δ势垒贯穿问题研究.doc

湖南文理学院 毕业论文 论文题目： δ势垒贯穿问题研究系 别： 物理与电子科学系专 业： 物 理 学学 号： 5099104 姓 名： 指导老师： 提交日期： 2013年 5 月 30 日 δ势垒贯穿问题研究摘 要 介绍了δ势垒及δ势垒贯穿问题的研究现状，在对δ势垒贯穿问题研究的基本方法进行分析、总结的基础上，处理了几个更为复杂的δ势垒贯穿问题，如：两个强度不等的双δ势垒贯穿问题和一个δ势垒与其它势垒相结合的势垒贯穿问题得到了在不同情形下波函数的解以及在势垒贯穿问题中所要研究的反射系数和透射系数的值，并就这些值分析了影响反射系数和透射系数的因素和入射波产生共振透射的条件最后将δ势垒贯穿问题推广到多个势垒相结合的情形，讨论了它的求解方法和计算手段关键词 δ势垒；双δ势垒；势垒贯穿；薛定谔方程The Study of δBarrier Penetration in Quantum MechanicsAbstract The research present situation of δ potential barrier and δ potential barrier penetration problem are introduced in this paper. Several more complicated δ potential barrier penetration problem are studied on the basis of summarizing δ potential barrier penetration problem's research method , such as a double unequal strengths and oneδ potential barrier combined with one square potential barrier’sδ potential barrier penetration problem. The wave functions and the coefficients of reflection and transmission in different situations are obtained. The factors of affecting these coefficients and the resonance condition are analyzed. In the end, the above method is generalized to oneδpotential barrier combined with other potential barriers. Key words δ potential barrier; double δ potential barriers; potential barrier penetration; schrÖdinger equation.1.引言势垒贯穿又称隧道效应，它是一种微观效应，指的是当一束微观粒子在能量E小于势垒高度U0时，仍能贯穿势垒的现象。

在量子力学教学中，它不仅作为准确求解薛定谔方程和运用近似方法的十分简洁的例子，而且是帮助初学者摆脱经典概念束缚，理解量子力学新思想的有力工具；在应用方面，势垒贯穿效应不仅可以解释一些经典理论所不能解释的现象，如α衰变，金属冷发射等，而且它已被用来制成固体器件如半导体隧道二极管、超导隧道结δ势垒是一种不规则的势垒，微观粒子穿越这种势垒时会产生与穿过规则势垒时所不同的现象目前，对于δ势垒贯穿问题的研究方面，人们利用定态薛定谔方程，波函数及边条件，对粒子穿过单δ势垒及等强度的双δ势垒等较为简单的情形得出了较为详细的结论但是对于δ势垒与其它势垒相结合的情形，譬如当双δ势垒中的两个势垒的高度不相等和一个δ势垒与其它势垒相结合时的情形都还没有作较为系统的研究结合前人的研究工作，并在计算过程中借助数学中的行列式来处理计算的结果，对一般的δ势垒进行了详细的计算和系统的讨论，得到了当微观粒子穿过两个强度不相等的δ势垒及δ势垒与方势垒相结合时的解最后，把δ势垒贯穿问题推广到多个势垒相结合的情形，讨论了这类问题的计算方法，并定性的分析了影响结果的原因2. δ势垒贯穿问题研究概述2.1 δ势垒及δ势垒贯穿通常根据势垒的形状可以把势垒分为规则势垒如方势垒和不规则势垒如δ势垒。

而δ势垒是一个很有趣的势垒，它的有趣性主要是由δ函数引起的，根据δ函数的特点：它的函数值只有在某个特殊的点才有值，而在其它各点的函数值均为零势垒贯穿是指一束前进的微观粒子，在传播方向上遇到一个具有一定能量的势垒时，有一部分粒子被反射回来，而剩下的粒子则会穿过这个势垒继续向前传播所以在研究δ势垒贯穿问题时关键在于抓住δ函数的性质，重点分析在δ函数值变化时的那一点薛定谔方程和波函数的变化情况，然后再根据边条件，便可以很容易的解出粒子在势垒两边的波函数，从而 得出入射系数、反射系数和透射系数之间的关系，达到要求解的目的2.2 势垒贯穿的应用 关于微观粒子势垒贯穿的现象有许多有趣的实例在日常生活中，有一个很常见但并不是被人们普遍认识的例子，是家庭中的铝线接头电工把两条导线接在一起时常用的办法，是把它们拧在一起这时，在两根铝线之间常常有一层铝的氧化物，这种氧化物是一种非常有效的绝缘体好在这层氧化物总是极薄的，因此，在导线中流动的电子能够靠势垒贯穿效应穿过这层绝缘体 在量子力学历史上，粒子穿透势垒理论的第一次应用是用它来解释放射性原子核衰变时α粒子穿过它们在原子核近旁所碰到的势垒而从原子核发射出的现象。

