2010万有引力定律天体运动.doc

保护原创权益 净化网络环境万有引力定律天体运动一、万有引力定律（1）开普勒三定律①所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上②对每个行星而言太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相同的面积③所有行星轨道的半长轴 R 的三次方与公转周期 T 的二次方的比值都相同，即 ，地TR23常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小2）万有引力定律： 自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，跟它们○ 1的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比 公式： ，○ 2 21rmGFG=6.67×10-11N.m2/kg2. 适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作○ 3用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中 r 指球心间的距离3）三种宇宙速度：第一宇宙速度 V1=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度；○ 1第二宇宙速度 V2=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙○ 2速度 V3=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度注意：①V 1=7.9Km/s 是最小的发射速度，但是是最大的运行速度。

当 V1=7.9Km/s 时，卫星近表面运行，V 运 =7.9Km/s②当 7.9Km/s

4、会用万有引力定律求天体的质量通过观天体卫星运动的周期 T 和轨道半径 r 或天体表面的重力加速度 g 和天体的半径 R，就可以求出天体的质量 M以地球的质量的计算为例（1）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期 T 和半径 r，根据：得：rTmrG地22234Gr地（2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度 v 和半径 r根据： 得：rvr22r（3）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度 v 和周期 T根据： 和 得：TvmrG地22rmrG地22Gv23（4）若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g得： ——此式通常被称为黄金代换式gr地2g25、会用万有引力定律计算天体的平均密度通过观测天体表面运动卫星的周期 T， ，就可以求出天体的密度 ρ保护原创权益 净化网络环境6、会用万有引力定律求卫星的高度通过观测卫星的周期 T 和行星表面的重力加速度 g 及行星的半径 R 可以求出卫星的高度7、会用万有引力定律推导恒量关系式8、会求解卫星运动与光学问题的综合题9、二个特殊卫星（1）通讯卫星（同步卫星）通讯卫星是用来通讯的卫星，相当于在太空中的微波中继站，通过它转发和反射无线电信号，可以实现全地球的电视转播.这种卫星位于赤道的上空，相对于地面静止不动，犹如悬在空中一样，也叫同步卫星.要使卫星相对于地面静止，卫星运动的周期与地球自转的周期必须相等（即为 24 小时） ；卫星绕地球的运动方向与地球自转方向必须相同，即卫星的轨道平面与地轴垂直；又因为卫星所需的向心力来自地球对它的引力，方向指向地心，因此同步卫星的轨道平面必须通过地心，即与赤道平面重合。

因已知 T，将 代入基本方程 得：ran24224TmrMG24GMTr若已知地球的半径 R 地=6.4×10 6m，地球的质量 M=6.0×1024kg，用 h 表示卫星离地的高度，则 R 地+h= r =4.2×107m，即 h＝3.6×10 7m.所有的同步卫星均在赤道的上空离地为 3.6×107m的高处的同一轨道上以相同的速率运行，当然同步卫星间绝不会相撞.（2） 近地卫星把在地球表面附近环绕地球做匀速率圆周运动的卫星称之为近地卫星，它运行的轨道半径可以认为等于地球的半径 R0，其轨道平面通过地心.若已知地球表面的重力加速度为 g0，则由 得：02Rvmg0g由 得：0200R由 得：0204Tmg02g若将地球半径 R0=6.4×106m 和 g0=9.8m/s2 代入上式，可得 v=7.9×103m/s，ω=1.24×10-3 rad/s，T=5074s，由于 ， 和 且卫星运行的轨rv123231rT道半径 r＞R0，所以所有绕地球做匀速率圆周运动的卫星线速度保护原创权益 净化网络环境v＜7.9×103m/s ，角速度 ω＜1.24×10-3rad/s，而周期 T＞ 5074s。

