高等代数宣讲(第一章-第五章).doc

在本课程主要讲两个内容:1、知识总结2、例题选讲分七块选讲：1、多项式 2、行列式 3、线性方程组与矩阵4、二次型 5、线性空间与线性变换 6、欧式空间 7、λ矩阵例题又涉及单个内容的，也有涉及综合内容的一、 多项式主要内容：多项式的次数的概念：多项式的加减乘除四种运算在除法运算中，分整除与不整除两种情况带余除法会用，最大公式求法、性质、互素的概念、性质、判别，因式分解、重因式、根、实子数、复子数、有理子数多项式的因式分解二、 例题选讲：1、设 ， ，...， ,是S个互不相同的素数，n>1，证明为有理数.证明:作多项式f (x)=- （利用爱森斯坦判别法）它在有理数域上不可解，故f (x)无有理根，但 为f (x)的根，故它不是有理数用反证法也可以 2、设f(x)是一个n次多项式， f (x)证明有n重根证明： 充分性：设f(x)有n重根，则f(x)=, 则=n，显然.必要性：设是 的所有互不相同的根，且重数分别为m1, m2… ms,则m1+m2+… +ms=n -1 (1)由于，所以是f(x)的根且重数分别为m1+1, m2+1… ms+1，于是（m1+1）+（m2+1）+… +（ms+1）=n （2）由（1）（2）得，n-1+s=n s=1, 故只有一个根，重数为n-1.故是f(x)的n重根。

3、证明：多项式f(x)= 能被整除证明：设是的任一根，则=0，于是=14、设f(x)与g(x)不全为0，n为任意正整数，证明=证明：设，且,且，，又，故5、设证明 证明：把两式相加：相减：由（3）得，，但故……..(5) 由（4） =故，再由（5）.6、设f(x)、g(x)、h(x)均为复系数多项式，证明如果,则f(x)=g(x)=h(x)=0, 对复系数多项式此结论是否成立？证明：反证，若至少有一个不为0，不妨设,则为偶函数， 为奇函数对复系数多项式，f(x)=0,g(x)=1+i ,h(x)=1-I 满足 ，但不全为0.7、 证明：，则n=dg. 于是=== n=dg+r

10、求（，）.解：设，现求，设=d，则， 从而，，，于是，因d=(m,n) 所以有整数r，,s 使rm+sn=d 由上题，于是，但===从而，，于是11、若能被除尽，，证明也能被除尽证明：令，则能被除尽，即是的k重根，于是有k-1重根因，故，即是的n重根按此考虑下去知，是的 k-2重根……是的单根，因而于是是的k重根，于是，因而12、设与为两个非零多项式，证明与不互素存在多项式h(x), k(x),使其中, ， 证明：设，则，从而，下证与不互素从而它与矛盾若与不互素，则，其中令，，则，因故，13、设与是两个非零多项式，证明如果对任意多项式h(x)，由可推出，则证明：反证若，令，则，这时，，显然，现在，这说明，这与矛盾，故14、设，证明整除证明1：，所以====，即证法2：有n-1个根，设是的任一根，则=0，但故，于是15、证明：能整除的n为偶数证明：因为，于是， 又，于是 于是 由此，，从而i是的根，即==0 n为偶数16、设，为任意多项式，证明若，则，反之是否成立？证明：设，则，，由于，故 从而，即是与的一公因式 设是与的一公因式，则是与，从而是 的公因式，即是与的最大公因式。

反之不成立，如=，=,，则==所以17、证明：18、证明：，19、证明：如果对多项式存在常数，使，则为常数证明：用反证法若不是常数，则的次数大于0，记的次数为n，则（n>0）,令是的一根，则，得=0，即也是的根，从而可推出，但，故是的根，从而、、、…..都是的根，于是存在两个整数，, .但 =，于是，但，故，这与矛盾20、设是多项式，证明=kx（k为常数）对任意数a,b 有证明：显然 下证充分性 设条件成立，证=kx 若=0，则=0x，这时结论成立 若0，这时设=， 下证的次数为1反证若>1,.则，令=x，b为一固定的非零常数则有条件，即=比较两端n-1次项系数得：=0矛盾21、设，，，为四多项式，且，，证明，若，则22、证明不能整除证明：由=， 所以 因为从而23、设，为任意多项式，证明：证明：令，则，，从而，即是与的公因式设是与的任一公因式，则24、设的次数大于0，证明若=1，则存在多项式，使，且，且这样的唯一证明：因=1，所以=1，因的次数大于0.故,，于是 代入 由此得 =0，从而唯一性：设存在，其中两式想减得于是，但，但，故=0，，同理可证。

