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    数学史31600字    1、数学发展的动力数学猜想是数学发展的动力之一好的数学猜想就像一颗颗皇冠上的明珠，吸引着无数的数学家去争相摘取如四色猜想，歌德巴赫猜想，费马猜想等等.在攻克这些猜想的过程中，将会产生许多新思想和新方法在证明费马猜想的350多年中，模形式和椭圆方程被有机地结合起来，对科利瓦金－费莱切进行了成功地改造这些思想和方法大大地丰富和发展了数论这门学科，在很大程度上推动了数学的发展1、数学家以美学的观点去创造,这是数学发展的又一动力数学自身有一种自组织能力,通常并不受来自外部的明显影响，而只是借助于逻辑组合、一般化、特殊化，巧妙地对概念进行分析和综合，提出新的富有成果的问题，从而产生了新的数学分支这些工作主要是数学家以美学的观点去不断地进行创造,这是数学发展的又一动力.如非欧几何，纤维丛，拓扑群，伽罗瓦的方程式理论等JohnvonNeumann说，数学家对于决定选题，选题的标准和成功的标准，主要是美学的波雷尔云，数学在很大程度上是一门艺术，它的的发展总是起源于美学准则，受其指导，据以评价好的数学问题是推动数学发展的另一个动力数学发展的历史证明，好的问题对数学的发展与创造起着不可估量的作用。

何谓一个数学问题是好的？按照Hilbert的观点，其一般的准则是：清晰性和易懂性，困难性在西方世界，希腊的几何学中有三个著名的问题，这就是倍立方问题（即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍）、三等分角问题（即分一个任意给定的角为三个相等的部分）和化圆为方问题（即作一正方形，使其与一给定的圆之面积相等）这三个问题都是不能按尺规作图的要求来求解的，可是由于对这三个问题的深入研究，引出了许多新的数学发现，例如，圆锥曲线论、三四次代数曲线、割圆曲线、高群论、超越数理论等都起源于这三个问题的研究19xx年8月6日，近代杰出的德国数学家Hilbert在国际数学家大会上，提出了23个数学问题在整个20世纪中，数学家们为这些问题作出了不懈的探索，虽然至今大约解决了其中的一半，但这23个问题已经成为推动数学向前发展的杠杆对实际问题的求解也对数学的发展起到了强有力的推动作用1865年，孟德尔以排列组合的数学模型解释了他通过长达8年的实验观察到的遗传现象，从而预见了遗传基因的存在性Hardy利用简单的概率计算指出：色盲在一群体中不会由于一代一代地遗传而患者越来越多他证明了：患者的分布是平稳的，不随时间而改变。

这一发现被称为Hardy-Weinberg定律不仅如此，数学在解决经济建设、科学技术、军事与安全方面的实际问题时也被广泛应用2、非欧几何创立和发展历史大约在公元前4世纪左右，古希腊伟大的数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何关于欧式几何的五条公设和五条公理，我们都已经较为熟悉：五条公设：1、任意两个点可以通过一条直线连接2、任意线段能无限延伸成一条直线3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆4、所有直角都全等5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交五条公理：1、等于同量的量彼此相等2、等量加等量，其和仍相等3、等量减等量，其差仍相等4、彼此能够重合的物体是全等的5、整体大于部分 上述的公理和公设，在我们看来大都非常简单，不证自明但长期以来，人们一直对第五公设心存疑问首先，第五公设相较于其他公设晦涩而难懂，许多人第一眼看上去并不了解这说的是什么其次，即便稍稍弄明白了意思，数学家们也纠结于它的证明但就是这样一个小小的疑问，在今后的数学界却掀起了巨大的波澜。

