线弹性断裂力学讲解.doc

线弹性断裂力学1、 概念：断裂力学：断裂力学是以变形体力学为基础，研究含缺陷（或者裂纹）材料和结构的抗断裂性能，以及在各种工作环境下裂纹的平衡、扩展、失稳及止裂规律的一门学科线弹性断裂力学：应用线弹性理论研究物体裂纹扩展规律和断裂准则2、 材料缺陷实际构件存在的缺陷是多种多样的，可能是冶炼中产生的夹渣、气孔，加工中引起的刀痕、刻槽，焊接时产生的裂缝、未焊透、气孔、咬边、过烧、夹杂物，铸件中的缩孔、疏松，以及结构在不同环境中使用时产生的腐蚀裂纹和疲劳裂纹在断裂力学中，常把这些缺陷都简化为裂纹，并统称为“裂纹”3、裂纹的类型（1）、按照裂纹的几何特征分类(a)穿透裂纹：厚度方向贯穿的裂纹b)表面裂纹：深度和长度皆在构件的表面，常简化为半椭圆裂纹c)深埋裂纹：裂纹的三维尺寸都在构件内部，常简化为椭园裂纹2）按照裂纹的受力和断裂特征分类(a)张开型：（Ⅰ型，opening mode，or tensile mode）特征：外加拉应力垂直于裂纹面，也垂直于裂纹扩展的前沿线在外力的作用下，裂纹沿原裂纹开裂方向扩展b)滑开型：（Ⅱ型, sliding mode, or in-plane shear mode）特征：外加剪应力平行于裂纹面，但垂直于裂纹扩展的前沿线。

在外力的作用下，裂纹沿原裂纹开裂方向成一定角度扩展c)撕开型：（Ⅲ 型, tearing mode, or anti-plane shear mode）特征：外加剪应力平行于裂纹面，也平行于裂纹扩展的前沿线使裂纹面错开在外力的作用下，裂纹基本上沿原裂纹开裂方向扩展Ⅲ 型是最简单的一种受力方式，分析起来较容易，又称反平面问题d)混合型：( 或复合型，mixed mode ) 经常是拉应力与剪应力同时存在，实际问题多半是Ⅰ＋Ⅱ，Ⅰ＋Ⅲ，Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ 等，从安全的角度和方便出发，将混合型问题常做简化看成Ⅰ型处理3） 按裂纹形状分类根据裂纹的真实形状，一般可以分为圆型、椭圆型、表面半圆型、表面半椭圆型，以及贯穿直裂纹等4、 裂纹对材料强度的影响具有裂纹的弹性体受力后，在裂纹尖端区域将产生应力集中现象受拉板，若无裂纹时，它的应力流线是均匀分布；当存在一个裂纹时，应力流线在裂纹尖端附近高度密集，但这种集中是局部性的，离开裂纹尖端稍远处，应力分布又趋于正常现考虑一“无限大”薄平板，承受单向均匀拉应力作用，板中存在贯穿椭圆型切口，其长轴2a，短轴2b根据弹性力学讨论，最大拉应力发生在椭圆长轴端点A（或）处，其值为该点处曲率半径，得椭圆裂纹处最大应力又可以写为由固体物理知识，固体材料的理论断裂强度值为式中E——材料弹性模量；γ——固体材料的表面能密度；——固体材料的原子间距。

