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9/19/20241第五章 模态逻辑第一节第一节 模态逻辑模态逻辑模态和模态词模态：模态：指事物或认识的必然性和可能性等这类性质模态在思维中的反映，表现为一定的认识和观念，便形成了相应的模态概念模态词：模态词：语言中用以表示模态或模态概念的语词或符号如：汉语中的“必然性”、“可能性”，英语中的单词“necessity”、“possible”模态算子：模态算子：通常用人工语言符号“□”和“◇”来分别表示必然性和可能性，这些人工符号在模态推理中被称为模态算子9/19/20243模态的分类模态按照不同的标准，可分为从物的模态和从言的模模态按照不同的标准，可分为从物的模态和从言的模态；或客观模态和主观模态；或狭义模态和广义模态态；或客观模态和主观模态；或狭义模态和广义模态Ø从物的模态：从物的模态：关于事物本身的模态例如：关于事物本身的模态例如：9 9必然大于必然大于7 7Ø从言的模态：从言的模态：关于命题的模态例如：关于命题的模态例如：““9 9大于大于7”7”是必然的是必然的Ø客观模态：客观模态：客观存在的必然性和可能性等性质例如：飞机客观存在的必然性和可能性等性质例如：飞机的速度不可能超过光速。

的速度不可能超过光速Ø主观模态：主观模态：认识中的确定性或不确定性等这类性质例如：认识中的确定性或不确定性等这类性质例如：香格里拉可能就在中国的云南省香格里拉可能就在中国的云南省Ø狭义模态：狭义模态：必然性与可能性等性质狭义模态又叫真势模态必然性与可能性等性质狭义模态又叫真势模态Ø广义模态：广义模态：认识和事物中的其他性质如认识和事物中的其他性质如: :知道知道等认知模态等认知模态9/19/20244模态形式模态形式：研究含有模态词的思维逻辑形式它是模态形式：研究含有模态词的思维逻辑形式它是在经典逻辑形式的基础上增加模态算子等模态成分在经典逻辑形式的基础上增加模态算子等模态成分而形成的逻辑形式而形成的逻辑形式下列模态命题均有对应的逻辑形式：下列模态命题均有对应的逻辑形式：(6)如果今天下雨，那么今天下雨或刮风是可能的(5)如果下雨，那么地上必然会湿4)明天可能不会下雨3)明天可能是晴天2)事物静止必然不是绝对的1)物体运动必然产生能量模态命题的形式模 态 命 题□p□p◇p◇pP→□qP→◇(p∨q)9/19/20245四种基本的模态命题在命题在命题p和和 p上增加必然算子上增加必然算子□和可能算子和可能算子◇◇,可可得到四种基本的模态命题：得到四种基本的模态命题：可能命题模态命题必然命题必然肯定命题(□p)可能肯定命题(◇p)必然否定命题(□p)可能否定命题(◇p)9/19/20246模态推理以模态命题为前提或结论的推理叫做模态推理。

例如以模态命题为前提或结论的推理叫做模态推理例如:（1）患阑尾炎但肚子不痛是不能的,所以患阑尾炎则肚子痛是必然的2）如果小张是党员干部，那么他必然是党员；小张是党员干部所以，他必然是党员其推理形式分别为：（1′）◇(p∨q)→□（P→q）（2′）（P→□q）∧P→□q模态逻辑学是关于模态形式及其规律的逻辑学，目的在于得到有效的模态逻辑学是关于模态形式及其规律的逻辑学，目的在于得到有效的模态推理形式模态推理形式相应于经典的命题逻辑和谓词逻辑，模态逻辑也可分为模态命题逻辑和模态谓词逻辑从逻辑史来看，模态逻辑又可分传统模态逻辑和现代模态逻辑9/19/20247传统模态逻辑的对当方阵 下反对下反对差差 等等差差 等等□p□ p◇◇p◇◇ p矛矛盾盾盾盾矛矛反对反对9/19/20248传统模态逻辑的对当方阵由对当关系方阵，可得四种基本模态命题之间的真由对当关系方阵，可得四种基本模态命题之间的真值关系：值关系：（（1 1））矛盾关系：□p与◇p、□p与◇p不能同真，也不能同假2 2））反对关系：□p与□p不可同真，但可同假3 3））下反对关系：◇p与◇p不可同假，但可同真4 4））差等关系：□p真则◇p真；◇p假则□p假；□p假则◇p真假不定；◇p真则□p真假不定。

