xx届高考理科数学轮总复习不等式教案_1.docx

XX届高考理科数学轮总复习不等式教案　　第七章　不等式　　高考导航　　考试要求重难点击命题展望　　不等关系　　了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式的实际背景.　　一元二次不等式　　会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；　　通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；　　会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.　　二元一次不等式组与简单线性规划问题　　会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；　　了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；　　会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.　　基本不等式：≥　　了解基本不等式的证明过程；　　会用基本不等式解决简单的最大值问题.　　本章重点：1.用不等式的性质比较大小；2.简单不等式的解法；3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题；4.基本不等式的应用.　　本章难点：1.含有参数不等式的解法；2.不等式的应用；3.线性规划的应用.　　不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点.高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合，将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查.　　线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外，也考查线性规划方法的迁移.　　知识网络　　1　不等式的性质　　典例精析　　题型一　比较大小　　【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga，Q＝loga，试比较P与Q的大小.　　【解析】因为a3－a＋1－＝a2，　　当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；　　当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；　　综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.　　【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差；　　②变形；③判断符号；④得出结论.　　【变式训练1】已知＝a＋1a－2，n＝x－2，则，n之间的大小关系为　　A.＜nB.＞nc.≥nD.≤n　　【解析】选c.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.　　＝a＋1a－2＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤－2＝4.　　题型二　确定取值范围　　【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围.　　【解析】因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，　　两式相加得－π2＜α＋β2＜π2.　　又－π4≤－β2＜π4，所以－π2≤α－β2＜π2，　　又因为α＜β，所以α－β2＜0，所以－π2≤α－β2＜0，　　综上－π2＜α＋β2＜π2，－π2≤α－β2＜0为所求范围.　　【点拨】求含字母的数的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.　　【变式训练2】已知函数f＝ax2－c，且－4≤f≤－1，－1≤f≤5，求f的取值范围.　　【解析】由已知－4≤f＝a－c≤－1，－1≤f＝4a－c≤5.　　令f＝9a－c＝γ＋μ，　　所以　　故f＝－53＋83∈[－1,20].　　题型三　开放性问题　　【例3】已知三个不等式：①ab＞0；②ca＞db；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？　　【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:ca＞db⇔bc－adab＞0.　　由ab＞0，bc＞ad⇒bc－adab＞0，即①③⇒②；　　由ab＞0，bc－adab＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③；　　由bc－ad＞0，bc－adab＞0⇒ab＞0，即②③⇒①.　　故可组成3个正确命题.　　【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.　　【变式训练3】a、b、c、d均为实数，使不等式ab＞cd＞0和ad＜bc都成立的一组值是_______________.　　【解析】写出一个等比式子，如21＝42＞0.此时内项的积和外项的积相等，减小42的分子，把上式变成不等式21＞32＞0，此时不符合ad＜bc的条件，进行变换可得21＞－3－2＞0，此时2×　　＜1×.故是符合要求的一组值.　　总结提高　　不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab＞0，a＞b⇒1a＜1b这一性质时，不可弱化为a＞b⇒1a＜1b，也不可强化为a＞b＞0⇒1a＜1b.　　题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.　　比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.　　2　简单不等式的解法　　典例精析　　题型一　一元二次不等式的解法　　【例1】解下列不等式：　　x2－2x－3＞0；　　已知A＝{x|3x2－7x＋2＜0}，B＝{x|－2x2＋x＋1≤0}，求A∪B，∩B.　　【解析】方程两根为x1＝－1，x2＝3，　　所以原不等式解集为{x|x＜－1或x＞3}.　　因为A＝{x|13＜x＜2}，∁RA＝{x|x≤13或x≥2}，B＝{x|x≤－12或x≥1}，　　所以A∪B＝{x|x≤－12或x＞13}，∩B＝{x|x≤－12或x≥2}.　　【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.　　