江苏省新沂市第二中学高三数学复习专题5函数的单调性与最值学案理苏科版.doc

学案5　函数的单调性与最值【导学引领】（一）考点梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，①若 ，则f(x)在区间D上是增函数；②若 ，则f(x)在区间D上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有 ，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有 ，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．函数单调性的四种判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．【自学检测】1．函数f(x)＝－的最大值为M，最小值为m，则＝________.2．已知函数f(x)＝x－(k>0，x>0)，则f(x2＋1)与f(x)的大小关系是________．3．已知函数f(x)＝2x＋ln x，若f(x2＋2)≤f(3x)，则x的取值范围是________．4．函数f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域为________．5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．　【合作释疑】函数单调性的判断【训练1】 试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性．【训练2】 已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．函数单调性的应用【训练1】 已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：ff(a)，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝(a≠1)是区间(0,1]上的减函数，则实数a的取值范围为________．函数的最值及其应用【训练1】 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【训练2】 若对任意x∈(0,1]，函数f(x)＝x|x－a|－2的值恒为负数，则实数a的取值范围是________．【当堂达标】1．下列函数：①y＝x＋1；②y＝－x3；③y＝；④y＝x|x|，其中既是奇函数又是增函数的序号是________．2．下列函数：①y＝cos 2x，x∈R；②y＝log2|x|，x∈R且x≠0；③y＝，x∈R；④y＝x3＋1，x∈R，其中既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的是________．　3．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．4．设f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，求实数m的取值范围．【课后作业】1．下列函数中：①f(x)＝；②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝ex；④f(x)＝ln(x＋1)，满足“对任意x1x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的函数序号是________．2．下列函数中：①y＝－x＋1；②y＝；③y＝x2－4x＋5；④y＝，在区间(0,2)上为增函数的是________(填所有正确的编号)．3．若函数f(x)＝x2＋(a2－4a＋1)x＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是________．4．下列函数：①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝ 2－|x|.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．5．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，则不等式f(1－x)＋f(1－x2)＜0的解集为________．6．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，y＝f(x)是减函数，若|x1|＜|x2|，则结论：①f(x1)－f(x2)＜0；②f(x1)－f(x2)＞0；③f(x1)＋f(x2)＜0；④f(x1)＋f(x2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．7．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．8．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数．(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． 。