对于当时而言，这是经典理论所无法解释的难题因为当时已经知道，对于U238放射性衰变时所发射的α粒子的动能等于4.2兆电子伏由于这个动能是在离原子核很远的地方测得的，这时V(r)=0，因而动能就等于总能量EU238衰变所发射的α粒子的这种恒定的总能量，从经典力学的观点看来，这种状况是极其荒谬的是因为一个总能量为E的α粒子最初处在r

所以它目前用于高速电子光学电路中，它还可以用来制造工作频率高于1011Hz的振荡器2.3 δ势垒贯穿的典型问题 势垒贯穿的典型问题按照势垒的情形可以大体上分为单δ势垒贯穿，强度相等的双δ势垒贯穿，强度不相等的双δ势垒贯穿以及δ势垒与其它势垒相结合时的势垒贯穿四大类前面的两大类是比较常见的，也是研究得比较多的到目前为止，人们对单δ势垒贯穿和等强度的双δ势垒贯穿问题都有了很完善的求解过程和较为完美的结论 2.3.1 单δ势垒贯穿的情形 若有质量为m的粒子(能量E>0)从左入射，遇到一个δ势垒如图1，V(x)= δ(x) (常数>0) （1）定态薛定谔方程为 （2） x=0 是方程的奇点，在该点不存在 表现为x=0点，不连续，对方程 （2）积分，可得： （3）所以在x=0点 一般是连续的（除非=0） （3）式称为δ势中 的跃变条件在处，方程（2）化为： ， （4）它的两个线性独立的解的形式为 ，考虑到从左入射的假定，与方势垒的穿透相似，在这里的解仍可表为 （5） 但边条件有所不同，根据x=0点连续以及 跃变条件（3），有 1 + R = S （6）1 - R = S - （7） 消去R，得： （8） 而 （9）由于取入射波 的波幅为1，所以透射系数 = (10)反射系数 = (11) 可见： + =1 这是粒子数守恒的具体表现。

2.3.2 等强度的双δ势垒贯穿的情形设有粒子以动能E入射，受到双δ势垒作用，在δ势垒等高的情况下，V(x)=V0[δ(x)+δ(x-a)] 如图２所示 令　 , （1）能量本征方程可以写成　 （2） 在x=0附近积分，可得跃变条件 （3） 类似地，x=a处跃变条件为 （4） 则应该是全空间的连续函数，除了x=0 , a 两个奇点外，式（2）化为： （5） 特解为： ，如取入射波为，则总波函数可以表示成： （6）其中R项为反射波，D项为透射波。

即反射概率，即透射概率 为了求出R和D，可以利用的连续条件和跃变条件由连续以及式（3），得出关系： 1 + R = A + B （7）由连续以及式（4），得出关系 （8） 式（7）和（8）共4个方程，恰好可以解出R、D、A、B由式（7）得出 （9） （10）其中 （11） 注意： c和θ均为无量纲参数由式（8）得到 （12） 将式（9）代入（12），即可解出A，B，D，再利用式（10）即可求出R 结果如下： （13） 显然容易验证： + =1，这是概率守恒的具体体现，完全透射条件为R=0， 即： （14）这时透射波振幅D可以表示成： （15） 讨论：1、 如保持V0不变，而 ，即两个δ势垒合而为一，，这时透射概率为 （16）这正是粒子对于单δ势垒的透射概率。

2、 如果粒子的入射能量很小，，这时完全透射条件（14）的解为 （即 ） （17） 只有双δ势阱（ ）散射才可能出现这种情况 3、 如果 很小，而 ，这时完全透射条件（14）的解为 ， （18） 如果，而，这时式（14）的解为 ， （19） 相应的能量为 以上两种情况是δ势垒贯穿问题中比较常见的简单情形，在这两种情形中的计算都是从薛定谔方程、波函数和边条件得出的结论但是这两种情形并不能代表δ势垒贯穿的其它情况，如在双δ势垒贯穿问题中两个势垒的高度不相等和一个δ势垒与其他势垒相结合的势垒贯穿时的情形接下来将对后面的两类δ势垒贯穿问题进行具体的计算3.不同势垒相结合的贯穿问题 3.1 两个高度不相等的双δ势垒贯穿 当粒子穿过势函数为 的势垒时，如图3 所示，则相应的定态薛定谔方程为：（1） 令：， 则由式（1）得到： （2）在δ势垒区域外，方程（2）记为 （3）方程（3）的解为： 入射粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中均有入射波与反射波，在区域Ⅲ中仅有透射波，如图〈 3 〉所示，因此波函数在此3个区域中可分别表示为： ψⅠ = （x<0） ψⅡ = (0a) 式（4）中A、B、C、（1+F）分别表示各区域中入射波与反射波的振幅，F表示透射波的振幅与完全透射情况（振幅为1）的偏差。

