振动第四讲2013.pdf

3.3 强迫振动能量平衡 单自由度系统的定常强迫振动 一个周期 内阻尼力 所做的功  2000001sin]sin)2[sin(21)sin(cos))cos((cosXFdttXFdtttXFtXdtFFdxE由于阻尼存在，振动系统机械能不断消耗只有外激励 不断给系统补充能量，使能量收支达到平衡时，系统才能 维持稳态振动考察一个周期内外激励所做的功 22220222 2 2 21)(sin)(XccXdttcXdxxcE由条件 sin2,2,02 00pXXpmcmpXF可得 021EEsin02XFE即 优势:比三角函数形式更为方便; 与振动的频域分析方法密切关联. k m tFcos0)(txc 当系统受余弦扰力作用时, 当系统受正弦扰力作用时, tFkxxcxm cos0111  tFkxxcxm sin0222  对上式两端乘以 1j,再与第3.4.1式相加,得 (3.4.1) (3.4.2) ) sin (cos)()()(0212121tjtFjxxkx jxcx jxm  引入复变量 21jxxxc,再利用欧拉表示式,上方程可写为 tj ccceFkxxcxm 0  同样，由于存在阻尼，我们只考虑(定常)稳态响应。

3.4 定常强迫振动的复数解法与频率响应函数 (3.4.5) 单自由度系统的定常强迫振动 单自由度系统的定常强迫振动 tj ceXx tje设其稳态特解是 代入原方程，消去 后，求出 是复数，称为复数振幅,写成复数形式有 X)(  tjtjjceXeeXx得复指数解 tj ctj c eXxeXjx   2  jcmkFX20 jeXjcmkF202220 )()(cmkFX 上述复数形式的计算要简便得多既含有振幅，也含有相位 如果引入无量刚化定义 nkmC ,2对比复数解的模和相位,可见它们是与上一节中由三角函数解 法得到的振幅和相位完全一样的表达式(见书3.3.6式)另外只 要将复数解的实部和虚部分离，则可以同时得到系统分别受余 弦激励力和正弦激励力作用的解 2arctanmkc 描述振动系统频率特性的一个重要技术术语： 定义：频响函数定义：频响函数≡≡( (复谐和响应复谐和响应) )／／( (复谐和激励复谐和激励) ) 如果考虑的是位移响应，则上式是(位移／外力)，位移频响函 数具有“柔度”的意义 ，称为动柔度，又可叫做位移导纳。

tj ccceFkxxcxm 0  tj ceXx 直接可得到 jcmkFX20jcmkHd21)(位移频响函数通常用记号Hd(ω)代表由运动方程式： 出发，令 按定义，xc/F是位移频响函数 单自由度系统的定常强迫振动 频率响应函数 简称频响函数 单自由度系统的定常强迫振动 jcmkjHv2)(jjcmkZv2 )(jcmkHa22 )(22 )(jcmkZa如果考虑的是速度响应，则有 速度阻抗 如果考虑的是加速度响应，则有 加速度阻抗 则有加速度导纳 速度导纳 而Hd(ω)的倒数 Zd (ω)＝(k-mω2+jcω)，称为动刚度 Zd 又称为位移阻抗 tj cejcmkFjx  20tj cejcmkFx  202  3.5 周期激励下的定常强迫振动周期激励下的定常强迫振动 外加激振力是时间的周期函数 f ( t±nT)=f ( t )，T 为外 扰力的周期谐和激励是周期激励的一种特殊形式. 单自由度系统的定常强迫振动 按照傅里叶级数概念，周期性外扰力可以分解成各个频率成份简谐激励的线性组合。

对应简谐激励每一项，可以用前面的公式，计算出它的响应量，把这些响应量叠加起来，就得到了单自由度系统对该周期激励的响应 若假设外激励力为f(t),则系统的振动微分方程的一般形式为 )(tfkxxcxm  设外f(t)的周期为T,则 T2傅里叶级数： 称为基(本)频(率) )sincos(2)( 10tnbtnaatfnnn2/2/0)(2TTdttfTa2/2/cos)(2TTntdtntfTa2/2/sin)(2TTntdtntfTb对应于基频的谐和分量称为基频分量，其余为高(次)谐(波)分量 单自由度系统的定常强迫振动 单自由度系统对 f(t)的 响应 )sin( )2()1 ()cos( )2()1 (2)(22221222210nnnnnntn nnkbtn nnka katx    n2212arctannnn周期激励的响应分析周期激励的响应分析 现以例子来说明其响应分析   02,20 , )( tTATtA tf , 6 , 4 , 2 , 0, 5 , 3 , 1 ,4nnnA bn矩形波 由于f(t)为奇函数，故有 于是，f(t)的傅里叶展式为 首先要找出激励 f(t) 的傅里叶展开式 单自由度系统的定常强迫振动 -A A T/2 f(t) t -T/2 图3.5.1 0, 00naa2/002/2/2/sin2sin2sin)(2TTTTntdtnATtdtnATtdtntfTb)cos(2)cos(22/002/TTtnnA TtnnA T)cos1 (2)cos1 (22nnAnnA TtTn nAtfn  2sin14)(5, 3, 1将周期激励 f(t) 的各频率成份与它们的对应激励幅值画 成图3.5.2，它称为激励 f(t)的 (离散)频谱，或线谱。