为理论断裂强度，代表晶体在弹性状态下的最大结合力式中——正弦曲线的波长 ——原子偏离平衡位置的位移如果原子位移很小，则，则由于我们研究的是弹性状态下晶体的破环，当原子偏离平衡位置的位移很小时，由胡可定律得式中——弹性应变——原子间平衡时的距离则晶体脆性断裂时所消耗的功用来供给形成俩个表面所需要的表面能，则式中为裂纹表面上单位面积表面能则，得按照传统强度观点，当切口端点处最大应力达到材料的理论强度时，材料断裂，即因为，故得临界应力当存在理想尖裂纹时，，说明，不管应力多大都断裂，显然与事实不符这一疑问的答案正是连续介质力学与弹性理论的界限，因为固体是由原子组成，因此，当固体材料中的缺陷是尖端裂纹缺陷时，就可用原子间距代替裂纹尖端曲率半径，得研究表明，当表面能与裂纹长度取下面的取值时 则其断裂应力比材料的理论值降低约100倍这就从应力集中观点解释了固体材料的实际断裂强度远低于其理论强度当设计的最大应力达到断裂极限时，裂纹开裂，使裂纹长度2a增加，这样又将使断裂极限降低，则裂纹继续扩展，最后导致整个固体材料断裂，所以它是裂纹失稳扩展的条件5、 探伤结果与裂纹尺寸的换算由公式可以看出，要确定出断裂极限，还需要知道裂纹扩展所需的表明能，以及已有裂纹的长度。

裂纹的长度通常需要利用无损检测的方法来确定，目前流行的无损探伤技术有超声波探伤、磁粉探伤和荧光粉探伤技术在测量裂纹长度时以下几点需要引起足够的重视：一、对确定的探伤设备及方法，有最小可识别缺陷的限制，设为因此，应假设结构中有尺寸为的初始缺陷二、将探伤结果与解剖后实测缺陷尺寸对比，可大致得到经验探伤结果与真是缺陷的换算比如超声探伤，实际缺陷面积是探伤面积的2~3倍三、此外还应引入安全系数6、Griffith理论Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端由Inglis解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为 平面应力xy另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面，从而表面能增加，则俩个自由表面总的表面能（即裂纹表面能）为：其中：为单位面积上的表面能，裂纹面积裂纹表面能：形成新的裂纹表面所需要的能量由能量守恒，薄板产生裂纹所释放的弹性应变能转化为裂纹表面能如果应变能释放率，等于形成新表面所需要吸收的能量率，则裂纹达到临界状态；如果应变能释放率小于吸收的能量率，则裂纹稳定；如果应变能释放率大于吸收的能量率，则裂纹不稳定因此可以得到如下表达式 临界状态 裂纹稳定 裂纹不稳定以平面应力为例，来考虑临界状态：，即，（式）注意：这里的为设计应力，此时我们可以得到断裂强度（即临界应力）为：同时：也可以给出裂纹的临界尺寸：这里将Griffith理论得到的，和前面的得到的做一比较，两式左边相同，所以：，得到结论：当裂纹尖端的曲率半径满足时，两种结果相当近似，往往把满足该条件的裂纹成为Griffith裂纹。

缺点：Griffith理论研究的仅限于材料时完全脆性的情况，而绝大多数金属材料断裂前裂尖存在塑性区域，不能应用该理论7、 Orowan理论在Griffith理论提出30年之后，Orowan对金属材料裂纹扩展的研究发现，提供裂纹扩展的弹性应变能不仅用于形成新的表面，还用于引起塑性变形所需的能量，即“塑性功”塑性功率：裂纹扩展单位面积时，内力对塑性变形做“塑性功”，称为“塑性功率”，用表示则总塑性功为据此可得：得临界应力及裂纹临界尺寸简化：对于金属材料，通常比大三个数量级，因而可忽略不计因此上面的式子可以写为：临界应力及裂纹临界尺寸小结：理论断裂强度推出Griffith断裂极限Orwan断裂极限得出断裂强度与成反比解释了玻璃、陶瓷等脆性材料的断裂该理论考虑的裂纹在扩展过程中的塑性功，适用于大多数金属材料的断裂分析注：这些是基于平面应力问题，对于平面应变问题，只需将E变为即可8、 能量释放率及其断裂判据从能量守恒和功能转换关系来研究裂纹扩展过程，由此可以更清楚地揭示断裂韧性的物理意义断裂韧性：表征材料阻止裂纹扩展的能力，是度量材料的韧性好坏的一个定量指标当裂纹尺寸一定时，材料的断裂韧性值愈大，其裂纹失稳扩展所需的临界应力就愈大；当给定外力时，若材料的断裂韧性值愈高，其裂纹达到失稳扩展时的临界尺寸就愈大。