特别需要指出的是，静止在地球表面上的物体，尽管地球对物体的重量也为 mg，尽管物体随地球自转也一起转，绕地轴做匀速率圆周运动，且运行周期等于地球自转周期，与近地卫星、同步卫星有相似之处，但它的轨道平面不一定通过地心，如图 2 所示.只有当纬度θ=0°，即物体在赤道上时，轨道平面才能过地心.地球对物体的引力 F 的一个分力是使物体做匀速率圆周运动所需的向心力 f=mω2r，另一个分力才是物体的重量 mg，即引力 F 不等于物体的重量 mg，只有当 r=0 时，即物体在两极处，由于 f=mω2r=0，F 才等于 mg.10、人造卫星失重问题11、卫星的变轨运动问题卫星由低轨道运动到高轨道，要加速，加速后作离心运动，势能增大，动能减少，到高轨道作圆周运动时速度小于低轨道上的速度当以第一宇宙速度发射人造卫星，它将围绕地球表面做匀速圆周运动；若它发射的速度介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间，则它将围绕地球做椭圆运动．有时为了让卫星绕地球做圆周运动，要在卫星发射后做椭圆运动的过程中二次点火，以达到预定的圆轨道．设第一宇宙速度为 v，则由第一宇宙速度的推导过程有 G 2RMm＝mv．在地球表面若卫星发射的速度 v1＞v，则此时卫星受地球的万有引力 2r应小于卫星以 v1绕地表做圆周运动所需的向心力 m R2，故从此时开始卫星将做离心运动，在卫星离地心越来越远的同时，其速率也要不断减小，在其椭圆轨道的远地点处（离地心距离为 R′)，速率为v2(v2＜v 1)，此时由于 G 2RMm＞mv2，卫星从此时起做向心运动，同时速率增大，从而绕地球沿椭圆轨道做周期性的运动．如果在卫星经过远地点处开动发动机使其速率突然增加到 v3，使 G 2＝mv23，则卫星就可以以速率 v3，以 R′为半径绕地球做匀速圆周运动．同样的道理，在卫星回收时，选择恰当的时机使做圆周运动的卫星速率突然减小，卫星将会沿椭圆轨道做向心运动，让该椭圆与预定回收地点相切或相交，就能成功地回收卫星．通过以上讨论可知：卫星在某一圆轨道上做匀速圆周运动时，其速率为一确定值，若卫星突然加速（或减速） ，则卫星会做离心（或向心）运动而离开原来的轨道，有人提过这样的问题：飞船看见前方不远处有一和它在同一轨道上同向做圆周运动的卫星，此时若仅使它速度增大，能否追上卫星？若飞船加速，则它会离开原来的圆轨道，所以不能追上．它只图 6－5－6图 6－5－5保护原创权益 净化网络环境有在较低的轨道上加速或在较高的轨道上减速，才有可能遇上卫星．四、万有引力问题全解1．人造地球卫星的轨道是任意的吗？在地球上空绕地球运行的人造地球卫星所受的力是地球对它的万有引力，卫星即可绕地球做圆周运动，也可绕地球做椭圆运动．在中学阶段我们主要研究绕地球做匀速圆周运动的卫星．卫星绕地球做匀速圆周运动时靠地球对它的万有引力充当向心力，地球对卫星的万有引力指向地心．而做匀速圆周运动物体的向心力时刻指向它做圆周运动的圆心．因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合．而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道，当然也应存在着与赤道平面成某一角度的圆轨道，只要圆心在地心，就可能是卫星绕地球运行的圆轨道．如图 6－5－2．2．人造卫星的运行周期可以小于 80 min 吗？（1）从卫星的周期讨论设人造地球卫星的质量为 m，运转周期为 T，轨道半径为 r，地球的质量为 M，万有引力常量为 G，根据卫星绕地球转动的向心力就是地球对它的引力，有m 24Tr＝G 2M，可得 T＝ Gr324由周期公式可以看出：卫星轨道半径 r 越小，周期也越小，当卫星沿地球表面附近运动时，即 r＝R 地 ＝6.4×10 6 m，周期最短，此时T＝ 2413620.7. )()43(≈5.1×10 3 s＝85 min．显然，T 大于 80 min，所以想发射一周期小于 80 min 的卫星是不可能的．（2）从卫星运动的轨道半径讨论假设卫星的周期为 80 min，则轨道半径 r3＝ 24GMTr3＝ 24GMT＝ 21).(4)608(067.6≈2.3×10 20 m3得出　　r≈6.2×10 6 m＜R 地显然不能发射一颗这样的卫星．（3）从地球提供的向心力讨论地球对卫星所能提供的向心力为：F＝G 2rMT＝80 min 时卫星所需的向心力为：F′＝ 24Tm当 r＝R 地 ＝6.4×10 6 m 时图 6－5－2保护原创权益 净化网络环境F＝ 2641)0.(67.mN≈9.8 mN，F′＝ 24Tr＝ 26)8(10..3N≈10.96mN．当 r＝R 地 时，地球对卫星所能提供的向心力最大， 向F≤9.8mN，又由上分析可知 'F，因此，要发射一颗周期为 80 min 的卫星是不可能的．（4）从卫星的环绕速度讨论设卫星绕地球运转的环绕速度为 v，则有 G 2rMm＝v2得出： v＝ rGm由公式可知：r 越小环绕速度越大，当 r＝R 地 ＝6.4×10 6 m 时，卫星环绕地球的速度最大．vmax＝ 地RGM＝ 62410.7.6≈7.9×10 3 m/s若地球卫星的周期为 80 min，则其绕地球的线速度为v＝ T地2＝ 60814.3≈8.4×10 3 m/s由此可见，v＞v max，显然不可能发射一颗周期为 80 min 的地球卫星．3．卫星的发射速度和运行速度是一回事吗？卫星的发射速度是指在地面（发射站）提供给它的速度．上面所说的第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度都指的是发射速度．当卫星在预定轨道上绕地球做匀速圆周运动时的速度称为运行速度，只有以第一宇宙速度发射的人造卫星绕地球表面运行时，运行速度与发射速度相等，而对于在离地较高的轨道上运行的卫星，其运行时的速度与地面发射速度并不相等，因而到达预定轨道后其运行速度要比地面发射速度小．实际上按照万有引力充当向心力，则由 G 2rMm＝mv，得 v＝ rGM可知：卫星绕地球的运行速率仅由其轨道半径来决定，轨道半径越大即离地越高，其运行速度越小，但我们又知道要想将卫星发射到更高的轨道，在地面发射时需要提供给卫星的速度越大，这与在越高轨道上运行速度越小并不矛盾，因为其中一个指运行速度，一个指发射速度．由于卫星绕地球可能的圆轨道中半径最小值为地球半径 R，因此由 v。