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质量随机的研发竞赛模型与最优奖励论文摘要：本文假设研发质量具有随机性，建立了研发竞赛的非合作博弈模型，分别探讨了完全信息和不完全信息条件下竞赛参与人与竞赛发起者的最优策略研究发现：竞赛参与人的研发投入水平在完全信息和不完全信息条件下都随自身研发效率的降低而降低；研发参与人的类型信息不完全程度越高，参与人的均衡研发投入越低；在每一种信息类型组合下都存在着最优奖励使得竞赛发起者的期望收益最大论文关键词：质量随机,研发竞赛, 固定奖励1. 引言研发竞赛是指竞赛发起者为了激励创新、获取创新成果而设立竞赛机制，将事先规定的奖励授予给取得最佳研发成果的竞赛参与人在通常的研发合约外包中，由于代理人具有信息优势，因此难以避免道德风险与逆向选择问题有效的研发竞赛机制不仅能克服由于信息不对称而导致的上述问题，而且能消除委托人对代理人努力的监测成本对竞赛发起者而言，参与人是否越多越好？研发竞赛的发起者是否应该限制参与人的数量？Tylor 的研究显示：免费和完全开放的竞赛参与并不是最优的，因为过多的参与人数会降低参与人的努力程度，因此发起者应通过收取一定的参与费用来限制参与者的人数Kaplan 和 Sela 对包含进入和竞赛两阶段竞赛的研究也得出了较为相似的结论：因为低能力的参与人更有可能参与竞赛，如果向竞赛获胜者收取一定的费用，则两阶段的竞赛是有效的。

除了竞赛参与人的数量，竞赛参与人之间的能力差异是否也会影响到研发竞赛的效率？Che 和 Gale 发现当竞赛参与人的能力不对称时，对更有效率的参与人施加一定的障碍是最优的乔恒和邱菀华构建了一类递增奖品的 R&D 竞赛模型，发现竞赛中如果两竞赛者势均力敌，他们都会预期正的利润并付出自己的努力，如果一方有明显的劣势，那么他就会因为面临无利可图的局面而自动出局文献[1-4]皆假定研发投入和研发质量之间是确定性的关系事实上创新的结果通常是不确定的，因而假定研发投入和研发质量之间是随机性关系更为合理韩建军等建立了随机 R&D 竞赛模型，发现选择效率相同或相近的竞赛参与人，可以激励竞赛参与人的相互竞争，从而使项目发起者的收益最大化Schöttner 在参与人同质和创新质量随机的情形下比较了一阶拍卖和固定奖励的研发竞赛，发现相对于不能收取参与费用的竞赛而言发起者会更偏爱固定奖励的竞赛Konrad 则研究了多个阶段竞赛的经济效率本文借鉴了 Fullerton 关于研发质量和研发投入之间随机关系的假定，该假定相对于文献[5]和[6] 更合理也更具说服力，然后分析在研发开始之前竞赛参与人的研发投入决策，进而推出对竞赛发起者而言最优的奖励金额。

论文第 2 节给出了模型的假设，第 3 节和第4 节分别讨论了在完全信息条件下和不完全信息条件下竞赛参与人研发投入的均衡策略以及对竞赛发起者最优的奖励，第 5 节给出了算例，第 6 节是对全文的总结和展望2. 问题描述与模型假设本文考虑的研发竞赛过程如下：发起者首先宣布对研发竞赛获胜者的固定支付，然后竞赛参与者根据自身和对手的类型信息做出研发投入决策，在经过一定时间的研发并取得质量随机的研发成果后，研发质量较高的一方获胜，取得事先规定的固定奖励当研发质量相同时，随机决定获胜者本模型做出如下假设：（1）研发质量的分布函数为 ，密度函数为 其中 为研发投入，为研发质量， 研发质量的分布函数为公共知识下文皆用下标 分别代表竞赛参与人 当 时， 一阶随机优于 ，即竞赛参与人的研发投入越大，越有可能取得质量较高的研发成果2）竞赛发起者与参与人皆是理性的和风险中性的3）竞赛发起者和竞赛参与人之间进行的是非合作博弈4）研发成本 为研发投入 和研发效率 的函数 ， ， 即为参与人的类型为得出更直观的结论，进一步假设 ，其中 ， 为正的常数，可视为参与竞赛的固定费用5）研发竞赛发起者的效用 ，其中 为一正的常数。

