
第三讲印度与阿拉的数学.ppt
43页第三讲 中世纪东方数学之 印度与阿拉伯的数学l印度数学⒈古代《绳法经》⒉“巴克沙利手稿”与零 号⒊“悉檀多”时期的印度 数学l阿拉伯数学⒈阿拉伯的代数⒉阿拉伯的三角学3.阿拉伯的几何学1印度数学印度全称“印度共和国”它 位于亚洲南部,是亚洲大 陆突出于印度洋的次大陆 ,形状像一个倒三角形, 国土面积328.7万平方公里 ,居世界第七它和古埃 及、巴比伦、中国被称为 世界四大文明古国 2印度数学l公元前2000年前后创造了印度河文明l约在公元前14世纪,原居住在中亚的雅利安人中的一支进入南亚次大 陆,并征服了当地土著l约公元前1000年,开始形成以人种和社会不同分工为基础的种姓制度 l公元前4世纪崛起的孔雀王朝开始统一印度次大陆,前3世纪阿育王统 治时期疆域广阔,政权强大,佛教兴盛并开始向外传播l中世纪小国林立,印度教兴起l自11世纪起,来自西北方向的穆斯林民族不断入侵并长期统治印度l1526年建立莫卧儿帝国,成为当时世界强国之一l1600年英国侵入,建立东印度公司l1947年6月,英将印度分为印度和巴基斯坦两个自治领同年8月15 日,印巴分治,印度独立l1950年1月26日,印度共和国成立,为英联邦成员国。
3印度数学4印度数学公元前3000年左右,印度土著居民达罗毗荼人创造 了“哈拉帕文明”大约到了公元前2000年中叶, 操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度,征服了 达罗毗荼人,印度土著文化从此衰微不振 此后,由于多民族的交替入侵,使古代的印度文化 包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背 景5印度数学印度数学的发展可以划分为3个重要时期: Ⅰ雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前 3000-前1400),史称河谷文化; Ⅱ吠陀时期(约公元前10世纪-前3世纪); Ⅲ悉檀多时期(5世纪-12世纪)由于达罗毗荼人的象形文字至今不能解读,所以对这一 时期的印度数学的实际情况了解很少 6在那些世界性的事务中,如在吠陀教等宗教事务中 总要用到计算在有关情感、财富分配、音乐话 剧、烹饪艺术、医疗、建筑、韵律学、诗歌、逻 辑学、语法学等学科中,计算的科学都受到高度 重视在涉及太阳和其它天体的运行、日月食和 星星连珠等问题时数学也是十分有用的有关计 数,海岛、海洋、山脉的径周,大范围居民区的 规划,和居民居所的设计等需要用到计算7印度数学 古代《绳法经》婆罗门教的经典《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计 与测量的部分《测绳的法规》,即《绳法经》, 大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品。
《绳法经》是关于祭台建筑的宗教法规,其中包含 许多几何知识8印度数学 “巴克沙利手稿”与零号1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利的村 庄,发现了书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿 ” 其数学内容十分丰富,涉及到分数、平方根、数列 、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数 方程等巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码,其中用“点”表示0;表示零 的点号后来逐渐演变为圆圈,即现在通用的0号,这一过程至迟于 公元9世纪已完成 9印度数学 “巴克沙利手稿”与零号用圆圈符号“0”表示零,是印度数学的一大发明特 别是印度人不仅把“0”看作记数法中的空位,而且 也视其为可施行运算的一个独立的数 印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家,后又通过阿 拉伯人传至欧洲零号的传播则要晚印度数码 和十进制位值制记数法被欧洲人普遍接受之后, 在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色 零号的发明是对世界文明的杰出贡献 10表示数字1到9的符号在印度的婆罗门教文献中已经 出现,它们至少可追溯到公元前3世纪中叶,许多 可在柱子上的国王的法令中有这些数的符号约 在8世纪,伊斯兰国家入侵印度难度,同时征服了 地中海地区大部分国家,然后他们采用了这些数 字。
