全国高中数学联赛与各省市预赛历届（2009-2019）试题汇编 概率与统计强化训练（解析版）.doc

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题24概率与统计强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年江苏预赛】将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数随机填入33的方格表中，每个小方格恰填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是________.【答案】114.【解析】要使每行、每列所填数之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有一个奇数，要么三个全为奇数，故满足条件的填法共有C31C315!4！种.因此所求的概率为C31C315!4!9!=114.故答案为：1142．【2018年重庆预赛】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率________．【答案】514【解析】如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况：对于（3）；有18种情况；故所求概率为P=3+9+18C93=514，故答案为：5143．【2018年安徽预赛】从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率=_________.【答案】115【解析】x1

则乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多的概率为___________答案】12【解析】设“甲乙各自独立抛10次时，乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多”为事件A.则所求事件的概率为P=PA+121-2PA=12.13．【2016年安徽预赛】等可能地随机产生一个正整数x∈{1,2,⋯,2016}.则x在二进制下的各位数字之和不超过8的概率为 ________.【答案】655672【解析】设x∈{1，2，…，2 016}的二进制表示为x10x9⋯x1x02,即x=i=010xi2ixi∈{0,1}.特别地，2016的二进制表示为111111000002.接下来考虑满足i=010xi>8的x的个数，其充分必要条件为p=i=010xi≤5,且q=i=04xi≥9-p.如此x的个数为p≤5q≥9-pC6pC5q=C65C55C54+C55=51.从而，二进制下的各位数字之和不超过8的x的个数为2016-51=1965．因此，所求概率19652016=655672.14．【2018年甘肃预赛】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是56,45,34,23，女生闯过一至四关的概率依次是45,34,23,12.（1）求男生闯过四关的概率；（2）设ξ表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量ξ的分布列和期望.【答案】（1）13；（2）见解析【解析】分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）记女生四关都闯过为事件B，则PB=45342312=15，ξ的取值可能为0，1，2，3，4，利用相互独立事件的概率公式即可得出.详解：（1）记男生四关都闯过为事件A，则PA=56453423=13；（2）记女生四关都闯过为事件B，则PB=45342312=15，因为Pξ=0=232452=64225Pξ=1=C2113⋅23⋅452+C2115⋅45⋅232=96225，Pξ=2=C22132⋅452+C22152⋅232+C2113⋅23⋅C21⋅15⋅45=52225，Pξ=3=C2113⋅23⋅152+C2115⋅45132=12225，Pξ=4=132152=1225，所以ξ的分布如下：Eξ=064225+196225+252225+41225=240225=1615.点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力.15．【2016年上海预赛】设n为给定的大于2的整数。

有n个外表上没有区别的袋子，第k(k=1,2,,n)个袋中有k个红球，n-k个白球将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)求第三次取出的为白球的概率答案】n-12n【解析】设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为n(n-1)(n-2).第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形:(白，白，白)取法数为 (n-k)(n-k-1)(n-k-2)，(白，红，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，(红，白，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，(红，红,白)取法数为k(k-1)(n-k).从而，第三次取出的是白球的种数为（n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1）+k（k-1）（n-k）=（n-1）（n-2）（n-k）.则在第h个袋子中第三次取出的是白球的概率为Pk=n-kn.而选到第k个袋子的概率为1n，故所求的概率为P=k=1nPk1n=k=1nn-kn1n=1n2k=1nn-k=1n2i=0n-1i=n-12n.16．【2016年甘肃预赛】在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成A、B、C三个项目.已知选手甲完成A、B、C三个项目的概率分别为34、34、23.每个项目之间相互独立.（1）选手甲对A、B、C三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率.（2）该活动要求项目A、B 各做两次，项目C做三次.若两次项目A均完成，则进行项目B，并获得积分a；两次项目B均完成，则进行项目C，并获积分3a；三次项目C只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分6a（积分不累计），且每个项目之间互相独立.用X表示选手甲所获积分的数值，写出X的分布列并求数学期望.【答案】（1）4748；（2）见解析【解析】（1）设选手甲对A、B、C三个项目记为事件A、B、C，且相互独立，至少完成一个项目为事件D.则PD=1-PABC=1-141413=4748.（2）X的取值分别。