第3章 §3.2(有限)积空间.doc

§3.2　（有限）积空间　　本节重点:　　掌握乘积空间的度量与拓扑的定义．　　掌握积拓扑的基与子基的结构．　　掌握投射的定义与性质．　　掌握定理3.2.7与定理3.2.9的作用．　　给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积．如何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积一个拓扑使之成为拓扑空间？　　为此我们先对度量空间中的同类问题进行研究．首先回顾n维欧氏空间中的度量是如何通过实数空间中的度量来定义的：如果x= ,y=,则x与y的距离定义为　　其中是R中的两个点的通常距离．这种定义方式推广到有限个度量空间的笛卡儿积中去不会产生任何困难．　　定义3.2.1　设是n≥1个度量空间．　　令X＝．定义 ρ：X×X→R使得对于任何x= 　　y=∈X，　　容易验证ρ是X的一个度量．（请自行验证，注意验证中要用到2．1节附录中的Schwarz引理）我们称ρ为笛卡儿积X＝的积度量；称度量空间（X，ρ）为n个度量空间的度量积空间．　　根据上述定义明显可见，n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间，先来考察积度量所诱导出来的拓扑有什么样的性质，以便使我们得到在拓扑空间中应该如何引出积空间的概念的启示．　　定理3.2.1　设是n＞0个度量空间，（X，ρ）是它们的积空间．又设和分别是由度量和ρ所诱导出来的和X的拓扑，其中i＝l，2，…，n．则X的子集族:　　B={| i=1,2,…n}是X的拓扑的一个基．　　证明：我们仅就n=2的情形加以证明．　　首先根据积度量的定义容易得到（请自行验证）：对于任意x=∈X和任意ε＞0，我们有：　　 　　设∈B,其中分别是中的开集．　　如果x=∈则　　　　其中ε=min{}．这说明．由于x是中的任意一个点，因此．　　这证明了　　这就是说，X中的每一个开集是B中的某些元素的并．这完成了B是的一个基的证明．一般情形的证明是完全类似的，请读者自己补证．在定理3.2.1的启示下，我们按以下方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念．　　定理3.2.2　设是n≥1个拓扑空间．则　　X＝有惟一的一个拓扑T以X的子集族　　B={| ,i=1,2,…n} 为它的一个基．　　证明　我们有：　　（1）由于X＝∈B所以　　（2）如果,∈B，其中，i＝1，2，…，n，则　　（,）∩()＝ 应用第二章中的定理2．6．3可见本定理的结论成立．　　定义3.2.2　设是n≥1个拓扑空间．则　　X＝的以子集族B={ | ,i=1,2,…n}为它的一个基的那个惟一的拓扑T称为拓扑的积拓扑，拓扑空间（X，T）称为拓扑空间 的（拓扑）积空间．设是n≥1个度量空间．则笛卡儿积X＝可以有两种方式得到它的拓扑：一是先将X作成度量积空间，然后再由积度量诱导出X的拓扑；另一是先用每一个的度量诱导出的拓扑，然后再将X考虑作为诸拓扑空间的拓扑积空间．定理3.2.1实际上已经指出这两种拓扑是一致的，现将这一点明确陈述如下：定理3.2.3　设X＝是n≥1个度量空间的度量积空间．则将X和都考虑作为拓扑空间时，X是的（拓扑）积空间．　　特别地，作为拓扑空间，n维欧氏空间便是n个实数空间R的（拓扑）积空间．　　定理3.2.4　设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间，对于每一个i＝1，2，…，n，拓扑空间有一个基．则X的子集族　　={|,i=1,2,…n}是拓扑空间X的一个基．　　证明　设为的拓扑，i＝1，2，…，n．令B如积拓扑的定义中的积拓扑的那个基．为证明 是积空间X的一个基，只需证明B中的每一个元素均可以表示为 中的某些元素的并．为证此，设∈B,其中．由于是的一个基，故对于每一个i，存在使得于是　　 　　其中　　D={|,i=1,2,…n} 这就完成了我们所需的证明．　　例3.2.1　由于实数空间R有一个基由所有的开区间构成，故应用定理3.2.4立即可见，n维欧氏空间中的所有开方体构成的一个基．特别地，欧氏平面有一个基由所有的开矩形构成．　　定理3.2.5　设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间．令T为X的拓扑，为的拓朴，i=1，2，…，n．则X以它的子集族　　 为它的一个子基．其中，对于每一个i，映射：X→是笛卡儿积X到它的第i个坐标集的投射．　　证明　我们仅证明n＝2的情形．　　首先注意，对于任何有　　　　根据积空间的定义，是它的一个基．令为的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，　　即　　由于显然有，综上我们有．明显地，是X的一个基．因此，是X的一个子基．一般情形的证明是完全类似的，留给读者自己补证　　定理3.2.6　设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间，则对于每一个i＝l，2，…，n，笛卡儿积X到它的第i个坐标集的投射：X→是一个满的连续开映射．　　证明 显然是一个满射．对于X中每一个开集，根据定理3.2.5，是X的某一个子基的元素，所以必定是X中的一个开集．这证明的连续性．令B为积拓扑定义中X的那个基．由于一族集合的并的象等于先求这一族集合中每一个集合的象然后再求并（参见定理1．6．3），所以为了证明是一个开映射，只需验证B中每一个元素的象是中的开集即可；然而这是显然的，因为如果分别是中的开集，则是X中的一个开集．　　例3.2.2　积空间到它的坐标空间的投射可以不是闭映射．例如考虑欧氏平面到它的第一个坐标空间R的投射．容易验证集合是中的一个闭集，然而（B）＝R-{0}却不是R中的闭集．　　定理3.2.7　设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间．又设Y也是一个拓扑空间．则映射f:Y→X连续当且仅当对于每一个i＝1，2，…，n，复合映射f:Y→连续，其中，：X→Y是积空间X对于第i个坐标空间的投射．　　证明　根据定理3.2.6，每一个投射连续，所以当f连续时，每一个f连续．　　另一方面，假设对于每一个i=1，2，…，n，复合映射f:Y→连续．X的子基（参见定理3.2.5）　　中的每一个元素的f原象　　是Y中的一个开集．根据定理2．6．5可见f连续． 　　下面的定理3、2．8说明积拓朴的一个重要特性　　定理3.2.8　设X＝是n≥1个拓扑空间的积空间，T是X的积拓朴，设是X的某一个拓扑满足条件：对于X的拓扑而言，从X到它的第i个坐标空间的投射 ：X→是连续映射，i=1，2，…，n．则 换言之，积拓扑是使从积空间到每一个坐标空间的投射都连续的最小的拓扑． 证明(略)　　定理3.2.9　设是n＞1个拓扑空间．则积空间 同胚于积空间 ．　　证明　设 　　 　　 　　根据定理3.2.6，所有这些投射都是连续的．　　定义映射　　k：　　使得对于任何∈，　　k＝容易验证k是一个—一映射．　　为证明映射k连续，根据定理3.2.7，只要证明映射和连续．映射:是连续的，这是因为对于每一个j＝l，2，…，n－l，映射连续，此外也连续．　　通过完全类似的证明也可见连续．因此k是一个同胚．在定理3.2.9中，尽管和作为集合可以是完全不同的，但这个定理告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，那么这两个拓扑空间却是一样的．这个定理还告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，有限个拓扑空间的积空间可以通过归纳的方式予以定义．(即要证的某个定理时只须证明n=2的情形即可)　　作业:　　P104 1． 5． 6(1)．第 4 页 ***共 8 页。