高中数学复习 常用逻辑用语归类 （解析版）.docx

常用逻辑用语综合归类目录题型一：命题概念及命题真假 1题型二：充分不必要条件 3题型三：充分条件求参 5题型四：必要不充分条件 7题型五：必要条件求参 9题型六：充要条件 11题型七：充要条件求参型 13题型八：“地图型”条件的判定 14题型九：充要条件综合应用 16题型十：命题的否定 21题型十一：全称与特称命题真假求参 22题型十二：新定义型简易逻辑压轴题 24题型一：命题概念及命题真假判断命题的真假：1. 直接法：应用所学过的基本事实和定理进行判断2.反例法：举出命题所涉及到的知识中的反例即可1．（23-24高三·上海·模拟）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ）①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素；③中有的元素；④中的元素不都是的元素.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可.【详解】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题；对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题；对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题.故选：B.2．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（    ）A．，且B．，使得C．若x＞0，y＞0，则D．若，则的最小值为1【答案】A【分析】A举反例，B找一个满足条件的，C基本不等式的应用，D分离常数结合基本不等式.【详解】解析：选A.对于A，，且对x＜0时不成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2，成立，正确；对于C，若x＞0，y＞0，则，化为，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故y的最小值为1，D正确.故选：A3．（23-24高三·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ）A．命题真命题真 B．命题真命题假C．命题假命题真 D．命题假命题假【答案】C【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确；【详解】对命题：令，则集合是封闭集，故，但，故不是封闭集，故命题假；对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，所以，同理可得，所以，所以是封闭集，故命题真；故选：C4．（22-23高三·上海浦东新·模拟）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于，，的方程没有正整数解”．经历百多年，于二十世纪九十年代中期由美国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理根据前面叙述，则下列命题正确的个数为（    ）（1）存在至少一组正整数组是关于，，的方程的解；（2）关于，的方程有正有理数解；（3）关于，的方程没有正有理数解；（4）当整数时关于，，的方程有正实数解A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】当整数时方程没有正整数解，（1）错误，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确，当，满足条件，（4）正确，得到答案.【详解】当整数时，关于，，的方程没有正整数解，故方程没有正整数解，（1）错误；没有正整数解.即，，没有正有理数解，（2）错误，（3）正确；方程，当，满足条件，故有正实数解，（4）正确.故选：C5．（21-22高三·上海·模拟）给出以下命题：①若，且，则；②，是的必要条件；③，则是为纯虚数的充要条件；④，若，则或．其中正确的命题有（    ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①根据虚数不能比较大小判断；②举例，结合实数能比较大小判断；③举例判断；④直接利用复数的乘法判断.【详解】①因为都是虚数，而虚数不能比较大小，故错误；②因为，如，满足，由于虚数不能比较大小，所以推不出，不充分，当，则为实数，所以，必要，故正确；③因为，如，满足，推不出为纯虚数，故不充分，故错误；④因为，设，则，所以，所以，所以，两式相加整理得：，则或，所以或，故正确故选：B【点睛】本题主要考查有关复数的命题的真假判断，还考查了理解辨析，分析求解问题的能力，属于中档题.6.（2024年新高考2）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题C. p和都是真命题 D. 和都是真命题【答案】B【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题.故选：B.题型二：充分不必要条件充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件1．（2023·江苏苏州·模拟）记方程①：，方程②：，方程③：，其中是正实数.若成等比数列，则“方程③无实根”的一个充分条件是（    ）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【分析】根据判别式以及充分条件的定义逐项分析.【详解】由题意，，其中；对于A，如果有实根，则，如果有实根，则，有可能大于等于，则，即有可能大于等于0，即由①②不能推出③无实根，A不是充分条件；对于B，有，则必有，即，方程无实根，所以B是③无实根的充分条件；对于C，有，，方程③有实根，C不是方程③无实根的充分条件；对于D，有，q的值不确定，有可能小于，也有可能大于，不能保证方程③无实根，例如，则，，所以D不是方程③无实根的充分条件；故选：B.2．（2023·上海普陀·二模）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与推出关系即可.【详解】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足；由，则，推不出，反向可推出，不满足；由，则或或，推不出，反向可推出，不满足；由，则，推不出，反向可推出，不满足；故选：A3．（2023·江西·二模）记全集为U，为p的否定，为q的否定，且的必要条件是q的必要条件，则（    ）A．存在q的必要条件是q的充分条件 B．C．任意q的必要条件是的必要条件 D．存在的充分条件是p的必要条件【答案】D【分析】利用反证法否定选项A；分别举反例否定选项B，C；举例验证选项D正确.【详解】令的必要条件为k，则q的必要条件为k，即， 选项A：若存在q的必要条件是q的充分条件，则，则.判断错误；选项B：由下图可得.判断错误； 选项C：如下图得，，则q的必要条件m不是的必要条件.判断错误； 选项D：如下图得：，则存在的充分条件是p的必要条件.判断正确.故选：D4．（23-24高三·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则是的（    ）A．充分条件 B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件 D．充分必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合子集的定义进行判断即可.【详解】当时，，显然，当时，也可以，不一定成立，所以是的充分条件，故选：A5．（23-24高三·湖北襄阳·阶段练习）若集合，，则的一个充分不必要条件是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用简易逻辑的判定方法，集合之间的关系，不等式的性质即可得出答案.【详解】因为集合，，若，利用数轴，可求，故的一个充分不必要条件是.故选：D.题型三：充分条件求参 用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．(3)充分必要条件与集合包含之间的关系．命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件Ü，是的必要不充分条件Ý．1．（23-24高三·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先解，得到，再利用条件即可求出结果.【详解】由，得到，又不等式的一个充分条件为，所以，故选：C.2．（21-22高三·全国·课后作业）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.【详解】由题意得，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D.3．（19-20高下·北京·开学考试）“”是“方程表示双曲线”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解.【详解】若方程表示双曲线，则或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件.故选：A【点睛】本题以双曲线的标准方程及充分必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于基础题.4．（20-21高三·浙江绍兴·模拟）中，角，，的对边分别为，，，则“”是“为锐角”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由题知:,结合余弦定理,可推出为锐角,反之无法推出,因此“”是“为锐角”的充分非必要条件.【详解】①在中,若,则,即,,,为锐角,即“”“为锐角”,②若为锐角,则,即,无法推出,所以“为锐角”“”,综上所述:“”是“为锐角”的充分非必要条件,故选:A.【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,结合了基本不等式及余弦定理等相关知识,综合性较强.5．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.【详解】依题意，，解不等式，得，由不等式成立的充分条件是，得，于是，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D题型四：必要不充分条件充分不必要条件判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．1．（22-23高三·四川绵阳·阶段练习）下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个① 若是偶数, 则。