线性代数22种题型及思维定式.docx

线性代数的思维定势1. 若题设条件与代数余子式A.或A*有关，则用行列式按行（列）展开定理以i j及 AA* = A* A = | |A E.2. 若涉及到A,B是否可交换，即AB = BA,则要立刻联想到逆矩阵的定义.3. 题目中涉及初等变换，要联想到初等方阵，把矩阵变换转化成矩阵相乘的等式.4•若题设n阶方阵A满足f (A) = 0，要证aA + bE可逆，则先分解出因子aA + bE.5. 若要证明一组向量叫妙才…，匕线性无关，先考虑用定义再说.6. 若已知Ax = 0的线性无关的解为叫厲，…,匕，则n- r(A) > s，即r(A) < n-s •7•若已知AB = O，则联想到① B的列向量是齐次方程组Ax = 0的解；② r (A) + r (B) < n .8. 若题目涉及求参数的值，则联想到是否有某行列式为零.9. 若已知A的特征向量，则先用定义A.=兀.处理一下.10. n阶对称矩阵A可对角化o n-r(A-九0E) = k，其中k是特征值花的重数.11•若题目中涉及到二次型，要联想到实对称阵A，将二次型问题转化成实对称阵A的相关问 题讨论.12.若要证明抽象的n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下.题型1数字型行列式计算，重点是掌握三、四阶行列式及简单n阶行列式的计算． 1.用性质化为三个重要行列式；2. 按行(列)展开去降阶3. 建立D与D ,D之间的关系，递推.n n - 1 n -2题型 2 方阵的幂① 求出 A2 , A3 ，递推求出 An ；② 若 r( A) = 1，贝lj A = t， A2 = lA, l = P Ta = or P ；③ 若 A = E + B,且 Bk 丰 0， Bk+1 = 0，贝I] An =(E + B)" = E + C1B + …+ CkBk + 0nn④ P-1 AP = B n An = PBnP-1 若 A ~ A3 An = PA nP-1题型3抽象矩阵的行列式1•先矩阵运算，再行列式运算；注意E的恒等变形E= ET = AA-1 = A-1A,AB =kB = kn A2. A =也九n题型4解矩阵方程方法 通过矩阵运算，把方程化简为下述基本方程:① Ax = C，贝I] x = A-iC② xA = C,则 x = CA-1③ AxB = C，贝I] x = A-1CB-1注A, B都可逆，才用上述方法；若A, B不可逆，则设出矩阵A B建立方程组求解。

题型5初等变换与初等阵的关系1•初等矩阵P左(右)乘A，所得PA( AP )就是A作了一次与P同样的行(列)变换2.初等矩阵均可逆，且其逆阵仍为同类型的初等矩阵步骤：先用箭头写出初等变换；2 •用初等阵将T改为=题型 6 求矩阵的秩法一：A经初等行变换化为行阶梯型阵B ,则r(A) = r(B) = B的非零行行数；法二：矩阵A的秩二A的行向量组的秩二A的列向量组的秩法三：A为抽象矩阵利用秩的不等式证明r < r( A) < r •题型 7 求矩阵的逆A* A** * —11•用伴随矩阵：AA = A A = |A| E n A「= E n A =—-二阶矩阵用伴随求逆最简单•三阶可以用伴随求逆，四阶五阶不可取.2.用初等行变换：(A|E)(A :(EI A—J从上到下从下到上* —某行乘k >( EA 一i)I3.用分块矩阵(O A )-1=l OB」A -iJ , A, B是可逆矩阵 , ,a 丿（ 丿（丿（ 丿4.用定义：AB = kE, k 丰 0，则 BA = kE ； A-i J Bk则先分解出因子aA + bE，若若题设n阶方阵A满足f （A） = O，要证a A+ b E可逆,(a A+b E)B=k,E(米 0，则 aA + bE 可逆，且(aA + bE)~1 B _k题型 8 判定向量组的线性相关性及证明抽象向量组的线性无关如何证明线性无关?法一：在考研中主要使用定义法:先设k ai + k % +•••+ ka = 0通过恒等变形， 1 1 2 2 s s1•找某个代数式乘一下，证必有k =••• = k = 0is2.重新组合n k1 = k2 =• • •= k = 0i2s法二:用秩的一些定理、公式证出：r(ai,a2,_,as) = s题型 9 求具体向量组的秩和极大线性无关组将向量组构成矩阵，求矩阵的秩，即得向量组的秩；将A T行最简型，选阶数为r(A)的非0子式对应的列即为极大无关组(每个台阶选一个,取竖线右边第一个对应的向量)题型 10求抽象向量组的秩1. 矩阵 A 的秩= A 的列秩= A 的行秩；2. r(AB) < min (r(A), r(B)) ； •若 A 可逆，则 r(AB) = r(B) ,r(BA) = r(B)；A B = O n r( A) + r(B) < nmxn nxs3•利用秩的性质求出矩阵A的秩即求出对应的列向量组(叫,％…,匕)的秩；4.无关组增加分量仍无关.题型11利用向量组的秩与极大无关组证明有关矩阵秩的结论方法 将矩阵写成向量组，用极大无关组的性质证明．题型 12抽象方程组的求解①必须先求〜 〜Ax =0, Ax = b, r ( A), n - r ( A)②把条件写成矩阵形式，利用矩阵运算，求出x = 0的n-r(A)个线性无关的解，及一个特解。

