2014级线代课件：陈建利行列式的性质.ppt

第二章第二章 行列式行列式 (determinant )2.1 行列式的定义行列式的定义2.2 行列式的性质行列式的性质2.3 行列式的应用行列式的应用2.2 行列式的性质行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. 记记性质性质性质性质1 1 1 1 性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .也可描述成也可描述成也可描述成也可描述成: :行列式的某一行（列）中所有元行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面素的公因子可以提到行列式符号的外面在应用此性质时常倒过来用，如在应用此性质时常倒过来用，如而矩阵提取公因子是提取矩阵中所有元素而矩阵提取公因子是提取矩阵中所有元素的公因子的公因子注意注意:行列式提取公因子是提取某行行列式提取公因子是提取某行(或某列或某列)的公因子的公因子推论推论1行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零行列式为零证明证明推推论论2 若行列式中某行（列）的元素全为零，则此行列若行列式中某行（列）的元素全为零，则此行列式等于零式等于零. . 性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如这这性性质质是是针针对对某某行行（列列）进进行行的的，假假如如有有两两行行每每个个元元素素都是两数之和，则只能一次拆一行，如都是两数之和，则只能一次拆一行，如性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如第二式为第二式为0变化的是第变化的是第2 2行，保持行列式值不变是因为行，保持行列式值不变是因为将行列式的第将行列式的第 列乘数列乘数 加到第加到第 列，记作列，记作将行列式的第将行列式的第 行乘数行乘数 加到第加到第 行，记作行，记作 注意注意: :记号记号 与与 是不同的，是不同的，表示进行了两次变换，表示进行了两次变换，首先将第首先将第 行乘数行乘数 ，其次将第其次将第 行加到已经变化了的第行加到已经变化了的第行上，行上，所以进行变换后第所以进行变换后第 行没有变化行没有变化. .如如例例1 计算下列行列式的值计算下列行列式的值例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解 证证用数学归纳法用数学归纳法例例3证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式例例计算计算例例4 4证明证明性质性质6 6 行列式第行列式第 行的元素与第行的元素与第 行的对应元行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即素的代数余子式乘积之和等于零，即 行列式第行列式第 列的元素与第列的元素与第 列的对应元素的代列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即数余子式乘积之和等于零，即(2.10)(2.11)即即: :行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零证证: :只证只证(2.10)(2.10)式式同理同理相同相同求第四行各元素的求第四行各元素的余子式之和余子式之和.例例5例例6性性质质7 7 设设 阶方阵，阶方阵， 为为m m阶方阵，则阶方阵，则例例7例例8 设设A为为n阶方阵阶方阵注意注意:一般地一般地1)2) 2) 性性质质(4)(4)要要求求A,BA,B都都是是方方阵阵才才成成立立，因因方方阵阵才才有有行行列列式式. .3)3)设设A,BA,B为为n n阶方阵，一般地阶方阵，一般地， 例例9设设A A为为3 3阶方阵，阶方阵，B B为为2 2阶方阵，且阶方阵，且 例例10例例1111 设设A A为为5 5阶阶方方阵阵， ，交交换换A A的的第第一一、第第二二行行得得到到矩矩阵阵B B，将将B B的的第第三三行行乘乘数数2 2加加到到第第五五行行，然然后后将将第第二二行行乘乘数数3 3得到矩阵得到矩阵C C，求矩阵求矩阵B B和和C C的行列式的行列式. .。