3. 完全信息时竞赛发起者与参与人的均衡策略不失一般性，考虑仅有两个竞赛参与人 和 的研发竞赛本部分假定每个竞赛参与人的类型为公共知识，即参与人不仅了解自己的类型，而且也了解对方的类型，竞赛的发起者也知道所有参与人的类型研发过程结束后，取得更高研发质量的参与人获得固定奖金 在研发投入的决策做出之后，参与人 获胜的概率为：可以看出，假定参与人 的研发投入不变，参与人 的研发投入越大，获胜的可能性越高命题 1 完全信息条件下，竞赛参与人的均衡策略（ ， ）由下式决定：， （1）证明：参与人 的期望收益为： 根据对称性，有联立求解，即可得（1）式从（1）式可以看出，给定竞赛对手的类型，自身的研发效率越低，对研发的投入会越少；竞赛参与人的类型越相似，研发投入越接近　　命题 2 完全信息条件下竞赛发起者的最优奖励 由下式决定： ， 为研发竞赛发起者的期望收益证明：研发竞赛发起者的期望收益为：由于 ,可知 为 的凹函数，因此存在着唯一的最优奖励 ，使得4.不完全信息时竞赛发起者与参与人的均衡策略竞赛参与人具有完全信息的假定过于严格，更多的时候竞赛参与人对对手的类型并不能完全了解，而只是知道对手类型的分布。

本部分假设竞赛参与人是同质的， 均服从 之间的均匀分布， 同时假设 ，其中 ，，以保证不完全信息情况下竞赛参与人的均衡研发投入皆大于零命题 3 不完全信息条件下，竞赛参与人的均衡策略（ ， ）由下式决定：（2）证明：　 　 根据对称性，有 从 可以看出，参与人 的研发投入水平 随 的增加而降低，即效率越低投入水平也越低命题 4 不完全信息条件下竞赛发起者的最优奖励 由下式决定： ，为研发竞赛发起者的期望收益证明：竞赛参与人的期望研发投入为：竞赛发起者的期望收益为：由于 , 为 的凹函数，所以存在唯一的最优奖励 使得 5．算例例 1：假设模型中 在完全信息条件下， ，图 1 表示当 ， 分别取 0.2、0.4、0.6、0.8、1.0 时竞赛参与人 和 研发投入的均衡策略从图中可以看出，参与人的效率越低研发投入则越少　 　图 1 取 0.6 时竞赛参与人的均衡策略图 2 完全信息条件下竞赛发起者的收益例 2：假设模型中 在对竞赛参与人的类型具有完全信息的条件下发起者的期望收益为： 图 2 表示当 分别取不同值时竞赛发起者的期望收益随奖励金额的变化而变化的情况从图中可以发现在几种不同的 组合下皆存在最优奖励使得竞赛发起者的期望收益最大。

例 3：假设模型中 图 3 表示 分别服从[0.2,1]、[0.2,1.4]、[0.2,1.6]之间的均匀分布时参与人的均衡研发投入随自身研发效率变化的情况从图中可以看出，研发参与人的类型信息越不完全，参与人的均衡投入越低例 4：假设模型中 在不完全信息条件下有：图 4 表示当 分别服从三个不同区间内的均匀分布时，竞赛发起者的期望收益随着固定奖励金额而变化的情况从图中也可以发现在 服从几种不同的分布时皆存在使得竞赛组织者期望收益最大的最优奖励　 　图 3 不完全信息条件下竞赛参与者的均衡投入图 4 不完全信息条件下竞赛发起者的收益6.结论本文以研发质量具有随机性为基础假设，建立了研发竞赛的非合作博弈模型，分别探讨了在对竞赛参与人的类型具有完全信息和不完全信息条件下竞赛参与人与竞赛发起者的最优策略研究发现：（1）在完全信息条件下，研发效率较高的竞赛参与人的研发投入也较多竞赛参与人越势均力敌，他们的研发投入也越接近2）在不完全信息条件下，参与人的研发投入水平随自身研发效率的降低而降低研发参与人的类型信息不完全程度越高，参与人的均衡研发投入越低3）在不同的参与人类型信息情况下，都存在着唯一的最优奖励使得竞赛发起者的收益最大。

在完全信息条件下，竞赛参与人的实力越接近，竞赛发起者能获得最佳收益越低在不完全信息条件下，对竞争参与人的类型的认知越模糊，竞赛发起者的最佳收益越高本文仅考虑了两个竞赛参与者的情况，在未来的研究中可以扩展到多个参与者另外，在研发质量不确定环境下比较固定奖励和拍卖两种不同的竞赛形式下竞赛发起者的收益大小，也是未来的一个研究方向。