Ax = b 的题型13求证或讨论方程组Ax = b有解（向量组的线性表示，两向量组是否等价）的条件1：写矩阵转化为矩阵的命题，利用初等变换求满足的条件行 （列注：①（A； B）~行阶梯形 ②1（ BJ~列阶梯形2：当A为方阵时，求出|A丰0的条件即，Ax ||b有唯一解的条件再把A = 0中的参数代回 原方程，』行A：b -行阶梯；若r(A)= r ( A:b) ，则 Ax = b 有无穷多解；若r（A）＜ r（A b），则Ax = b无解题型14两方程组解的关系（同解，公共解）① 转化为矩阵秩的等价命题② 方程组的基础解系，特解入手求解题型 15抽象阵的特征值、特征向量方法1.定义法 将条件写成矩阵形式后与AQ = M,QH 0比较;2.特征多项式法 九为A的特征值o |A —九E=0 o 九 E — A = 03. 相似 已知 P-1AP = B ,若 Aa=Xa,则 b (p—ia) = k(p—ia);若 Ba = ka,则 A(pa)=九(pa)；4. 若 r ( A)= 1，贝I] k = tr ( A)和 0求特征向量1. 定义法Aa = Xa,a 0 ； 2.基础解系法（a —九e）x = 0的基解题型16矩阵与其特征值、特征向量互求问题.1. 上、下三角阵,对角阵的特征值为主对角线上的元素；2. 零矩阵的特征值全为零,特征值全为零的矩阵不一定是零矩阵. 例如P 1、\ 丿题型 17相似矩阵性质相似则“四同”；r（A）= r（B）;A=B ； I I I Itr （A） = tr（B）;九=xAB题型 18方阵相似于对角阵则不相似；1. “四同”是相似的必要条件，用四个必要条件求解，只要有一“不同”2•若A,B均与对角阵A相似，则A,B相似.题型 19与实对称矩阵有关的问题：1. 实对称阵A的不同特征值所对应的特征向量正交；2. 实对称阵A的秩r（A）即为非0特征值的个数；3. 实对称阵一定可以正交相似对角阵（步骤）；4•已知特征值和特征向量，反求矩阵A题型 20二次型的基本概念与标准化（1）写出 f 的矩阵 A ；⑵求出A的特征值及对应的特征向量⑶正交单位化，得正交单位向量组耳1，耳2，耳3；（4）构造正交阵Q =（耳1，耳2，耳3）；(5)写出正交变x = Qy，得xtAx = yTAy , A」 九2题型 21判定二次型、对称矩阵的正定性1.具体阵用顺序主子式法；2•抽象阵用特征值法或定义法;并注意：当a为n维非0列向量时aTa> 0.3. 任何x，恒有f=xT Ax > 0,f = 0 o x = 0 ；4. A 为正定阵二 aii > o, A > o注：要证一个矩阵是正定矩阵。

1•是否对称;2•证明其正定性. 题型22如何判断矩阵的等价，相似，合同A与B等价o PAQ = B,P,Q 可逆o r(A) = r(B) , a、b 同型；A与B合同o CtAC = B oxtAx与xtBx有相同的正、负惯性指数；A与B相似o P-i AP = B u A , B都与同一^对角阵相似特别：当 A 、 B 为对称阵时， A 与 B 相似 o九=X = p =p , q =q o A与B合同・A B A B A B。