探求三角形的外接圆半径.doc

探求三角形的外接圆半径泰州市二中附属初中 王 征我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解一、特殊三角形1.直角三角形例1．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径r.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，∴△ABC的外接圆的半径r为6.5.2.等腰三角形例2．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC=10，BC＝12，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题.解：作直径AD交BC于点E，交圆于点D，连接BD.∴∠ABD=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D.∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB,∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=.∵△ABE∽△ADB，∴∴,∴△ABC外接圆⊙O的半径r为9.二、一般三角形1.已知一角和它的对边⑴ 锐角三角形例3.已知：如图，在△ABC 中，AB＝10，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.解：作直径AD，连结BD.∴∠D＝∠C＝＝60°，∠DBA＝90°.∴AD＝＝＝∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.⑵ 钝角三角形例4.在△ABC 中，AB＝10，∠C＝100°，求△ABC外接圆⊙O的半径r.（用三角函数表示）分析：方法同例3.解：作直径BD，连结AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝＝∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.2.已知两边夹一角例5．已知：如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：考虑求出AB，然后转化为⑴的情形解题.解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝AC＝1，AE＝，BE＝BC－CE＝2，AB＝＝∴AD＝＝＝∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.3.已知三边例6.已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C∴△ADB∽△ACE， ∴设CE＝x, ∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2 ，∴132-x2＝152-(14-x)2 ∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12 ∴，∴AD＝ ∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.4.已知两边及第三边上的高例7.已知：如图，在△ABC 中，AB＝7，AC＝6，AD⊥BC，且AD=5，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：作出直径AE，构造Rt△ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠ABE＝90°.∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴，∴，∴AE=.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.。