□p与◇p也有这种关系9/19/20249传统模态逻辑的对当推理Ø矛盾关系对当推理：矛盾关系对当推理：（1）□p├┤◇p； （2）□p├┤◇p（3）◇p├┤□p； （4）◇p├┤□pØ反对关系对当推理：反对关系对当推理：（5）□p├ □p； （6）□p├ □pØ下反对关系对当推理：下反对关系对当推理：（7）◇p├ ◇p； （8）◇p├ ◇pØ差等关系对当推理：差等关系对当推理：（9）□p├ ◇p； （10）□p├ ◇p（11）◇p├ □p； （12）◇p├ □p9/19/202410模态对当推理的应用实例（1）“罪犯必然有犯罪时间”（□p）为真，可得：Ø“罪犯必然无犯罪时间”（□p）为假；Ø“罪犯可能有犯罪时间”（◇p）为真；Ø“罪犯可能无犯罪时间”（◇p）为假2）“并非明天必然下雪”（□p）等值于“明天可能不下雪”（◇p）（3）“并非他必然不被当选”（□p）等值于“他可能被当选”（◇p）9/19/202411模态六角图□p反对□p差差矛矛差差pp盾矛等等盾盾等◇p下反对◇p等9/19/202412实然命题与必然命题、可能命题间的推理经典逻辑中不含模态词的命题叫实然命题。

经典逻辑中不含模态词的命题叫实然命题从从六角图六角图可以得到如下有效推理：可以得到如下有效推理：（1）□p├ p（2）p├ ◇p（3）□p├ p（4）p├ ◇p（5）◇p├ p（6）p├ □p（7）◇p├ p（8）p├ □p9/19/202413实然命题与必然命题、可能命题间的推理(1)——(8)的推理式体现了结论从弱原则：结论的的推理式体现了结论从弱原则：结论的模态不能强于前提的模态，即必然强于实然，实然模态不能强于前提的模态，即必然强于实然，实然强于可能强于可能(或然或然)故上述推理可以简化为：故上述推理可以简化为：（9）□p├ p├ ◇p（10）□p├ p├ ◇p（11）◇p├ p├ □p（12）◇p├ p├ □p根据实然命题的真假可推知相应模态命题的真假：根据实然命题的真假可推知相应模态命题的真假：（13）p├ ◇p├ □p（14）p├ ◇p├ □p（15）p├ □p├ ◇p（16）p├ □p├ ◇p9/19/202414直言模态命题 根据根据“必然必然”、、“可能可能”这两个模态词和这两个模态词和A、、E、、I、、O四种基本直言命题的组合，得到八种基四种基本直言命题的组合，得到八种基本的直言模态命题：本的直言模态命题：1、必然全称肯定命题(□SAP)；2、必然全称否定命题(□SEP)；3、必然特称肯定命题(□SIP)；4、必然特称否定命题(□SOP)；5、可能全称肯定命题(◇SAP)；6、可能全称否定命题(◇SEP)；7、可能特称肯定命题(◇SIP)；8、可能特称否定命题(◇SOP)；9/19/202415直言模态方阵图其中，箭头直线为差等关系线，无箭头直线为矛盾关系线，上虚线为反对关系线，下虚线为下反对关系线。

◇SOP◇SIP◇SEP◇SAP□SOP□SIP□SEP□SAP9/19/202416直言模态方阵图的有效推理1、根据、根据直言模态命题直言模态命题之间的之间的矛盾关系矛盾关系得出的等值式有：得出的等值式有：（1）□SAP├┤◇SOP例如：所有的结果都必然有原因├┤不可能有的结果没有原因（2）□SEP├┤◇SIP例如：所有的动物必然不是植物├┤不可能有的动物是植物（3）□SIP├┤◇SEP例如：有的大学生必然是党员├┤不可能所有的大学生都不是党员（4）□SOP├┤◇SAP例如：有的青年必然不是干部├┤不可能所有的青年都是干部9/19/202417直言模态方阵图的有效推理1、根据、根据直言模态命题直言模态命题之间的之间的矛盾关系矛盾关系得出的等值式有：得出的等值式有：（5）◇SAP├┤□SOP例如：所有的人的本性可能都是善良的├┤并非有的人的本性必然是不善良的（6）◇SEP├┤□SIP例如：甲班所有的同学可能都不是学生会干部├┤并非甲班有的同学必然是学生会干部（7）◇SIP├┤□SEP例如：有的大一学生可能英语过了六级├┤并非所有的大一学生必然英语没有过六级（8）◇SOP├┤□SAP例如：有的干部可能没有上过大学├┤并非所有的干部都必然上过大学9/19/202418直言模态方阵图的有效推理2、根据、根据直言模态命题直言模态命题之间的之间的差等关系差等关系得出的蕴涵式有：得出的蕴涵式有： （9） □SAP├ □SIP （10）□SEP├ □SOP （11）□SAP├ ◇SAP （12）□SEP├ ◇SEP （13）□SIP├ ◇SIP （14）□SOP├ ◇SOP （15）◇SAP├ ◇SIP （16）◇SEP├ ◇SOP9/19/202419直言模态方阵图的有效推理3、根据、根据直言模态命题直言模态命题之间的之间的反对关系反对关系得出的蕴涵式有：得出的蕴涵式有：（17）□SAP├ □SEP（18）□SEP├ □SAP4、根据、根据直言模态命题直言模态命题之间的之间的下反对关系下反对关系得出的蕴涵式有：得出的蕴涵式有：（19）◇SIP├ ◇SOP（20）◇SOP├ ◇SIP9/19/202420现代模态逻辑的产生罗素和怀特海建立的经典命题演算中，有一些实质蕴涵的定理，如：罗素和怀特海建立的经典命题演算中，有一些实质蕴涵的定理，如：(1)(1) p→(p→q)(p→(p→q)(等值于等值于( (p∧p∧ p)→qp)→q) )；；(2)p→(q→p)((2)p→(q→p)(等值于等值于q→(p∨q→(p∨ p p))))这个定理的分别是说：“假命题蕴涵任何命题”、“真命题被任何命题所蕴涵”。

