03普通高等学校招生全国统一考试数学试题天津卷文科试卷及答案.doc

2003年普通高校招生数学(文)统一考试(天津卷) （文史类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P. 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率 其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．不等式的解集是 （ ） A．（0，2） B．（2，+∞） C．（2，4） D．（－∞，0）∪（2，+∞）2．抛物线y=ax2 的准线方程是y=2，则a的值为 （ ） A． B．－ C．8 D．－83． （ ） A． B． C． D．4． 已知 （ ） A． B．－ C． D．－5．等差数列 （ ） A．48 B．49 C．50 D．516．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．7．设函数若，则x0的取值范围是 （ ） A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）8．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心9．函数的反函数为 （ ） A． B． C． D．10．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A． B． C． D．11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tanθ= （ ） A． B． C． D．112．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A．3π B．4π C． D．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.13．展开式中的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ”16．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种 作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植 方法共有 种.（以数字答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分） 已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点P为BD1中点. （1）证明EF为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE的距离.18．（本小题满分12分） 已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.19．（本题满分12分） 已知数列 （Ⅰ）求 （Ⅱ）证明20．（本小题满分12分） 在三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率； （Ⅱ）求至少有两件不合格的概率. （精确到0.001）21．（本小题满分12分） 已知函数是R上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间上是单调函数.求的值.22．（本小题满分14分） 已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.2003年普通高校招生数学(文)统一考试(天津卷) 答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1．C 2．B 3．B 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13． 14．6，30，10 15．S2△ABC+ S2△ACD + S2△ADB = S2△BCD 16．42三、解答题17．本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，满分12分（1）证法一：取BD中点M.连结MC，FM . ∵F为BD1中点 ， ∴FM∥D1D且FM=D1D . 又ECCC1且EC⊥MC ，∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1. 又CM⊥面DBD1 .∴EF⊥面DBD1 . ∵BD1面DBD1 . ∴EF⊥BD1 . 故EF为BD1 与CC1的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得B（0，1，0），D1（1，0，2），F（，，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.即EF⊥CC1，EF⊥BD1 . 故EF是为BD1 与CC1的公垂线. （Ⅱ）解：连结ED1，有VE－DBD1=VD1－DBE .由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1 ，设点D1到面BDE的距离为d.故点D1到平面DBE的距离为.18．本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分 （Ⅰ）解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P（x1,x+2x1）的切线方程是：y－(x+2x1)=(2x1+2)(x－x1),即 y=(2x1+2)x－x ①函数y=－x2+a的导数y′=－2x, 曲线C2 在点Q（x2,－x+a）的切线方程是即y－(－x+a)=－2x2(x－x2). y=－2x2x+x+a . ②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程， x1+1=－x2所以 － x=x+a.消去x2得方程 2x+2x2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a）=0时，即a=－时解得x1=－，此时点P与Q重合.即当a=－时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x－ . （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－时C1和C2有两条公切线设一条公切线上切点为：P（x1,y1）, Q（x2 , y2 ）.其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=－1,y1+y2=x+2x1+(－x+a)= x+2x1－(x1+1)2+a=－1+a . 线段PQ的中点为同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.19．本小题考查数列，等比数列，等比数列求和等基础知识，考查运算能力，满分12分. （Ⅰ）∵a1=1 . ∴a2=3+1=4, a3=32+4=13 . （Ⅱ）证明：由已知an－an－1=3n－1,故所以证得.20．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C. （Ⅰ）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95. P=0.10 , P=P=0.05.因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为 P（A·B·）+P（A··C）+P（·B·C） =P（A）·P（B）·P（）+P（A）·P（）·P（C）+P（）·P（B）·P（C） =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95 =0.176答：恰有一件不合格的概率为0.176. （Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为 P（A··）+P（·B·）+P（··C）+ P（··） =0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052 =0.012. 答：至少有两件不合格的概率为0.012.解法二：三件产品都合格的概率为P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.90×0.952=0.812.由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－P（A·B·C）+0.176=1－（0.812+0.176）=0.012答：至少有两件不合格的概率为0.012.21．本小题主要考查三角函数的图象和单调性，奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满分12分. 解：由f(x)是偶函数，得f(－x)= f(－x). 即： 所以－对任意x都成立，且所以得=0.依题设0，所以解得，由f(x)的图象关于点M对称，得.取x=0,得=－，所以=0.22．本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分 解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值. ∵i=(1,0),c=(。