1.1.2 弧度制3.doc

1．1.2　弧度制●为什么要引入弧度制，要考虑以下两个问题：第一：建立弧度制的合理性，即建立弧度制的依据是什么？18世纪以前，人们一直用线段的长来定义三角函数，著名数学家欧拉1748年提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径之比，欧拉在这篇著作的第八章中提出弧度制的思想，他认为如果把半径作为一个单位长度，那么半圆的长就是π，所对应的圆心角的弧度数也是π.这时可用平面上一条射线绕其顶点旋转时，射线上不同两点的旋转过程中所形成的两段弧的长度与其半径之比为常数来说明这个比值与半径的大小无关，仅与角的大小有关．因此，我们可用圆弧的长与半径的比值来度量这个圆弧所对的圆心角，即用等于半径的圆弧所对的圆心角作为度量角的单位，叫做1弧度的角，弧度制就是建立在上述基础上的．第二：弧度制有什么优越性？①弧度数可以使角的大小用实数来表示，建立起角的集合与实数集合之间的一一对应关系，使三角函数可以看成是自变量为实数的函数，看成是实数与实数之间的映射关系，也就是说，三角函数也是数集与数集之间的映射，使三角函数也符合现代函数的定义，这就使三角函数脱离单独针对角的具体性、直观性和局限性，变得更抽象、更一般．因而可以给出更多的解释，使之应用研究更广泛．②引用弧度制以后，使得许多公式变得很简单．如弧长公式l＝α·r，扇形的面积公式S＝lr，并且在基础理论中采用弧度制可以得到很多简单的公式．③作三角函数图象，若用角度制，则横轴上的角是六十进制，而纵轴上的三角函数值是十进制，两者的进制不同，不便于取统一的单位，就会使画出的三角函数图象没有统一标准，采用弧度制，就解决了这个问题．●三维目标1．知识与技能(1)理解1弧度的角及弧度的定义；(2)掌握角度与弧度的换算公式；(3)熟练进行角度与弧度的换算；(4)理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；(5)理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．2．过程与方法通过类比角度制的概念引入弧度制的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度．3．情感、态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质．●重点难点重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用．难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．●教学建议 1．弧度制的概念关于弧度制的概念的教学，建议教师在教学过程中，首先讲清1弧度角的概念，它是建立弧度概念的关键，并且让学生具体操作验证，老师通过多媒体演示，在此直观印象基础上，引导学生证明以弧度为单位的角是一个与半径无关的定值．2．角度制与弧度制的换算关于角度制与弧度制的换算的教学，建议教师教学过程中，讲清“180°＝π”这个等式的意义，抓住这一关键，两种度量制的换算就迎刃而解了．3．弧长公式关于弧长公式的教学，建议教师在教学中让学生先通过自己的活动解决，明确角的度量单位是弧度，而且圆心角是在一定范围中，从而熟练用弧度制表示角，并能应用公式．●教学过程 引入：【问题导思】　1．在初中学习角的运算采用十进制还是六十进制？【提示】　六十进制．2．我们平时常用运算大多都是六十进制吗？【提示】　我们常用的是十进制．(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：|α|＝.知识点一 角度与弧度的互化【问题导思】　根据弧度制的定义，周角360°所对应的弧度数是多少？【提示】　由＝2π得，周角对应弧度数为2π.(1)360°＝2π rad，(2)1°＝ rad≈0.017_45 rad，1 rad＝()°≈57.30°.知识点二 扇形的弧长及面积公式【问题导思】　1．已知扇形圆心角α，半径为r，如何求弧长l?【提示】　由|α|＝可得：弧长l＝|α|r.2．能否用扇形的弧长l与半径表示扇形的面积S?【提示】　设扇形圆心角为α，则扇形面积S＝·πr2＝rl.图1－1－4(1)弧度制下的弧长公式如图1－1－4，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r.特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|.(2)扇形面积公式在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝|α|r2＝lr.题型一 角度与弧度的互化　设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有的角．【思路探究】　将角度化为弧度，可运用公式1°＝弧度；而将弧度化为角度，则可运用公式1弧度＝()°.【自主解答】　(1)∵α1＝－570°＝－＝－，而－＝－2×2π＋，∴α1＝－2×2π＋，∴α1的终边在第二象限．∵α2＝750°＝＝＝2×2π＋，∴α2的终边在第一象限．(2)β1＝＝×180°＝108°，设θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，∵－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k·360°＋108°＜0°，k∈Z，∴k＝－2或k＝－1.∴－720°～0°之间与β1终边相同的角是－612°角和－252°角．β2＝－＝－×180°＝－780°＝－2×360°－60°，设γ＝k·360°－60°(k∈Z)．∵－720°≤γ＜0°，∴－720°≤k·360°－60°＜0°，k∈Z，∴k＝－1或k＝0.∴－720°～0°之间与β2终边相同的角是－420°角和－60°角．规律方法：1．特殊角的弧度数与角度数的对应值应熟记，并逐步养成用弧度数表示角的习惯．2．在进行角度制与弧度制换算时，关系式π rad＝180°是关键，由它得到：度数×＝弧度数，弧度数×()°＝度数．变式训练：　把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π，并判断它是第几象限角？【解】　－1 480°＝－1 480×＝－＝－10π＋，其中0≤＜2π，因为是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．题型二 用弧度表示区域角用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示(不包括边界)．【思路探究】　求出阴影部分边界角的弧度数，结合区域角的旋转方向及终边相同角的表示方法写出区域角的范围．【自主解答】　(1)如图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－，而75°＝75×＝ rad，∴所求集合为{θ|2kπ－＜θ＜2kπ＋，k∈Z}．(2)如图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即－，而135°＝135×＝ rad，∴所求集合为{θ|2kπ－＜θ＜2kπ＋，k∈Z}．规律方法：1．用弧度表示区域角，实质上是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度之间的换算，注意单位要统一．2．在表示角的集合时，可以先写出一个周期的范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z.3．在进行区间的合并时，注意归纳总结，一定要做到准确无误．一般地，若某角的终边落在某一直线上，则可用kπ(或k·180°)加上已知角来表示该角，其中k∈Z.变式训练：　求出终边在图中所示阴影区域(包括边界)的角的集合．【解】　由于－π＋2π＝π，即角－π与角π的终边相同，因此图中所示阴影区域的角的集合为{α|＋2kπ≤α≤π＋2kπ，k∈Z}．题型三 弧长与扇形面积公式的应用　一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【自主解答】　设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝.由l＝20－2r>0及r>0得0