认清“增根”和“无解”(共1页).doc
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认清“增根”和“无解”分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时，去掉了原分式方程中分母不为的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为，分式方程无意义．因此，这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见，增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解．分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根．可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的，它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形，分式方程无解应从两个方面考虑．一、利用分式方程有增根确定字母的值解题妙招：解决此类问题的一般步骤是：①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值．例1 若分式方程有增根，则的值为（ ）A.或 B. C.或 D.解析：方程两边乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m.解得x=m-2.令，解得或．因为分式方程有增根，将，分别代入x=m-2，得或．所以或时，原分式方程有增根．故选A．二、利用分式方程无解求字母的值解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑，以防出现漏解．例2 若关于的分式方程无解，则的值为 ．解析：方程两边乘x（x-1），得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1）.化简，得．当整式方程无解时，则，解得．当分式方程有增根时，则最简公分母，解得或．①当时，无解；②当时，．所以当或a=时，原分式方程无解．故填或．。
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