第二节洛必达法则.doc

第二节 洛必达法则在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.内容分布图示 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6-7综合应用 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14★ 例15 ★ 例16★ 例17 ★ 例18 ★ 例19★ 例20 ★ 例21★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-2 ★ 返回内容要点：一、 未定式的基本类型：型与型； 二、未定式的其它类型：型，型，型 （1）对于型，可将乘积化为除的形式，即化为或型的未定式来计算. （2）对于型，可利用通分化为型的未定式来计算. （3） 对于型，可先化以为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为的形式，再化为或型的未定式来计算.例题选讲: 型例1（讲义例1）求 例2（讲义例2）求 例3（讲义例3）求 例4（讲义例4）求 .型 例5（讲义例5）求例6（讲义例6）求.例7（讲义例7）求 (n为正整数, )注: 对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大, 但它们增大的速度很不一样, 幂函数增大的速度远比对数函数快，而指数函数增大的速度又远比幂函数快.洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例8 求 例9（讲义例8）求 例10（讲义例9）求 .型，型，型例11（讲义例10）求 (型)例12（讲义例11）求 . (型)例13 求 例14 求例15 求例16（讲义例12）求. (型)例17 求例18（讲义例13）求例19 求 例20（讲义例14）求. (型)例21 求 课堂练习1.设有一阶导数, 求 2.设是未定式极限, 如果的极限不存在且不为, 是否的极限也一定不存在? 举例说明.洛必达（L’ Hospital，1661~1704）简介：洛必达(L’Hospital)是法国数学家，1661年生于巴黎，1704年2月2日卒于巴黎。

洛必达生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特候爵，昂特尔芒伯爵称号青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视自行告退，转向从事学术研究洛必达很早即显示出其数学的才华，15岁时就解决了帕斯卡所进出的一个摆线难题洛必达是莱布尼兹微积分的忠实信徒，并且是约翰.伯努利的高足，成功地解答过约伯努利提出的“最速降线”问题他是法国科学院院士洛必达的最大功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程--------《用于理解曲线的无穷小分析》这部著作出版于1696年，后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国普及微积分起了重要作用这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例，以定义和公理为出发点，同时得益于他的老师约翰.伯努利的著作，其经过是这样的：约翰.伯努利在1691-1692年间写了两篇关于微积分的短论，但未发表不久以后，他答应为年轻的洛必达讲授微积分，定期领取薪金作为答谢他把自己的数学发现传授给洛必达，并允许他随时利用于是洛必达根据约翰.伯努利的传授和未发表的论著以及自己的学习心得，撰写了该书洛必达曾计划出版一本关于积分学的书，但在得悉莱布尼兹也打算撰写这样一本书时，就放弃了自己的计划他还写过一本关于圆锥曲线的书——《圆锥曲线分析论》。

此书在他逝世之后16年才出版洛必达豁达大度，气宇不凡由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往从而成为全欧洲传播微积分的著名人物。