要研究第五公设，首先就要简化它，因为它的题设的确过于冗长了，相信许多在座的各位第一眼也没看出个所以然因而苏格兰科学家普雷费尔给出了它的等价命题，大家都已经很熟悉了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，现在这频频出现在中学教科书和试卷里，但要证明这一题设就花费了人类几百年的宝贵时间，而这一段时间，也被后世视为非欧几何学的发展历史阶段，这大致可以分为萌芽、发展和成熟三个阶段在萌芽阶段也就是孕育时期一个不得不提的人物就是爱尔兰数学家萨开里萨开里起初并没有什么其他的伟大想法，他仅仅是想通过其他公设证明第五公设于是，他发明了一种特殊的四边形（后世也称为“萨开里四边形”）这种四边形乍一看上去像是一个倒置的等腰梯形，在萨开里的假设中，这个四边形两个底角为90度，而另两个等角就存在三种可能，同为锐角、同为直角或同为钝角若同为直角，毫无疑问就证明了第五公设若同为钝角，这就与第二公设矛盾，因为这个四边形的两条腰并不能无限延长，若如此，那么此四边形不成立最后，若同为锐角，萨开里就衍生出了这样一些在他看来无法接受的结论：三角形内角和小于180度，过线外一点可以作无数条直线……受时代的限制，他认为自己找到了逻辑矛盾，从而从侧面证明了第五公设的正确。

在我们今天看来，萨开里真是找对了路却受阻于高山流水以他的锐角假设为例，他推出过线外一点可以作无数条直线，但这正是他要证伪的而关于三角形内角和的问题，在今天也已经得到了充分的解决，这些在后面再详细提及虽然萨开里的证明失败了，但是不管怎么说，他的研究方法为后来的研究第五公设的数学家们开了一个先河那么接下来就是发展阶段了该时期的著名人物主要包括瑞士数学家兰伯特和法国数学家勒让德前者在自己的四边形（三个直角）基础上也导出了一系列与欧式几何相矛盾的推论，但与萨开里不同的是，他不认为这是不可接受的，同时，他提出了“锐角形式下的几何发生在半径为虚数的球面”后者则专注于三角形，并得出了重要结论：若有一个三角形内角和为平角，其他亦然若有一个三角形内角和小于平角，其他亦然这个结论虽然看上去可有可无，但实际上他的这一结论就已经化一般为特殊了，将研究范围大大缩小同时他也持有与萨开里类似的结论，即若存在矩形，那么第五公设是成立的萌芽阶段和发展阶段的研究虽然是孤立的、片面的，但它确实地为非欧几何的成熟奠定了一定的基础成熟阶段主要由两部分构成，一是以俄国数学家罗巴切夫斯基为首的罗巴切夫斯基几何学派，一是以德国数学家黎曼为首的黎曼几何学派。

首先来了解一下罗氏几何的发展历程关于罗氏几何的形成，至少与三个数学家有极大的关联，他们分别是德国数学家高斯，匈牙利数学家波里埃以及我们的大主角罗巴切夫斯基事实上，高斯很早就注意到了第五公设并得出了它并不成立的设想，只不过慑于当时思想的禁锢而没有将其发表后来人们在他的信件中发现他已经提出了新几何的设想，并与罗巴切夫斯基有过密切的交流，这毫无疑问有效地启发了罗巴切夫斯基而传奇的数学家波里埃则是在他的父亲（同样是一名数学家）的一本书的附录里提及了新几何的设想，同时，他也得出了我们至今依旧熟悉的正弦定律，即sinA／a＝sinB／b＝sinC／c＝2R但极为可惜的是，波里埃后来因为怀疑高斯剽窃了自己的成果而变的意志消沉，最终没能作进一步的研究这时，只有罗巴切夫斯基独立的完成了非欧几何的理论在前人的基础上，罗巴切夫斯基首先否定了第五公设并得出了他的观点：过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线平行在这里他运用的是高斯、波里埃都做过研究的的平行角方法罗巴切夫斯基首先假定直线外一点到直线的距离为d，然后他分别作了该点的左、右平行线，两条平行线与点到直线的垂线形成一个夹角记为∠α在罗巴切夫斯基看来，左右平行线间的任意一条直线都是已知直线的平行线，换言之，所谓的左、右平行线实际上是平行与非平行的临界线。