这就是古典命题逻辑中的实质蕴涵怪论美国逻辑学家刘易斯（美国逻辑学家刘易斯（I.Lewis）通过对实质蕴涵）通过对实质蕴涵→的批评，提出了严格蕴涵的批评，提出了严格蕴涵 ，以突出条件命题前、后件的必然导致关系：，以突出条件命题前、后件的必然导致关系： p q=p q=dfdf ◇(p∧◇(p∧ q q) )或或p q=p q=dfdf□(p→q□(p→q) )在此基础上建立了模态命题逻辑系统S1—S5，开创了现代模态逻辑严格蕴涵就是具有必然性的实质蕴涵，是在经典命题演算的基础增加模态算子□或◇得到的现代模态逻辑的特点：现代模态逻辑的特点：（（1 1）它是符号化和公理化的，表现为一些形式系统它是符号化和公理化的，表现为一些形式系统2 2）它是经典逻辑加上一个模态算子的扩张它是经典逻辑加上一个模态算子的扩张3 3）它将传统模态逻辑的范围）它将传统模态逻辑的范围大大拓宽，是一种广义的模态逻辑大大拓宽，是一种广义的模态逻辑9/19/202421模态命题的自然推理系统TN一、初始符号：一、初始符号：（（1 1））命题变元：NP系统所有命题变元；（（2 2））一元算子：，□； （（3 3））二元算子：∧，∨，→，； （（4 4））辅助符号：（，）。

二、形成规则：二、形成规则：（（1 1））任一命题变元是合式公式；（（2 2））若A是合式公式，则A、□A也是合式公式；（（3 3））若A和B是合式公式，则A∧B、A∨B、A→B、AB是合式公式； （（4 4））只有（1）—（3）构成的符号串是合式公式9/19/202422模态命题的自然推理系统TN三、定义：三、定义：（（1 1））D◇：◇A=df□A；（（2 2））D ：A B=df□(A→B)；（（3 3））D= ：A=B=df（A B）∧（B A）四、推导规则四、推导规则（（1 1））NP系统的所有推出规则；（（2 2））□+(必然引入规则)：从定理A可推出□A；（（3 3））□_(必然消去规则)：从□A可推出A；（（4 4））□M(必然分离规则)：从□(A→B)和□A可推出□B，即从□(A→B)可推出□A→□B9/19/202423自然推理系统TN的定理ØA A是是T TN N的定理，当且的定理，当且仅仅当当A A能能仅仅由由T TN N系系统统的推的推导规导规则则推出或者推出或者说说，有一个无假，有一个无假设设（前提（前提为为空集空集φφ）的自然推理以）的自然推理以A A为为其中一其中一项项。

可可记为记为：： ├ ├T TN N A AØA→BA→B是是T TN N的定理，当且的定理，当且仅仅当从当从A A和原前提集出和原前提集出发发，，由由T TN N系系统统的推的推导规则导规则能推出能推出B B可简记为简记为：： ├ ├T TN N A→B A→B 或或 A├A├T TN N B B9/19/202424自然推理系统TN的语法推出关系T1：：□A├ A证明：证明：(1) □A A (2) A (1),□_T2：：A├ ◇◇A证明：证明：(1) A A (2)  ◇◇A H( _的假设的假设) (3)  ◇◇A (2),+ (4) □ A (3),D◇◇ (5)  A (4),□_ (6) A∧∧ A (1),(5),∧∧+ (7) ◇◇A (2) —(6) , _(消去消去H)T3：：A├ □ A证明：由证明：由T2据据D◇◇即得。

