xyz z，故10()00ZZZeZeZFZZ题目： (91,3 分) 设随机变量X服从均值为2、方差为2的正态分布 , 且240.3,0PXP X则0.2 知识点：正态分布的计算题目： (92,3 分) 已知 P(A)=P( B)=P( C)=11,()0,()()416P ABP ACP BC, 则事件A、B、C全不发生的概率为38. 知识点：概率的性质和对偶原则解答： 因ABCAB, 故0()()0()0P ABCP ABP ABC，=0，从而所求概率为()1()P ABCP ABC()1()P ABCP ABC = 1( ()()()()()P AP BP CP ABP AC()()P BCP ABC= 712()()P BCP ABC题目： (92,6 分) 设随机变量 X与 Y相互独立 ,X 服从正态分布2( ,)N,Y 服从- , 上均匀分布 , 试求 Z=X+Y的概率分布密度 (计算结果用标准正态分布函数表示, 其中221( )()2txxedt. 知识点：二维（连续型）随机变量函数的分布：1 ()()2ZuZu解答：由题意， Y的概率密度为1 -y( )20Yfy，其他X的概率密度为22()21( )()2xXfxex由卷积公式的 Z 的概率密度为22()211( )22zyZfzedy作积分变量代换：zyt，得( )Zfz1 ()()2ZuZu题目： (92,3 分) 设随机变量 X服从参数为 1的指数分布 , 则2()xE Xe43. 知识点：指数分布的期望，函数的期望题目： (93,3 分) 一批产品有 10 个正品和 2 个次品 , 任意抽取两次 , 每次抽一个 ,抽出后不再放回 , 则第二次抽出的是次品的概率为16. 知识点：条件概率解答： 由抽签原理（抽签与先后次序无关） ，第二次抽得次品的概率和第一次抽到 c 次品的概率相同，都是16。

题目： (93,3 分) 设随机变量 X服从(0,2) 上的均匀分布 , 则随机变量2YX在(0,4)内的概率分布密度( )Yfy121,0440,yy当其他知识点：一维（连续型）随机变量函数的分布题目： (93,6 分) 设随机变量 X的概率密度为| |1( ),2xf xex（1） 求 EX和 DX ；（2） 求 X与| X| 的协方差 , 并问 X与| X| 是否不相关？（3） 问 X与| X| 是否相互独立？为什么？知识点： （连续型）机变量及其函数的数学期望和其他数字特征的计算解答： （1）1()( )02xE Xxfx dxxedx，而222201()( )2 =2xxE Xx f x dxxedxx e dx22()()( ()2D XE XE X（2）因()0,()E X。