根据δ势垒的性质，在δ势垒处波函数连续，而波函数的一阶导数会产生跃变，即在x=0和x=a处的边条件为： Ⅰ(x=0)= Ⅱ(x=0)Ⅱ(x=a)= Ⅲ(x=a) Ⅱ(x=0)- Ⅰ(x=0)=U1Ⅰ(x=0) （5） Ⅲ(x=a)- Ⅱ(x=a)=U2Ⅲ(x=a) 将式（4）代入式（5）中，并令 ，，则由式（5）得出线性方程组（6） （6）求式（6）的系数行列式得： （7）式（6）中系数A的代数余子式为 （8） 式（6）中系数B的代数余子式为 （9） 系数C的代数余子式为： （10） 系数F的代数余子式为： （11）所以求得各系数为： （12） （13） （14） （15） （16）所以透射波的概率密度 D= （17）反射波的概率密度 R= （18） 显然 D+R=1 满足粒子概率守恒。

根据结果有：1、 如果V1=V2=V0 ，则此时有θ1=θ2=θ，再代入式（12）—式（16）可得出与2、3、2中式（13）的一样的结论，即此时便是等强度的双δ势垒的结果2、 由式（12）和（16）——（18）知，反射波与透射波的振幅A，（1+F），以及反射波和透射波的概率流密度R，D不仅依赖于和 ，而且还依赖于，两个δ势垒的特征长度L1和L2，而且还依赖于，即与两个δ势垒的间距及入射粒子的波长之比也有关系3、 若高能粒子入射 ， ， ，，则反射系数 ，而透射系数 ，即高能粒子将完全透射过双δ势垒，与一个δ势垒的情形类似4、 共振透射条件：所谓共振态是指： 在垒间区域的值远大于垒外区域的值，而与此相应的能量就称为共振态能级对于等强度的双δ势垒其共振态的能级为： 取奇数时偶宇称态，取偶数时为奇宇称态对于强度不相等的双δ势垒，在共振透射的情况下，反射波的振幅A为零，而透射波的振幅D为1，故由式（12）可以确定共振透射的条件为： （19）设 那么 的平面波也将完全透射3.2 一个δ势垒与一个方势垒相结合的势垒贯穿设有粒子穿过势函数为 的势垒时，如图 4 所示， 则相应的定态薛定谔方程为： （1）令 ， ， 则由式（1）得到 （2）而在势垒区域之外，方程（2）记为 （3）方程（3）的解为： 入射粒子在区域Ⅰ，区域Ⅱ和区域Ⅲ中均有入射波与反射波，在区域Ⅳ中仅有透射波如图〈 4 〉所示，因此波函数在4个区域中可分别表示为： Ⅰ= （） Ⅱ= （） Ⅲ= （） （4） Ⅳ= （）式（4）中A、B、C、D、E、（1+F）分别表示各区域中入射波与反射波的振幅，F表示透射波的振幅与完全透射情况（振幅为1）的偏差。

根据δ势垒的性质，在δ势垒外波函数连续而波函数的一阶导数会产生跃变，但方势垒的波函数连续，且波函数的一阶导数也连续故在x=0,x=a及x=2a处的边条件为： Ⅰ = Ⅱ Ⅱ = Ⅲ Ⅲ = Ⅳ （5） Ⅰ = Ⅱ Ⅱ = Ⅲ Ⅳ ⅢⅣ 将式（4）代入式（5）中 令 得线性方程组为 （6） 求式（6）的系数行列式得： （7） 式（6）中系数A的代数余子式为 （8） 系数B的代数余子式为： （9） 系数C的代数余子式为： （10） 系数 D的代数余子式为： （11） 系数E的代数余子式为： （12） 系数F的代数余子式为： （13）由， ， ， ， ， 可以求得各系数的值，并由1+F得出透射系数所以 由 和 可以分别求出透射波和反射波的概率流密度 根据这种势垒贯穿情形的求解过程可以得出：1、 根据势垒的形状首先把势垒分为四个区域，再由薛定谔方程、波函数和边条件（即各个区域的分界处）得到一个一元六次方程组然后解出各个区域内波函数的反射系数和透射系数。