即得9/19/202425自然推理系统TN的语法推出关系T4：：◇◇（（A∧∧B））├◇◇A∧◇∧◇B证明：证明：（（1））◇◇（（A∧∧B）） A （（2））A∧∧B H1(→＋＋的假设的假设) （（3））A （（2））,∧∧－－（（4））A∧∧B→A （（2）） —（（3））,→＋＋（消去（消去H1））（（5））□(A∧∧B→A) （（4））,□＋＋（（6））□( A→ （（A∧∧B) ) （（5））,R.P.（（7））□ A→□ （（A∧∧B) （（6））,□M（（8）） □ (A∧∧B) → □ A （（7））, R.P.（（9））◇◇（（A∧∧B））→◇◇A （（8））,D◇◇（（10））◇◇A （（1））,（（9））,→－－ （（11））A∧∧B H2 （（12））B （（11））,∧∧－－9/19/202426（（10））◇◇A （（1））,（（9））,→－－ （（11））A∧∧B H2(→＋＋的假设的假设) （（12））B （（11））,∧∧－－（（13））A∧∧B→B （（11）） — （（12））,→＋＋（消去（消去H2）（）（14））□(A∧∧B→B) （（13））,□＋＋（（15））□( B→ （（A∧∧B)）） （（14））, R.P.（（16））□ B→□ （（A∧∧B) （（15））,□M（（17）） □ (A∧∧B) → □ B （（16））, R.P.（（18））◇◇（（A∧∧B））→◇◇B （（8））,D◇◇（（19））◇◇B （（1））,（（18））,→－－（（20））◇◇A∧◇∧◇B （（10））,（（19））,∧∧＋＋9/19/202427自然推理系统TN的语法推出关系T5:A B├ (B A)→(A C)证明证明: (1)A B A (2)□(A→B) (1), D (3)A→B H1(→＋＋的假设的假设) (4)A H2(→＋＋的假设的假设) (5)B （（3））,（（4））,→－－ (6)B→C H3(→＋＋的假设的假设) (7)C （（5））,（（6））,→－－ (8)A→C （（4）） — （（7））,→＋＋（消去（消去H2）） (9)(B→C)→(A→C) （（6）） — （（8））,→＋＋（消去（消去H3）） (10)(A→B)→((B→C)→(A→C)) （（3）） — （（9））,→＋＋（消去（消去H1）） (11)□((A→B)→((B→C)→(A→C))) （（10））,□＋＋ (12)□(A→B)→□(B→C)→(A→C)) （（11））,□M (13)□((B→C)→(A→C)) （（2））,（（12））, →－－ (14)□(B→C)→□(A→C) （（13））,□M (15)(B A)→(A C) (14), D9/19/202428自然推理系统TN的语法推出关系T6：：□(A∧∧B)├□A∧∧□B证明：证明：(1)□(A∧∧B) A (2)A∧∧B H1 (→＋＋的假设的假设) (3)A （（2））,∧∧－－ (4)A∧∧B→A （（2）） — （（3））,→＋＋（消去（消去H1）） (5)□(A∧∧B→A) （（4））, □＋＋ (6)□(A∧∧B)→□A （（5））, □M (7)□A （（1））,（（6））,→－－ (8)A∧∧B H2 (→＋＋的假设的假设) (9)B （（8））,∧∧－－ (10)A∧∧B→B （（8）） — （（9））,→＋＋（消去（消去H2）） (11)□(A∧∧B→B) （（10））, □＋＋ (12)□(A∧∧B)→□B （（11））, □M (13)□B （（1））,（（12））,→－－ (14)□A∧∧□B （（7））,（（13））,∧∧＋＋9/19/202429自然推理系统TN的语法推出关系T7：：□A├  ◇◇ A证明证明:(1)□A A (2)◇◇ A H( －－的假设的假设) (3) □A (2), D◇◇ (4)□A∧∧ □A （（1））,（（3））,∧∧＋＋ (5) ◇◇ A （（2））—（（4））, －－（消去（消去H））9/19/202430自然推理系统TN的语法推出关系T8：：□A∧∧□B├□(A∧∧B)证明：证明：(1) □A∧∧□B A (2) □A 　　(1),∧∧_ (3) □B 　　(1),∧∧_ 　　 (4) A 　　 H1(→＋＋的假设的假设)　　 　　 (5) B 　　 H2(→＋＋的假设的假设)　　 　　(6) A∧∧B (4),(5),∧∧+ (7) B→A∧∧B 　　　　 (5) —(6), →+（消去（消去H2）） (8) A→(B→A∧∧B) 　　　　 (4) —(7), →+（消去（消去H1）） (9) □(A→(B→A∧∧B))　　　　 (8), □+ (10) □A→□(B→A∧∧B)　　 (9), □M (11) □(B→A∧∧B) 　　　　 (2), (10), →_ (12) □B→□(A∧∧B) 　　 (11), □M (13) □(A∧∧B) 　　 (3),(12) , →_9/19/202431自然推理系统TN的语法推出关系T9:  ◇◇A├(A B)T10: ◇◇A├◇◇(A∨∨B)T11: (A B)├( ◇◇B→ ◇◇A)T12: (A B)├( ◇◇B→◇◇ A)T13: □A├◇◇(A∨∨B)T14: □(A→B)∧∧□(B→A)├(□A□B)T15: □A├ B A9/19/202432模态词的语义解释可能世界语义学能提供模态词的语义解释：可能世界语义学能提供模态词的语义解释：(1)一个命题是必然的，当且仅当它在所有的可能世界中一个命题是必然的，当且仅当它在所有的可能世界中都为真。