bn A4 753对线性系统，按傅里叶展开式，求出各阶谐和分量激励 的谐和响应将这些响应求和(叠加)，就是该周期力激励 下的强迫响应 单自由度系统的定常强迫振动 图3.5.2 激励频谱 假设有一无阻尼质量－弹簧系统，受周期矩形波激励，扰 力基频Ω＝p/6 (p=6 Ω) tnnAtfn sin14)(5, 3, 1扰力f(t)的傅里叶展式为 系统的定常强迫振动为   5, 3, 12sin61114)(ntnnnkAtx取无量纲幅值Bn 2 611 nnBnBn 7531 1.03 0.44 0.65 0.40 0.08 p=6Ω 图3.5.3 响应频谱 单自由度系统的定常强迫振动 bn A4 启示： 只有低次谐波分量和外激励频率接 近于系统固有频率的那些扰力分量 对系统的稳态响应有较大贡献; 当激励具有离散频谱时,系统的稳 态响应也具有离散频谱,这是线性系 统的频域固有属性 飞行器机体振动激起的内部设备振动;飞机滑跑时跑道不平 引起的飞机振动等等，都可以看成是由于系统的基础（支 撑点）运动产生的激励而引起的振动。

3.6 测振原理测振原理 3.6.1 基础激励响应基础激励响应 单自由度系统的定常强迫振动 m )(txk c tYycoso 如图所示基础激励振动系统： 基础激励 )()(yxcyxkxm 整理后得到： yckykxxcxm 利用复数解法： tjYeytjjeXex单自由度系统的定常强迫振动 两端求模： YjckXejckmj)()(2可得： jckmjckYXej)(222222222222)2 ()1 ()2 (1)(YcmkckYXkc mkc arctanarctan2)cos()(φtXtx单自由度系统的定常强迫振动 srad mk n3 .285001045 106. 02nmc 解： 系统的固有频率和阻尼比分别为 单自由度系统的定常强迫振动 vt)8 . 0sin(01. 0)(vtty如果该车以恒定的水平速度运行，那么 因此轮子随时间变化的垂直位移为 运用基础激励稳态响应振幅公式 )( 487. 6)2()1 ()2(12222 meYX62. 43 .288 . 0vn 则机车的加速度振幅为: )/(7 .11487. 6)7 .130(222smeXa3.6.2 惯性式传感器测振原理惯性式传感器测振原理 0)()(yxkyxcxm 如图所示为测振仪的原理简图，传感器的输入为被测物体的振动, 传感器的输出为质量块m的相对位移。

作为传感器，要求输出量和 输入量之间存性关系 质量块运动方程式: 令 z= x-y,是质量块m相对被测量 物体(基础)的相对位移，代入上式： 0)(kzzcyzm  tjYeytjZez YmkZZjcZm22假定 ，代入得： 图1 惯性式测振仪的原理图 ymkzz czm  相对坐标方程 y x k m c 被测物体 选择传感器的静平衡位置为坐标原点，建方程时可不考虑常力的作用 则 单自由度系统的定常强迫振动 tYycos绘出 及 的曲线族(以ζ为参数)，即相对位移放大率和相位角变化曲线 )(22kjcmYmZjeZ22222222)2()1 ()()( YcmkYmZ,2212tan mkc 式中 于是 将上式可写成 不难确定  ~ YZ ~ 2222222)/2() 1/1 (1)2()1 ( YZmk单自由度系统的定常强迫振动 |Z|/Y 1.0 1 2 3 4 5 2.0 3.0 0.0 位移计 频率比γ ζ=0 ζ=0.25 ζ=0.5 ζ=0.7 ζ=1.0 1.0 3.0 5.0 0 90 180 相角 频率比γ 位移计： 3Ω1YZ即测振仪“滚筒”上记录下来的Z和要测的物体的位移Y很接近,而相位相差(滞后)接近π。

即： tjtjYeYez )(位移计就是按这个原理设计工作的，它要求阻尼要小,弹簧刚度k小，而质量块 m 较大，从而位移计有较低的固有频率适合测量大质量对象的振动位移测试 单自由度系统的定常强迫振动 1 2 3 频率比 γ 4 3 2 1 0 0 0.1 0.15 0.2 0.7 0.3 0.5 1.0 2.0 tjYey令tjYey2 则2222)2()1 (11 |||| ΩyZ 加速度计： 2222)2()1 (YZ222/ΩYYZ如果测振仪设计得具有较高的固 有频率 ，使 这时，记录下来的 1/Ω2/1 Ω即与Yω2成比例，比例常数是 是和被测试物体的加速度成比 可见这种测振仪记录下来的 Z这种具有较高固有频率(弹簧刚度大，质量块很小)的测振仪就叫做 “加速度计加速度计”，它要求被测频率低于传感器的自身固有频率在测振仪 上，它的使用范围有一个标明的频率上限这种传感器的附加质量小， 得到广泛应用 单自由度系统的定常强迫振动 tjeZy2 则由于读数。