2、 在求解这个六元一次方程组时，可以借助数学中的行列式来简化计算，这样往往可以使得复杂的计算变得简单3.3 多个势垒相结合的情形 多个势垒相结合的情形包括两个以上不同的δ势垒贯穿和两个以上的其他势垒和δ势垒相结合的势垒贯穿1、若是有n（n>2）个δ势垒贯穿的情形，则n个δ势垒把空间分成n+1个区域先根据薛定谔方程、波函数和这n个点处的边条件可以得到一个2n+1元一次方程组，然后再利用行列式来求方程组的解因为在这里行列式的阶数要大于六阶，所以很难用人工直接计算的办法把行列式求解出来不过随着计算机软件的飞速发展，对于阶数较高的复杂行列式可以借助Matlable软件或Mapal软件通过计算机来处理，从而能够很方便的得出需要的结果2、若是其他势垒和δ势垒相结合的情形，这时情况就会更复杂，因为其他势垒如方势垒在势垒内部同样要考虑波函数的变化情况方程组的元数也要视具体的情况而定，在这时方程的元数不仅与方势垒的数目高度有关而且与δ势垒的数目和高度有关不过求解的方法还是和前面的求解方法一样，只是在这里要考虑的边条件比前面的多3、多个势垒相结合的势垒贯穿问题中，势垒数目越多粒子流的透射系数也就会越小。

如果是在有多个方势垒相结合下的势垒贯穿那么粒子流的透射系数就会趋于零因为透射系数不仅与粒子的质量、势垒的高度有关，还与势垒的宽度有关，即势垒的宽度越大透射系数就越小所以当方势垒的数目增加时就相当于增加了方势垒的宽度4.结论 势垒贯穿的问题是一个很有趣的问题，它包含了很多种不同势垒相结合的势垒贯穿情形从比较简单的单δ势垒贯穿和等强度的双δ势垒贯穿问题推广到强度不等的双δ势垒贯穿和一个δ势垒与其他势垒相结合的贯穿问题，并对各种不同情况下的势垒贯穿问题进行了具体的计算，得出了在这些具体情况下的透射系数和反射系数的值，而且就这些具体的值进行了理论上的分析，通过分析得出了影响这些系数的原因最后对δ势垒贯穿问题进行了进一步的推广，得出了求解这一系列贯穿问题的基本方法和求解过程 另外，在这里还可以把δ势垒贯穿问题推广到δ势垒与δ势阱相结合的贯穿问题，这将会是一个更有趣的问题，介于本人时间有限没来得及对这类问题进行讨论和计算致谢 首先要感谢我的指导教师XXX老师，这篇毕业论文是在姚老师的悉心指导下完成的从开始选题到毕业论文完成的这段时间里，姚老师不但指导着我的研究内容和方向，还教导我科学研究的方法和态度。

这对于我以后的生活和工作都是不可缺少的在论文完成之际，我衷心地感谢姚老师对我的关心和帮助！在论文的最后一个问题的计算过程中，由于计算上遇到了困难，多亏我们系里的曹老师帮忙，用计算机软件帮我解决难题，在此向曹老师表示感谢！另外，在这里我还要感谢我的全体室友，每次在我遇到困难的时候，他们都给了我很多的帮助，在此，也向各位室友表示感谢！参考文献 [1] 曾谨言. 量子力学 卷Ⅰ. 北京：科学出版社，1997.7.107～117[2] 钱伯初，曾谨言. 量子力学习题精选与剖析. 北京：科学出版社，1999.1. 30～46[3] 王家庆，雷世曾. 量子力学思考题集. 北京：高等教育出版社，1992. 31～33, 181～186[4] 周世勋. 量子力学教程. 北京：高等教育出版社，1979.2. 44～50[5] [美]R·埃斯伯格，R·瑞斯尼克. 北京：北京工业学院出版社，1985. 187～190[6] 曾谨言. 量子力学专题分析（上、下）. 北京：高等教育出版社，1999. 228～231, 240～242[7] 梁淑娟. 量子力学. 广东：华南工学院出版社，1987.6 77～85[8] 苏汝铿. 量子力学. 上海：复旦大学出版社，1997.6. 65～70[9] 张启仁. 量子力学. 北京：科学出版社， 2002.1. 85～94[10] 张哲华，刘莲君. 量子力学与原子物理学. 武汉：武汉大学出版社，1997.9. 111～115[11] [法]A.梅西亚. 量子力学（第一卷）. 北京：科学出版社，1986.9. 98～100[12] [法]J.萨尔蒙，A.日瓦特. 量子力学（上册） 北京：科学出版社， 1981.5. 167～175[13] Haden H. and Wolf H.C. Atomic and Quantum physics. Berlin: Springer-Verlag, 1987.[14] Brands, DahmenHD. The Picture Book of Quantum Mechanics. New York: John Wiley & Sons, 1985.。