都为真2)一个命题是可能的，当且仅当它至少在一个可能世界一个命题是可能的，当且仅当它至少在一个可能世界中为真 一般用一般用W W表示可能世界的集合，用表示可能世界的集合，用V V表示在可能世界表示在可能世界W W中中的赋值 如果命题如果命题A A确实反映了可能世界确实反映了可能世界w w的实际情况，则命题的实际情况，则命题A A在在w w中为真，记作：中为真，记作：V(A,wV(A,w)=1)=1；； 如果命题如果命题A A没有反映可能世界没有反映可能世界w w的实际情况，则命题的实际情况，则命题A A在在w w中为假，记作：中为假，记作：V(A,wV(A,w)=O)=O 上述语义解释可形式化为：上述语义解释可形式化为：(1′)V(□A，w)=1,当且仅当，对任一w′, V(A,w′)=12′)V(◇A，w)=1,当且仅当，存在w′, V(A,w′)=19/19/202433模态词的语义解释如果在可能世界引入一个相对可能关系，则上述解如果在可能世界引入一个相对可能关系，则上述解释（释（1）、（）、（2）可以进一步严格化、精确化：）可以进一步严格化、精确化：(3)命题命题A在可能世界在可能世界w中是必然的，当且仅当它在中是必然的，当且仅当它在对对w来说的任一可能世界来说的任一可能世界w′中都为真。

中都为真4)命题命题A在可能世界在可能世界w中是可能的，当且仅当它至中是可能的，当且仅当它至少在对少在对w来说的一个可能世界来说的一个可能世界w′中为真 克里普克把这种相对可能关系称为可达关系，克里普克把这种相对可能关系称为可达关系，用用R R表示如果可能世界表示如果可能世界w′w′相对于可能世界相对于可能世界w w是可是可能的，我们就说能的，我们就说w w可达可达w′w′，记作，记作wRwwRw′′或或RwwRww′′9/19/202434克里普克模型克里普克模型是一个三元组＜克里普克模型是一个三元组＜W，，R，，V＞＞ ,其中其中W是可能世界的非空集合；是可能世界的非空集合；R 是是W上的道义可达上的道义可达关系；而关系；而V是命题在可能世界是命题在可能世界W中的赋值中的赋值有了克里普克模型，可以对模态算子□和◇进行严格的语义解释：(3′)V(□A(3′)V(□A，，w)=1,w)=1,当且仅当，当且仅当， 对任一对任一w′,w′,若若wRwwRw′′，则，则 V(A,wV(A,w′)=1′)=14′)V(◇A(4′)V(◇A，，w)=1,w)=1,当且仅当，当且仅当， 存在存在w′, w′, wRwwRw′ ′ ，且，且V(A,wV(A,w′)=1′)=1。

9/19/202435模态命题公式的语义分析设设P为任意的命题变元，为任意的命题变元，A，，B为任意公式，为任意公式，w(w∈∈W)为任意为任意的可能世界，的可能世界，V是对模态命题公式的赋值，则可得出下列公是对模态命题公式的赋值，则可得出下列公式在模型＜式在模型＜W，，R，，V＞下的赋值定义：＞下的赋值定义：(1)(1)［［V Vp p］要么］要么V(p,wV(p,w)=1)=1，要么，要么V(p,wV(p,w)=0)=0 1 1，若，若V(A,wV(A,w)=0)=0(2)(2)［［V V ］］V(V( A,wA,w)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若V(A,wV(A,w)= )= V(B,wV(B,w)=1)=1(3)(3)［［V V∧∧］］V(A∧B,wV(A∧B,w)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若V(A,wV(A,w)=1)=1或或 V(B,wV(B,w)=1)=1(4)(4)［［V V∨∨］］V(A∨B,wV(A∨B,w)= )= 0 0，否则，否则9/19/202436模态命题公式的语义分析 1 1，若，若V(A,wV(A,w)=0)=0或或 V(B,wV(B,w)=1)=1(5)(5)［［V V→→］］V(A→B,wV(A→B,w)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若V(A,wV(A,w)=)=V(B,wV(B,w) )(6)(6)［［V V］］V(AV(AB,wB,w)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若 w′(wRw′→V(A,ww′(wRw′→V(A,w′)=1)′)=1)(7)(7)［［V V□□］］V(□A,wV(□A,w)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若 w′(wRw′∧V(A,ww′(wRw′∧V(A,w′)=1)′)=1)(8)(8)［［V V◇◇］］V(◇A,wV(◇A,w)= )= 0 0，否则，否则9/19/202437模态命题公式的语义分析设设M=M=＜＜W W，，R R，，V V＞为任意模型，＞为任意模型，A A为任意模态公式，为任意模态公式，w w为为W W中的任意元素（中的任意元素（w∈Ww∈W）：）：9/19/202438第五章 模态逻辑第二节第二节 规范逻辑规范逻辑规范命题（1）中华人民共和国公民必须遵守法律。

