不等式1用均值不等式求最值的类型及方法.doc

不等式1----用均值不等式求最值的类型及方法 - 用均值不等式求最值的类型及方法 均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点要求能纯熟地运用均值不等式求解一些函数的最值问题 一、几个重要的均值不等式 a2?b2①a?b?2ab?ab?当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、b?R)，222?a?b-②a?b?2ab?ab-当且仅当a = b时，“=”号成立； ?(a、b?R)，2-2a3?b3?c3(a、b、c?R?)，③a?b?c?3abc?abc?当且仅当a = b = c时,“=”号成立； 3333?a?b?c-④a?b?c?3abc?abc-?(a、b、c?R) ,当且仅当a = b = c时,“=”号成3-33立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； a?b② 熟悉一个重要的不等式链：?ab-112?ab二、函数f(x)?ax?2a2?b2 2b(a、b?0)图象及性质 xy?b2aba(1)函数f(x)?ax?bx?a、b?0?图象如图： ?a、b?0?性质： o?2abxbab(2)函数f(x)?ax?x①值域：(-,?2ab]?[2ab,-)； ②单调递增区间：(-,? bb]，[,-)；单调递减区间：(0,aabb,0). ]，[?aa- 1 - 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1、求函数y?x?1(x?1)的最小值 2(x?1)2解析：y?x?11x?1x?11(x?1)?(x?1)-1(x?1)--1(x?1) 2222(x?1)2(x?1)222(x?1)x?1x?1135-?1， -1?2222(x?1)22?33当且仅当x?115即时，“=”号成立，故此函数最小值是 ?(x?1)x?222(x?1)22评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数通常要通过添加常数、拆项〔常常是拆底次的式子〕等方式进展构造 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值 例2、求以下函数的最大值： ①y?x2(3?2x)(0?x?) ②y?sin2xcosx(0?x?解析：①?0?x?32?2) 3,∴3?2x?0， 23x?x?(3?2x)3∴y?x2(3?2x)(0?x?)?x?x?(3?2x)?[]?1， 23当且仅当x?3?2x即x?1时，“=”号成立，故此函数最大值是1 ②?0?x?值 ?2,∴sinx?0,cosx?0，那么y?0，欲求y的最大值，可先求y2的最大1?(sin2x?sin2x?2cos2x)2y2?sin4x?cos2x?sin2x?sin2x?cos2x1sin2x?sin2x?2cos2x34-?, 2327当且仅当sinx?2cosx(0?x?22?2)?tanx?2，即x?arctan2时， 23。

9不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数通常- 2 - 要通过乘以或除以常数、拆因式〔常常是拆高次的式子〕、平方等方式进展构造 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立 4(0?x?1)的最小值 xb解法一：〔单调性法〕由函数f(x)?ax?(a、b?0)图象及性质知，当x?(0,1]时，函数x4f(x)?x?是减函数证明：任取x1,x2?(0,1]且0?x1?x2?1， x例3、假设x、y?R?，求f(x)?x?那么f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?(x?xxx?444， ?)?(x1?x2)?4?21?(x1?x2)?12x1x2x1x2x1x2，∴∵0?x1?x2?1?f(x1?x2?0,?f(xx1x2?4?0x1x2)f，那么f(1?x)2x?)， 0(x)4在(0,1]上是减函数 x4故当x?1时，f(x)?x?在(0,1]上有最小值5 x即f(x)?x?解法二：〔配方法〕因0?x?1，那么有f(x)?x?24?(?x)2?4， xx易知当0?x?1时， -减函数， 22?x?0且单调递减，那么f(x)?(?x)2?4在(0,1]上也是xx44在(0,1]上是减函数，当x?1时，f(x)?x?在(0,1]上有最小值5。

xx444解法三：〔导数法〕由f(x)?x?得f?(x)?1?2，当x?(0,1]时，f?(x)?1?2?0， xxx44那么函数f(x)?x?在(0,1]上是减函数故当x?1时，f(x)?x?在(0,1]上有最xx即f(x)?x?小值5 解法四：〔拆分法〕f(x)?x?13134(0?x?1)?(x?)-2x-?5， x1xxx当且仅当x?1时“=”号成立，故此函数最小值是5 评析：求解此类问题，要注意灵敏选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法 - 3 - 类型Ⅳ：条件最值问题 例4、正数x、y满足81-1，求x?2y的最小值 xy8x1yx16yx16y?10?2-18, ?yxyx解法一：〔利用均值不等式〕x?2y?(?)(x?2y)?10-81?x?y?1当且仅当?即x?12,y?3时“=”号成立，故此函数最小值是18 -x?16y?x?y解法二：〔消元法〕由那么x81x，由y?0-?1得y-0又x?0?x?8 x?8xyx?8x?2y?x?162x2(x?8)?161616?10?18 ?x-x?2-(x?8)-10?2(x?8)?x?8x?8x?8x?8x?8当且仅当x?8?16即x?12,此时y?3时“=”号成立，故此函数最小值是18。

x?8?828-sinxx-x-sin2x 解法三：〔三角换元法〕令?那么有?1?12-cosx?y-?cos2x-y那么：x?2y?82?8csc2x?2sec2x?8(1?cot2x)?2(1?tan2x)?10?8cot2x?2tan2x ?22sinxcosx?10?2(8cot2x)?(2tan2x)?18， 易求得x?12,此时y?3时“=”号成立，故最小值是18 评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法： 8181x?2y?(?)(x?2y)?2-x?2y?8原因就是等号成立的条件不一致 xyxy - 4 - 类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题 例5、正数x、y满足xy?x?y?3，试求xy、x?y的范围 解法一：由x?0,y?0，那么xy?x?y?3?xy?3?x?y?2xy， 即(xy)?2xy?3?0解得2xy-1(舍)或xy?3， 当且仅当x?y且xy?x?y?3即x?y?3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,-) 又x?y?3?xy?(x?y2)?(x?y)2?4(x?y)?12?0?x?y-2(舍)或x?y?6， 2当且仅当x?y且xy?x?y?3即x?y?3时取“=”号，故x?y的取值范围是[6,-)。

解法二：由x?0,y?0，xy?x?y?3?(x?1)y?x?3知x?1， 那么：y?那么x?3x?3，由y?0-0?x?1， x?1x?1：x?3x2?3x(x?1)2?5(x?1)?44xy?x--(x?1)-5?2x?1x?1x?1x?1当且仅当x?1?x4x?1， 4(x?0)即x?3，并求得y?3时取“=”号，故xy的取值范围是x?1[9,-) x?y?x?x?3x?1?4444?x-x-1?(x?1)-2?2(x?1)-2?6， x?1x?1x?1x?1x?1当且仅当x?1?4(x?0)即x?3，并求得y?3时取“=”号，故xy的取值范围是x?1[9,-) 评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧 - 5 - 第 页 共 页。