设有一裂纹体，其裂纹面积A，若其裂纹面积扩展了dA，在这个过程中载荷所做的外力功为dW，体系弹性应变能变化了dU，塑性功变化了dΛ，裂纹表面能增加dS如果不考虑热功间转换，则由能量守恒和转换定律，得合外力所做的功等于系统内能的改变量式中dΛ与dS表示裂纹扩展dA时所需要的塑性功和裂纹表面能（对于金属材料，通常比大三个数量级，S可以相对于Λ项略去不计），它们可以视为裂纹扩展所需要消耗的能量，也即阻止裂纹扩展的能量记裂纹扩展dA时弹性系统释放（耗散）的能量（势能）为，则有裂纹扩展能量释放率：定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，用G表示，则有它表示系统势能的减少，假设裂纹体的厚度为B，裂纹长为a,则dA=Bda，上式变为：裂纹扩展阻力率：定义裂纹扩展单位面积所需要消耗的能量为裂纹扩展阻力率，用R或表示，则，则材料一定，上述R或为常数，称为材料的断裂韧度可实验测得当G达到时，裂纹将失去平衡，开始失稳扩展所以能量释放率断裂依据为9、G的表达式（一）恒位移情况2a弹性体受载荷P作用，产生位移△后，固定上下两端，构成恒位移的能量封闭系统则d△=0，dW=0，所以系统释放的应变能用于推动裂纹扩展，因此，裂纹扩展的能量释放率就是弹性体的应变能释放率。

弹性情况下：，又知，式中c为弹性体的柔度，它是裂纹长度a的函数，即c=c(a)则因此断裂韧度可计算为：10、G表达式（二）恒载荷情况2a弹性体受不变的载荷P作用，裂纹扩展da时，载荷不变(dP=0),位移变化为d△，故应变能的变化为外力功改变为因此断裂韧度可计算为小结：恒位移情况恒载荷情况比较位移恒定与载荷恒定情况下推导的断裂韧度，发现：该式表明：恒位移或恒载荷情况下，可以有统一的表达式，它反映了裂纹扩展能量释放率与试件柔度之间的关系，成为Irwin-Kies关系11、平面问题（应力应变与z轴无关，只是平面x，y坐标的函数）俩个平衡方程：三个几何方程：三个物理方程：用应力表示的相容方程：在弹性力学中，引入艾里应力函数，使得应力函数满足相容方程（协调方程）、应力边界条件和位移边界条件（双调和方程）平面应力（应力二维）与平面应变（应变二维）问题的异同应力、应变、位移的差别12、复变函数求解平面问题很多带裂纹的弹性体问题，用复变函数解决更方便定义一个应力函数，其中若Z为解析函数，那么导数必定能够确定从而导出Cauchy-Riemann条件：采用Westergaurd应力函数，，其中，，根据Cauchy-Riemann方程有说明Westergaurd应力函数自动满足协调方程得应力分量：将应力分量代入物理方程，并利用几何方程，可得 平面应变：平面应力： 13、Ⅰ型裂纹如图考虑一个无限大平板，裂纹长2a，在无限远处作用双向均匀拉应力σ。

此问题边界条件：在裂纹上无外力作用，即在y=0，处，；在无穷远处，即处，选取函数Z(z)为 此函数满足边界条件为方便计算，坐标代换：，即；相当于把坐标原点移在了右顶点上所以： 式中；在裂纹右尖端附近，即当时，有极限值，并等于一常数令，其中称为应力强度因子应力强度因子是表征裂纹尖端附近应力场的一个有效参量，可以作为判断裂纹是否将进一步进入失稳状态的一个指标在裂纹尖端附近，在很小的范围内，为代入中得是在裂纹尖端处存在的极限；若只考虑裂纹尖端处附近的一个微小区域，则近似地成立以下关系： 即 以极坐标表示复变函数：考虑到，则而并考虑到，便得到裂纹尖端附近应力场和位移场表达式（‚式）对于无限大板中心裂纹受双向拉应力作用情况，有对于Ⅰ型裂纹，是关键。