当d→0时，∠α→90°；当d→＋∞时，∠α→0°因而就此推论，d＞0，0°﹤∠α﹤90°，此时必存在左、右平行线，因而验证了罗巴切夫斯基的观点为此，罗巴切夫斯基还给出了∠α的表达式：∠α＝arcsin[coshd／k] ∧﹣1前面提到了勒让德对于三角形的研究，罗巴切夫斯基当然也没放过这一要点在罗氏几何中，三角形的一个显著特点是其内角之和严格小于平角，不存在相似三角形但最令人难以接受的是任意三角形的面积都是有界的由此推导出的罗氏正弦定律、余弦定律甚至勾股定律都远复杂于欧式几何上面谈到的是区别第五公设的一种情况，还有一种情况，即过直线外任意一点没有一条直线与已知直线平行这也就是我们即将谈到的黎曼几何的基本模型而为了使得黎曼几何更加具体化，人们更倾向于用球面几何来模拟顾名思义，球面几何便是关于球面上的几何学的研究事实上，在早期人们的实践中已经有了一定的了解例如在大航海时代，航海家发现了他们预定方向与实际航程角度的偏离这里固然有时代科技等方面的局限性，但也不能够忽视地球作为一个球体的特殊性在黎曼几何中，得出了以下公设：任意两条直线必相交；三角形内角和大于180°其证明是围绕着一个球体进行的黎曼视该球体的一个大圆为非欧直线，则任意两个大圆间必有至少两个交点（大圆有限）。

从这个意义上来说，的确，是不存在平行这个概念的相似地，黎曼几何的正弦定律和余弦定律也是相当复杂的这里还要提一点，前面所提到的发展阶段的领军人物兰伯特曾经根据自己的研究得出自己的“类萨开里四边形”的锐角形式发生在半径为虚数的球面上，这一点颇令人费解现在看来，通过欧拉公式，罗氏几何的正弦定律和余弦定律最终可以化为带有i的等式，与兰伯特的猜想不谋而合，也与黎曼几何的球面模型相对而存在欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何这三种几何各自的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性因此这三种几何都是正确的在我们日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些研究非欧几何的发展历程，对于数学的发展和人类的进步有重大意义3、数学抽象的内涵、特征及对中小学数学教育的启示一、内涵：数学抽象是指从研究的对象或问题中，把大量的关于其空间形式和数量关系的直观背景材料，通过去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作、提炼数学概念、构造数学模型、建立数学理论即就是从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。

二、特征：1.数学抽象有着明显的目标，都是撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式和数量关系；2.数学抽象适用范围广泛，既有提炼数学概念的表征性抽象，又有探索数学理论的原理性抽象；3.数学抽象有着丰富的层次，不仅表现在直接从现实世界中抽象出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为已有数学知识基础上的再抽象三、对中小学数学教育的启示数学教育的是如何处理好“数学”和“教育”的关系从“数学”方面来看，因为数学的高度抽象性是数学的最本质的特点，因此数学教学是无法回避抽象性的并且，以抽象为突出特征的现代数学定位为主干课程是历史的必然趋势，学习数学最重要的就是学习抽象、学会抽象而从“教育”方面来看，就是通过恰当的教学组织，使学生在自己亲身体验的具体现实中去寻找与数学的联系，学会抽象从某种程度来说，中学生学习数学的过程就是逐步领会、掌握数学抽象的过程，它要经历一个由具体到抽象，又从抽象回到具体，由直观现实化抽象到概括形式化的发展过程因此，具体-抽象结合为一体，是数学教学中应遵循的基本规律《数学抽象在数学教学中的应用》潘建军(一)抽象概念形象化、具体化在理解、运用抽象概念时，基于具体问题引入概念，然后再通过典型的例子对概念做进一步的理解，将以往己形成的认识、记忆所带来的干扰予以排除，然后对抽象概念的内涵、外延做进一步、全新的、充分的理解，抽取概念的实质，分析不同例证。

此外，老师还要结合数学理论的抽象层次、结构，引导学生进一步构造抽象思。