2）允许外商到中国境内投资3）禁止在公共场合吸烟规范逻辑就是研究规范命题形式和构造相应的形式规范逻辑就是研究规范命题形式和构造相应的形式逻辑理论的学科逻辑理论的学科含有含有“必须必须”、、 “允许允许”、、 “禁止禁止”等规范词的命题等规范词的命题,叫规范命题叫规范命题,又叫道义命题例如：又叫道义命题例如：9/19/202440规范命题的种类必须命题必须命题 必须命题是含有必须命题是含有“必须必须”、、“应该应该”、、“一定一定”、、“有义务有义务”等模态词等模态词的命题，陈述的是必须履行或必须实现的某种行为或事件状态例如：的命题，陈述的是必须履行或必须实现的某种行为或事件状态例如：（1）凡会员必须交纳会费2）夫妻双方有实行计划生育的义务用用O指称必须模态词，上述命题的形式可表示为：指称必须模态词，上述命题的形式可表示为：Op允许命题允许命题 允许命题是含有允许命题是含有“可以可以”、、“充许充许”、、“准予准予”等模态词的命题，陈述等模态词的命题，陈述的是允许履行或允许实现的某种行为或事件状态表达权利的命题都是允的是允许履行或允许实现的某种行为或事件状态表达权利的命题都是允许命题。

例如：许命题例如：（1）人人都有自由选择职业的权利2）允许学生向老师提意见用用P指称允许模态词，上述命题的形式可表示为：指称允许模态词，上述命题的形式可表示为：Pp9/19/202441规范命题的种类禁止命题禁止命题 禁止命题是含有禁止命题是含有“禁止禁止”、、“不得不得”、、“不准不准”等模态词的命题，陈等模态词的命题，陈述的是禁止实现的某种行为或事件状态例如：述的是禁止实现的某种行为或事件状态例如：（1）禁止偷盗他人财产2）学生不得善自离开学校用用F指称禁止模态词，上述命题的形式可表示为：指称禁止模态词，上述命题的形式可表示为：Fp复合规范命题复合规范命题是指用命题联系词将原子的规范命题联结起来的命题例如：是指用命题联系词将原子的规范命题联结起来的命题例如： 禁止破坏国家财产；人人都有保护国家财产的义务；允许公民或团体承包部分国有小企业命题形式：命题形式：Fp∧∧Oq∧∧P(r∨∨s)9/19/202442规范对当方阵 矛矛盾盾盾盾矛矛下反对下反对差差 等等差差 等等OpOp（（F F p））FpFp（（O O p p）） Pp Pp  OpOp（（P P p p））反对反对9/19/202443规范对当方阵的推理（（1）必须命题和禁止命题的关系：）必须命题和禁止命题的关系：Op =Op =dfdfF F p p ；；Fp =Fp =dfdfO O p p。

2）反对关系推理：）反对关系推理：Op├Op├ FpFp；； Fp├Fp├ OpOp；；（（3）矛盾关系的推理：）矛盾关系的推理：Op├┤Op├┤ P P p p；；  Op├┤POp├┤P p p；； O O p├┤p├┤ PpPp；；  O O p├┤Ppp├┤Pp；； F F p├┤p├┤ P P p p；； Fp├┤Fp├┤ PpPp4）差等关系的推理：）差等关系的推理：Op├ Pp Op├ Pp ；；  Pp├Pp├ OpOp ；； O O p p├ ├ P P p p ；；  P P p├p├ O O p p5）下反对关系的的推理：）下反对关系的的推理： Pp├ Pp├ P P p p；；  P P p p├ Pp├ Pp。

9/19/202444现代规范逻辑系统DTN 1、初始符号、初始符号（1）命题变元：NP系统的所有命题变元；（2）一元算子：，O； （3）二元算子：∧，∨，→，； （4）辅助符号：（，）2、形成规则、形成规则（1）任一命题变元是合式公式；（2）如果P是合式公式，则p，Op也是合式公式；（3）如果P和q是合式公式，则p∧q，p∨q，p→q，pq是合式公式；（4）只有(1)—(3)形成的符号串是合式公式9/19/202445现代规范逻辑系统DTN3、定义、定义: (1)DP：Pp=dfOp；(2)DF：Fp=dfOp4、推导规则、推导规则:(1)NP系统的基本推导规则；(2)关于O的推理规则： ØO+(必须引入规则)：由定理A推出OA；ØO_(必须消去规则)：由OA可推出PA；ØOM(必须分离规则):由O(A→B)和OA可推出OB；即从O(A→B)可推出OA→OB9/19/202446规范逻辑系统DTN的定理ØA是DTN的定理，当且仅当A能仅由TN系统的推导规则推出或者说，有一个无假设（前提为空集φ）的自然推理以A为其中一项可记为：├DTNAØA→B是DTN的定理，当且仅当从它的全部前提出发，由DTN系统的推导规则能推出它的结论。