【变式训练1】设函数f＝若f＝f，f＝0，则关于x的不等式f≤1的解集为　　A.B.[－3，－1]　　c.[－3，－1]∪D.[－3，＋∞)　　【解析】选c.由已知对x≤0时f＝x2＋bx＋c，且f＝f，知其对称轴为x＝－2，故－b2＝－2⇒b＝4.　　又f＝0，代入得c＝4，故f＝　　分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪.　　题型二　解含参数的一元二次不等式问题　　【例2】解关于x的不等式x2＋x－2＞0.　　【解析】当＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；　　当≠0时，可分为两种情况：　　＞0时，方程x2＋x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝2.　　所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞2}；　　＜0时，原不等式可化为－x2＋x＋2＜0，　　其对应方程两根为x1＝－1，x2＝2，x2－x1＝2－＝＋2.　　①＜－2时，＋2＜0，＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，　　不等式的解集为{x|－1＜x＜2}；　　②＝－2时，x2＝x1＝－1，　　原不等式可化为2＜0，解集为∅；　　③－2＜＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，　　不等式解集为{x|2＜x＜－1}.　　综上所述：　　当＜－2时，解集为{x|－1＜x＜2}；　　当＝－2时，解集为∅；　　当－2＜＜0时，解集为{x|2＜x＜－1}；　　当＝0时，解集为{x|x＜－1}；　　当＞0时，解集为{x|x＜－1或x＞2}.　　【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.　　【变式训练2】解关于x的不等式ax－1x＋1＞0.　　【解析】原不等式等价于＞0.　　当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；　　当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞1a或x＜－1}；　　当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜－1}；　　当a＝－1时，不等式的解集为∅；　　当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜1a}.　　题型三　一元二次不等式与一元二次方程之间的联系　　【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.　　【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0，　　且ax2＋bx＋c＝0的两根为1、3，则－ba＝1＋3，ca＝1×3，即ba＝－4，ca＝3.　　又a＜0，不等式cx2＋bx＋a＜0可以化为cax2＋bax＋1＞0，即3x2－4x＋1＞0，　　解得x＜13或x＞1.　　【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.　　【变式训练3】若不等式9－x2≤－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则＝　　【解析】2.作出函数y＝9－x2和y＝－2的图象，函数y＝9－x2的图象是一个半圆，函数y＝－2的图象是过定点的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a＝1，即　　是方程9－x2＝－2的根，代入得＝2.　　总结提高　　解一元二次不等式的一般步骤:　　对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；　　计算相应的判别式；　　当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根；　　根据一元二次不等式的结构，写出其解集.　　当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.　　要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.　　3　二元一次不等式与简单的线性规划问题　　典例精析　　题型一　平面区域　　【例1】已知函数f的定义域为[－2，＋∞)，且f＝f＝1，f′为f的导函数，函数y＝f′的图象如图所示，则平面区域所围成的面积是　　A.2B.4c.5D.8　　【解析】选B.由f′的图象可知，f在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.　　因为f＝f＝1，所以当且仅当x∈时，有f＜f＝f＝1.　　作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.　　【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.　　【变式训练1】若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标的点P所形成的平面区域的面积是　　A.12B.π4c.1D.π2　　【解析】选c.当a＝b＝1时，满足x＋y≤1，且可知0≤a≤1，0≤b≤1，所以点P所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.　　题型二　利用线性规划求最值　　z＝x＋2y－4的最大值；　　z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；　　z＝2y＋1x＋1的取值范围.　　【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A，B，c.　　易知直线x＋2y－4＝z过点c时，z最大.　　所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.　　z＝x2＋2表示可行域内任一点到定点的距离的平方，　　过点作直线Ac的垂线，易知垂足N段Ac上，　　故z的最小值是2＝92.　　z＝2•y－x－表示可行域内任一点与定点Q连线斜率的2倍.　　因为QA＝74，QB＝38，所以z的取值范围为[34，72].　　【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.　　【变式训练2】已知函数f＝13x3＋ax2－bx＋1在区间[－1,3]上是减函数，求　　a＋b的最。