毕业论文(设计)定积分思想的理论延拓及应用.doc

统计与数理学院本科毕业论文本科毕业论文(设计)题目： 定积分思想的理论延拓及应用学 院 专 业 班 级 学 号 姓 名 指导教师 山东财政学院教务处制二Ｏ一一年 五月 定积分思想的理论延拓及应用 xxx内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学、物理学、经济学等学科的应用做了重点研究幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析关键词： 定积分 柯西 微分 方程 物理 几何 经济 变量一、定积分的概念1.1定积分的定义一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分．记为： 其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限．说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功 1.2定积分的几何意义 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积．说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号． 分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值．考察和式不妨设于是和式即为阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）1.3定积分的性质性质1 性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 （定积分的线性性质）性质4 （其中a

因此 即为若或且时因此 由此可得综合以上可得：当时，且 且 时有由上面的证明我们可以推广，去掉条件时，结论仍然成立．所以，我们可以得到一个一般的结论设 则若时，有若或时，有当且仅当时，两式中的等号成立例3．已知是实数，并且，其中是自然对数的底，证明证明：当时，要证明，只要证明 既要证明 时，因为 从而所以当时， 于是得到求和：根据微分与积分互为逆运算的关系,先对和式积分,利用已知数列的和式得到积分和,再求导即可.二、定积分在几何中的应用2.1定积分的微元法定积分的应用很广，仅介绍它在几何方面和物理方面的一些应用．首先说明一种运用定积分解决实际问题时常用的方法——将所求量表达成为定积分的分析方法——微元法（或元素法）.在将具体问题中所求的量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）表达成定积分：时，总是把所求量看作是与变量的变化区间相联系的整体量．当把区间划分为若干小区间时，整体量就相应地分为若干部分量，而整体量等于各部分量之和，这一性质称为所求量对于区间具有可加性.划分区间后，在各部分区间上，求出部分量的近似表达式，由可加性，总量的近似值可以表达成和式（由于点任意选取时，和式极限有确定的值，常取为区间的左端点），从而这个和式的极限就是所求量的精确值，于是由定积分的定义，总量可用定积分来表达一般地，如果某一实际问题中所求量满足以下条件：是与变量的变化区间有关的量，且对于该区间具有可加性，所求量就可用定积分来计算.具体步骤如下：（1）确定积分变量，并求出相应的积分区间（2）在区间上任取一小区间，并在该小区间上找出所求量的微元（3）写出所求量的积分表达式，然后计算它的值.这里通常称为所求量的微分（或元素），这种直接在小区间上找积分表达式从而得出定积分表达式的方法，通常称为微元法（或元素法）.2.2定积分求解平面图形面积2.2.1直角坐标情形根据定积分的几何意义，由区间连续曲线、、及直线所围成的平面图形的面积A，由定积分的性质，此式可写为 (利用微元法求解可得同样的结果)其中d就是面积元素2.2.2极坐标情形 图 5-17某些平面图形，用极坐标计算它们的面积比较方便．用微元法计算：由极坐标方程所表示的曲线与射线所围成的曲边扇形面积（图5-17）．以极角为积分变量，积分区间为，在上任取一小区间，与它相应的小曲边扇形面积近似于以为圆心角．为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素于是所求面积为例4 计算心形线所围成的平面图形的面积（图5-18）．解：由于图形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积，再2倍即得所求面积A．对于极轴以上部分图形，的变化区间为．相应于上任一小区间的窄曲边扇形的面积近似于半径为、圆心角为的圆扇形的面积．从而得到面积元素图 5-18，得 = = ==所以，所求面积为2.3用定积分求解图形体积2.3.1旋转体的体积设一旋转体是由曲线与直线、及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成（图5-19）．现用微元法求它的体积．在区间上任取，对应于该小区间的小薄片体积近似于以为半径，以为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为 图 5-19 从a到b积分，得旋转体体积为 类似地，若旋转体是由连续曲线与直线及y轴所围成的图形绕y轴旋转而成，则其体积为例5 求椭圆绕x轴旋转而成的旋转体的体积（图5-20）．图 5-20解 将椭圆方程化为体积元素为所求体积为 =当a=b=R时，得球体积V=2.3.2平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积分计算． 图5-22如图5-22所示，取上述定轴为x轴，并设该立体在过点x=a、x=b且垂直于x轴的两个平面之间，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积．A(x)为x的已知的连续函数．取x为积分变量，它的变化区间为．立体中相应于上任一小区间的薄片的体积，近似于底面积为A(x)、高为dx的扁柱体的体积，即体积元素于是所求立体的体积为例6 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图5-23）．计算这个平面截圆柱所得立体的体积．解： 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，以过底圆中心且垂直x轴的直线为y轴．此时，底圆的方程为．立体中过点x且垂直于x轴的截面是直角三角形．它的两条直角边的长度分别为，即．于是截面面积为图 5-23因此所求立体体积为=三．定积分在经济学中的应用3.1常见的经济学中的函数3.1.1需求函数需求量是指在特定时间内，消费者打算并能够购买的某种商品的数量，用Q 表示，它与商品价格P 密切相关，通常降低商品价格使需求量增加；提高商品价格会使需求量减少.如果不考虑其它因素的影响（或其它因素不变），则Q 是P 的函数，称为需求函数，记作Q = f (P)它通常是一个单调减少函数.常见的需求函数有以下几种类型：1. 线性需求函数Q = a + bP (a > 0,b > 0)2. 二次需求函数Q = a − bP − (a > 0,b > 0,c > 0)3. 指数需求函数 (a > 0,b > 0)有时也把Q = f (P)的反函数P = f −1 (Q)也称为需求函数.3.1.2供给函数供给量是指在特定时间内，厂商愿意并能够出售的某种商品的数量，用S 表示，假设除了商品的价格P 外影响供给的其它因素均不变，则S 是P 的函数S = g(P)它通常是一个单调增函数.常见的供给函数有以下几种类型：1. 线性供给函数S = −a + bP (a > 0,b > 0)2. 指数供给函数S = (a > 0,b > 0)当 Q=S 时，市场的供需处于平衡状态，此时的价格称为均衡价格，需求（或供给）量称为均衡数量.当商品由某厂商独家生产时，厂商是价格的制定者，它自然会考虑消费者对价格的反应并依需求规律组织生产，其产量即需求量，价格与产量（需求量）的关系由需求函数确定，称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势的厂商共同生产时，各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态，此时商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为（改变产量或需求量）不再影响市场均衡，称该商品市场为完全竞争市场.3.1.3总成本函数、收入函数和利润函数在生产和经营活动中，如果投入的各要素价格不变，则成本C 是产量开销售量Q 的函数C = C(Q)，称为总成本函数.一般地总成本函数由两部分组成C(Q)= 其中 为固定成本，它与产量无关，如厂房、设备的折旧费、企业管理费等; 为可变成本，它随产量的增加而增加，如原材料、动力、工人的工资等.常见的成本函数是线性函数.C(Q)= +aQ (a.>0) 以总成本除以产量，得平均成本函数其中与分别称为平均固定成本与平均可变成本.厂商销售Q 单位的商品所提收入为R = R(Q)，称为总收入（益）函数.设商品的价格为P，则总收入函数为R(Q)=PQ总利润L 等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为L(Q) = R(Q) −C(Q)3.1.4生产函数生产函数是指指产量Q 与各种投入要素之间的函数关系其中􀀢 为n 种要素的投入量.如果只考虑两种投入要素：资本K 和劳动L,则生产函数为Q = f (K, L)常见的生产函数有1. 线性生产函数Q = aK + bL 。