可记为：├DTNA→B或A├DTNB9/19/202447规范逻辑系统TN的语法推出关系TDTN1：：├O(p∧∧q) Op∧∧Oq证明：证明： (1) p∧∧q H1(→＋＋的假设的假设) (2) p (1)，，∧∧_ (3) p∧∧q→p (1) — (2)，，→+(消去消去H1) (4) O(p∧∧q→p) (3) ，，O+ (5) O(p∧∧q)→Op (4)，，OM (6) O(p∧∧q)→Oq 同上可证同上可证 (7) O(p∧∧q) H2(→＋＋的假设的假设) (8) Op （（5））,（（7），），→_ (9) Oq （（6））,（（7），），→_ (10)Op∧∧Oq (8)，，(9)，，∧∧+ (11)O(p∧∧q)→Op∧∧Oq (7) — (10), →+(消去消去H2) (12)P H39/19/202448 (13)q H4(→＋＋的假设的假设) (14)p∧∧q (12)，，(13)，，∧∧+ (15) q→p∧∧q (13) — (14),→+(消去消去H4) (16) p→(q→p∧∧q) (12) — (15), →+(消去消去H3) （（17））Op∧∧Oq H5(→＋＋的假设的假设) （（18））Op (17)，，∧∧_ （（19））Oq (17)，，∧∧_ （（20））O(p→(q→p∧∧q)) (16) ，，O＋＋ （（21））Op→O(q→p∧∧q) (20)，，OM （（22））O(q→p∧∧q) (18)，，(21)，，→_ （（23））Oq→O(p∧∧q) (22) ，，OM （（24））O(p∧∧q) (19)，，(23) ，，→_ （（25））Op∧∧Oq →O(p∧∧q) (17) —(24) ，，→_ (消去消去H5) （（26））O(p∧∧q) Op∧∧Oq (11)，，(25) ，，＋＋9/19/202449规范逻辑系统TN的语法推出关系TDTN2: ├ F(p∨∨q) Fp∧∧Fq 证明证明:（（1））O( p∧∧ q)  O p∧∧O q TDTN1（（2））O  (p∨∨q)  O p∧∧O q（（1））,德德·摩根律摩根律（（3））F(p∨∨q) Fp∧∧Fq（（2））,DFTDTN3: ├Fp∨∨Fq F(p∧∧q)证明证明:（（1））Fp∨∨Fq A （（2））p∧∧q H(→＋＋的假设的假设) （（3））P （（2））,∧∧－－（（4））p∧∧q→p （（2））,（（3））,→＋＋（消去（消去H））（（5）） p→ ( p∧∧q) （（4））,假言易位假言易位（（6））O( p→ (p∧∧q)) （（5））,O＋＋（（7））O p→O (p∧∧q) （（6））,OM（（8））Fp→F(p∧∧q) （（7））,DF（（9））Fq→F(p∧∧q) 同上理可证同上理可证（（10））F(p∧∧q) （（1））,（（8））,（（9））,二难推理二难推理9/19/202450规范逻辑系统TN的语法推出关系TDTN4：：├F(p∨∨q) Fp∧∧FqTDTN5：： O(p→q) ∧∧ Fq├ OqTDTN6: Fp├ Op∧∧ PpTDTN7：：├P(p∨∨q) Pp∨∨PqTDTN8：：O(p∨∨q)├Pp∨∨Pq TDTN9：：P(p∧∧q)├ Pp∧∧PqTDTN10：：Op∨∨Oq├ O(p∧∧q)TDTN11: O(p∧∧q→r) ∧∧OP∧∧Fr├FqTDTN12: O(p→q)├(Pp→Pq)TDTN13: P(p→q)├(Op→Oq)TDTN14: (Pp→Pq)├P(p→q)TDTN15: Op├O(p∨∨q)9/19/202451规范逻辑系统TN的语法推出关系TDTN16: Pp├P(p∨∨q)TDTN17: ├O pPpTDTN18: ├ Op P pTDTN19: ├OOpPP pTDTN20: ├OO pPPpTDTN21: ├PP pOOpTDTN22: ├OP pPOpTDTN23: ├PO pOPpTDTN24: O(p→q) ∧∧Pp├PqTDTN25: ├O(p∨∨ p））TDTN26: ├F(p∧∧ p））TDTN27: ├ O(p∧∧ p））9/19/202452规范逻辑系统TN的语法推出关系TDTN28: ├ P(p∧∧ p)TDTN29: P(p∧∧ p)├PqTDTN30: O(p∧∧ p)├Oq引入道引入道义义上中立的模上中立的模态词态词, ,用用““I”I”指称它指称它, ,定定义为义为: :D DI I：：IpIp= =dfdfPp∧PPp∧P p p根据根据该该定定义义，有如下定理，有如下定理: :T TDTNDTN31: ├31: ├IpIp Op∧Op∧ O O p pT TDTNDTN32: ├32: ├Op∨Ip∨FpOp∨Ip∨FpT TDTNDTN3232表表明明道道义义完完全全性性原原则则。