25、证明：只要，的次数都大于0，就可适当选择合适的等式的u，v，使，证明：设，，则存在，使，从而下证，，由带余除法，，代入得因，故=026、当k为何值时，有重根证明：有重根与不互素，用去除得余式再用去除， 得余式，故与不互素k=3或27、证明，若是整系数多项式的整数根，则与都是整数证明：设，其中都为整数 由于是的根，故，令将右边展开，在比较次数得由此得由于及都为整数，故一为整数令得于是=令得也为整数28、设为一整系数多项式，证明若与都是奇数，则没有整数根证明：反证，若有整数根，则，设可证是一整系数多项式，令x=0 ，x=1代入，由于都是奇数，故，都是奇数，这是不可能的第一章第一章．多项式补充题1、多项式除以所得余式为 2、设P是一个数集，有一非零数，且P关于减法与 除法（除数不为0）封闭，则P是一数域，，，，，3、设为一多项式，如果，则或 证明：若，则证毕 若，由得只能是零重多项式 令，则即=1.4、令求的奇次项系数之和解：因为，故是偶函数，于是的奇次项系数全为0，故奇次项系数之和等于0.2、 若，问是否必有解：成立因为所以，故，于是，从而3、 设非零多项式没有重因式，证明证明：因为没有重因式，所以，从而，即，即，即。

4、 证明，在有理数域Q上不可取证明：令x=y-1代入二、 行列式1、 知识重点：① 行列式的概念（理解）②行列式的性质（会用）③行列式的计算④克莱姆法则2、 例题选讲方法归纳：提公因子法，消去变换法，递推法，加边法，拉普拉斯展开法例1、计算，其中 ， 解：将第一个提公因子，再将第一行的倍加到第二行，从第二行提公因子，再将第一行的倍，第二行的倍加到第三行，再从第三行提出公因子，这样一直做下去，最后将第一行的倍，第二行的倍……，第n-1行的倍都加到第n行，则得5、 计算D=解:从第二行开始,每行乘-1加到前行,然后将右下角写成(1-x)+x=将第一行列式按前后一列展开，第二行列式逐行减去最后一行，再按最后一行展开=6、 计算：解：将按第一列展开得作方程，它有两个根，这时，于是，同理若，可得若，由上式=7、 计算，据的展开式的行列式乘法解： 8、 设中的所有元素都为实数，且至少有一元素不为0，证明如果D的每个元素等于它自己的代数余子式，证明(只需证即可)证明：用表示D中元素的代数余子式，则，又从而于是=但29、 证明：证明：7、（不讲）计算n阶行列式解：将按第n行展开得：其中与同型，分别为n-1阶，于是但其中于是==8、计算解：第二行开始，每行乘-1加到上一行，再按第一列展开从第一行起，每行见下一行得：9、计算2n阶行列式解：取第一行和第2n行，利用拉普拉斯定理10、计算n阶行列式，将第2、3,…,n列都加到第一列将各行加到第一行，再将新行列式的第一行加到其余各行=11、 ，从第一行起，每行加到下一行12、，从最后一列起，每列减去前一列，再将第一行加到其余各行13、求的根解：第一行乘-1加到其余各行14（不讲）15、，计算最后一列写成两项之和解：=将第一行列式中第n行的倍加到第i行（i=1，2，…,n-1）则得：16、设为整数，证明：证明：，这个行列式的主对角线的元素全为奇数，而其他元素全为偶数他的展开式共有项故在它的展开式中，对角线上的元素的乘积是奇数，而其余乘积都为偶数，故17、计算行列式，从第二行开始，每行减去第一行得从第二列开始，每行减去第一列继续递推下去得于是18、计算从最后一行开始，每行减去前一行，利用，得第二章.行列式补充题1、设行列式，求第4行多元素的余子式之和2、证明：若，都是4维列向量，且4阶行列式，求行列式的值3、设A为矩阵，，把A按列分块为，其中为A的第j列，则。

4、设，且，求5、设x为任意实数，证明行列式6、若n阶方阵A与B只是第j列不同，证明解：7、设n阶行列式，求=解：将D的各列加到第一列8、计算行列式，其中解：加边得第二列起各列分别乘，得，再加到第一列9、计算解：将其他各列都加到第一列，再提公因子，得10、计算n阶行列式解：按第一行展开： 11、设是n阶方阵，，求解：，第1列乘加到第二列则第二阶元素全变为零，故12、计算n阶行列式第一行的（-1）倍加到以下各行解：先加边=================第i列的i-1倍加到第一列=13、证明：=解：先加边得：14、计算，解：加边=第三章线性方程组与矩阵知识要点：1、 线性方程组的消元解法，先写出增广矩阵，再用行初等变换与适当的列初等变换，把它化成阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵判别方程组是否有解在有解时判别有唯一解，还是有无穷多解，求解2、 n维向量组成的向量组，如何判别线性相关、线性无关如何求一个向量组的极大无关组与秩、线性相关、线性无关、极大无关组、秩有何性质3、 矩阵的秩如何求，矩阵的秩与行列式有何关系，矩阵的秩与齐次线性方程组的解有何关系，矩阵的秩与矩阵的行向量、列向量的秩有何关系。

4、 如何利用矩阵的秩判别方程组是否有解齐次和非齐次线性方程组的全部解如何求，。