条件概率 最新课件.ppt

电子课件电子课件史史 册册 主讲主讲概率论与数理统计概率论与数理统计 随机事件随机事件 随机事件的概率随机事件的概率 条件概率条件概率 独立性独立性第一章第一章 随机事件的概率随机事件的概率蒲丰投针试验蒲丰投针试验例例1777年年,法国科学家蒲丰法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针提出了投针试验问题试验问题.平面上画有等距离为平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b( b0,m(B)0,则则条件概率的定义设A、B是两个事件，且P(A)0,则称 若事件若事件A已发生已发生, 则为使则为使 B也也发生发生 , 试验结果必须是既在试验结果必须是既在 A 中中又在又在B中的样本点中的样本点 , 即此点必属于即此点必属于AB. 由于我们已经知道由于我们已经知道A已发生已发生, 故故A变成了新的样本空间变成了新的样本空间 , 于是于是 有有上式上式. 为在事件为在事件A发生的条件下发生的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.同理可得同理可得为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率.条件概率满足概率定义中的三个基本性质条件概率满足概率定义中的三个基本性质非负性：对于任何事件非负性：对于任何事件B B，有，有P(BA)0P(BA)0； 规范性：对于必然事件规范性：对于必然事件S S，有，有P(SA)=1P(SA)=1； 可列可加性：设可列可加性：设B B1 1 ，B B2 2 ， 两两互不相容的事件，即对两两互不相容的事件，即对于于ij, Bij, Bi iB Bj j= , i,j=1,2, = , i,j=1,2, , ,则有则有可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重要结可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。

例如：果都适用于条件概率例如：特别当特别当A=SA=S时，条件概率化为无条件概率时，条件概率化为无条件概率n条件概率的计算 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 1) 用定义计算用定义计算:P(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数例 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率例 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？ 解记 因此要求显然因为从而 可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡二、乘法公式由条件概率的定义：若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (1)而而 P(AB)=P(BA)将将A、B的位置对调，有的位置对调，有 故故 P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A) (2)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A) (1)和和(2)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率乘法公式当当P(A1A2An-1)0时，有时，有P (A1A2An）-=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:例 一袋中有a个白球和b个红球。

现依次不放回地从袋中取两球试求两次均取到白球的概率 解记要求显然因此例 已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品求采购员拒绝购买这批产品的概率解则从而 设由乘法定理于是由题意，有 解解书后第书后第6 6题题t个白球个白球, r个红球个红球此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型. 注：注：当当 a0 时，由于每次取出球时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的后会增加下一次也取到同色球的概率概率. 这是一个传染病模型这是一个传染病模型. 每每次发现一个传染病患者，都会增次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率加再传染的概率. 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场券入场券”，其余，其余的什么也没写的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次个人依次抽取抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？ 到到底底谁谁说说的的对对呢呢？让让我我们们用用概概率率论论的的知知识识来来计计算算一一下下,每每个个人人抽抽到到“入入场场券券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。

先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/5第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽个人未抽到，到，由于由于由乘法公式由乘法公式 计算得：计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说， 因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所以它是概率。

以它是概率 条件概率是在试验条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件的条件上加上一个新条件(如如B发生发生)求求事件事件(如如A)发生的概率条件概率发生的概率条件概率P(A B)与与P(A)的区别就是在的区别就是在E的条件上增加了一个新条件而无条件概率是没有增加新条件的条件上增加了一个新条件而无条件概率是没有增加新条件的概率条件概率条件概率P(A B)与积事件概率与积事件概率P(AB)有什么区别？有什么区别？ P(AB) P(AB)是在样本空间是在样本空间S S内，事件内，事件ABAB的概率，而的概率，而P(AB)P(AB)是在试是在试验验E E增加了新条件增加了新条件B B发生后的缩减样本空间发生后的缩减样本空间S SB B中计算事件中计算事件A A的概率虽然都是虽然都是A A、B B同时发生，但两者是不同的，有同时发生，但两者是不同的，有P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)，仅当，仅当P(B)P(B)P(S)P(S)1 1时，两者相等时，两者相等条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？三、全概率公式与贝叶斯公式下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立两个计算概率的公式。

先引入一个例子 例 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为2:31)在仓库中随机地取一件成品，求它是次品的概率(2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品，问该此次品分别是由第1、2车间生产的概率为多少？从而（7）于是（8）解(1) 记（6）因为（2）问题归结为计算 和 由条件概率的定义及乘法公式，有(9)(10)定义2全概率公式:设设 为为随随机机试试验验的的样样本本空空间间，A1,A2,An是是两两两互斥的事件，且有两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, 则对任一事件则对任一事件B，有，有在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)不易不易,但但B总是伴随着总是伴随着某个某个Ai出现，出现，适当地适当地去构造这一组去构造这一组Ai往往可以简化往往可以简化计算计算.注：注：全概率公式的来由全概率公式的来由, 不难由上式看出不难由上式看出: “全全”部概率部概率P(B)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.它的理论它的理论和实用意义在于和实用意义在于:图示图示证明证明化整为零各个击破它可以将一个复杂它可以将一个复杂事件的概率计算问事件的概率计算问题题,分解为若干个简分解为若干个简单事件的概率计算单事件的概率计算问题问题,最后应用概率最后应用概率的可加性求出最终的可加性求出最终结果结果. 某某一一事事件件A的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因Bi(i=1,2,n),如如果果A是是由由原原因因Bi所所引引起起，则则A发生的概率是发生的概率是 每一原因每一原因Bi都可能导致都可能导致A发生，故发生，故A发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起A发生概率的发生概率的总和，即总和，即全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解全概率公式：我们还可以从另一个角度去理解全概率公式：全概率公式图解A1A2A3A4A5A6A7A8B由此可以形象地把全概率公式看成为由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推由原因推结果结果”，每个原因对结果的发生有一定的，每个原因对结果的发生有一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与各种原因的，即结果发生的可能性与各种原因的“作用作用”大小有关大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系全概率公式表达了它们之间的关系 .诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果例1 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票价格的基本因素, 比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 人们估计, 在利率下调的情况下, 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下, 其价格上涨的概率为40%, 求该支股票将上涨的概率.例2 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装10个，废品率为0.06, 乙厂每箱装12个, 废品率为0.05, 求:(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.例3（P36 例13） 盒子中装有12个乒乓球,其中9个是新的,第一次比赛时,从其中任取3个来用,比赛后放回盒子中;第二次比赛时,再从盒子中任取3个,求第二次取出的球都是新球的概率.例4 一箱10件产品中有3次品,验收时从中任取2件,若发现其中有次品,即拒绝接受,已知验收。