根根据据这这一一原原则则，，每每一一种种行行为为或是必或是必须须的，或是道的，或是道义义上无差上无差别别的，或是禁止的的，或是禁止的9/19/202453道义算子的语义解释将克里普克的可能世界扩展到可能道义世界，则可将克里普克的可能世界扩展到可能道义世界，则可以给出道义逻辑的语义解释以给出道义逻辑的语义解释1）道义命题A在道义可能世界wi中是必须的，当且仅当它在对wi来说的任一道义可能世界wj中都为真2）道义命题A在道义可能世界wi中是允许的，当且仅当它至少在对wi来说的一个道义可能世界wj中为真3）道义命题A在道义可能世界wi中是禁止的，当且仅当它在对wi来说的任一道义可能世界wj中都为假9/19/202454道义算子的语义解释有有了了道道义义逻逻辑辑系系统统的的模模型型，，可可以以对对道道义义算算子子进进行行严严格格的的语语义义解解释释：：(1′)(1′)V(OA，wi)=1,当且仅当，对任一wj, 若wiRwj，则 V(A,wj)=12′)(2′)V(PA，wi)=1,当且仅当，存在wj, wiRwj,且V(A, wj)=13′)(3′)V(FA，wi)=1,当且仅当，对任一wj, 若wiRwj，则 V(A,wj)=0。

道道义义逻逻辑辑系系统统的的模模型型是是一一个个三三元元组组＜＜W，，R，，V＞＞，，W是是道道义义可可能能世世界界的的非非空空集集合合；；R是是W上上的的道道义义可可达达关关系系，，wiRwj表表示示在在道道义义可可能能世世界界wi和和wj之之间间有有道道义义可可达达关关系系；；而而V是道义命题在道义可能世界是道义命题在道义可能世界W中的赋值中的赋值9/19/202455道义命题公式的语义分析设设P为任意的命题变元，为任意的命题变元，A，，B为任意公式，为任意公式，wi(wi∈∈W)为任意为任意的可能道义世界的可能道义世界,V是对道义命题公式的赋值是对道义命题公式的赋值,则可得出下列公则可得出下列公式在模型＜式在模型＜W,R,V＞下的赋值定义：＞下的赋值定义：(1)(1)［［VpVp］要么］要么V(p,wV(p,wi i)=1,)=1,要么要么V(p,wV(p,wi i)=0,)=0,二者不可同时成立二者不可同时成立 1 1，若，若V(A,wV(A,wi i)=0)=0(2)(2)［［V V ］］V(V( A,wA,wi i)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若V(A,wV(A,wi i)= )= V(B,wV(B,wi i)=1)=1(3)(3)［［V V∧∧］］V(A∧B,wV(A∧B,wi i)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若V(A,wV(A,wi i)=1)=1或或 V(B,wV(B,wi i)=1)=1(4)(4)［［V V∨∨］］V(A∨B,wV(A∨B,wi i)=)= 0 0，否则，否则9/19/202456道义命题公式的语义分析 1 1，若，若V(A,wV(A,wi i)=0)=0或或 V(B,wV(B,wi i)=1)=1(5)(5)［［V V→→］］V(A→B,wV(A→B,wi i)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若V(A,wV(A,wi i)=)=V(B,wV(B,wi i) )(6)(6)［［V V］］V(AV(AB,wB,wi i)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若 w wj j(w(wi iRwRwj j→V(A,w→V(A,wj j)=1))=1)。

7)(7)［［VoVo］］V(OA,wV(OA,wi i)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若 w wj j(w(wi iRwRwj j∧V(A,w∧V(A,wj j)=1))=1)8)(8)［［V VP P］］V(PA,wV(PA,wi i)= )= 0 0，否则，否则 1 1，若，若 w wj j(w(wi iRwRwj j→V(A,w→V(A,wj j)=0))=0)9)(9)［［V VF F］］V(FA,wV(FA,wi i)= )= 0 0，否则，否则9/19/202457道义命题公式的语义分析设设M=＜＜W，，R，，V＞为任意道义模型，＞为任意道义模型，A为任意公式，为任意公式，wi为为W中的任意元素（中的任意元素（wi∈∈W）：）：9/19/202458本章小结Ø基本内容基本内容传统模态逻辑的对当推理。

传统模态逻辑的对当推理模态逻辑模态逻辑TN系统的推理规则及定理的证明系统的推理规则及定理的证明模态逻辑的可能世界语义学模态逻辑的可能世界语义学规范逻辑系统规范逻辑系统DTN的推理规则及定理的证明的推理规则及定理的证明Ø重难点重难点TN系统和系统和DTN系统定理的证明系统定理的证明可能世界语义学可能世界语义学 9/19/202459。