一个世纪后,这些数字在西班牙出现,再晚 些又在意大利和欧洲出现11印度数学 “悉檀多”时期的印度数学悉檀多时期是印度数学的繁荣鼎盛时期,其数学内 容主要是算术与代数,出现了一些著名的数学家 ,如阿耶波多、婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦 罗等12“悉檀多”时期的印度数学 阿耶波多阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学 家,公元476年生于恒河南岸的拘苏摩补罗,卒 年不详;23岁完成《阿耶波多历数书》 该书包括了《天文表集》、《算术》、《时间度量 》与《球》等篇,最突出的地方在于对希腊三角 学的改进和一次不定方程的解法13“悉檀多”时期的印度数学 阿耶波多在数学方面,阿耶波多所制正弦表在三角学史上有 重要地位,其中用同一单位度量半径与圆周,孕 有弧度制的观念 阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法”( 梵语称“库塔卡”),开古代印度一次不定方程研 究之先河14“悉檀多”时期的印度数学 阿耶波多32~33、余数粉碎法(库塔卡) 对应于较大余数 的除数除以对应于较小余数的除数[不计商数]所 得余数[又与除数]相除[直至最后余数足够小, 而商是偶数个]最后一个余数乘以某一选定的数 ……15“悉檀多”时期的印度数学 阿耶波多16“悉檀多”时期的印度数学 婆罗摩笈多婆罗摩笈多著有《婆罗摩修正体系》(628)和《 肯德卡迪亚格》(约665),都含有大量的数学 内容。
《婆罗摩修正体系》全书24章,专论数学的有两章 (第12章,“算术”;第18章,“代数”)17“悉檀多”时期的印度数学 婆罗摩笈多《婆罗摩修正体系》中比较完整地叙述了零的运算 法则;同时,婆罗摩笈多是最早认识负数概念的 数学家之一,并在历史上第一次提出负数的乘除 法则 婆罗摩笈多最突出的贡献是给出了佩尔方程的一种 特殊解法,名为“瓦格布拉蒂”18“悉檀多”时期的印度数学 婆罗摩笈多19“悉檀多”时期的印度数学 马哈维亚马哈维亚的《计算方法纲要》可以说是一部系统的 数学专著,全书有9个部分:算术术语、算术运算 、分数运算、各种计算问题、比例问题、混合问 题、面积计算、土方工程计算、测影计算,基本 是对以往数学内容的总结和推广 因其有很多问题和方法与中国《九章算术》相同或 相近,从而有人认为他受到过《九章算术》或中 国其它算书的影响20“悉檀多”时期的印度数学 婆什迦罗婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天 文学家生于公元1114年印度南部的比杜尔,长 期在印度文化中心乌贾因工作,曾任乌贾因天文 台主持人 他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉 沃蒂》和《算法本源》21“悉檀多”时期的印度数学 婆什迦罗婆什迦罗 《莉拉沃蒂》全书13章,全面发展了自阿耶波多以 来印度数学的各项成就。
本书对传统的印度三角 学与不定分析作出了前人未及的推进,其中还记 载了婆什迦罗在排列组合方面的先驱性结果第6章 148 平地上一枝竹,高32尺在某处被风吹折,竹梢触地离根 16尺数学家,你说:竹离根何处折断? 《九章算术·商股》第13题 今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问 :折者高几何?22“悉檀多”时期的印度数学 婆什迦罗23“悉檀多”时期的印度数学 婆什迦罗《算法本源》是一本代数书,其中包括有零的运算 法则的完整论述,特别是对零作除数的问题给出 了有意义的解释,认为分母为零的分数“表示一个 无穷大量”;比较全面地讨论了负数,正确地叙述 了负数的运算法则 对于一次和二次方程也讨论得较为详尽;他承认二 次方程有两个根,但将负根弃去了 对于无理数,他与其他一些印度数学家一样,不仅 广泛地应用,而且在运算中将无理数和有理数同 样对待 24印度数学由于印度屡被其他民族征服,使印度古代天文数学 受外来文化影响较深,除希腊天文数学外,也不 排除中国文化的影响,然而印度数学始终保持东 方数学以计算为中心的实用化特点 与算术和代数相比,印度人在几何方面的工作则显 得薄弱25⑴正弦表的构造l印度最早的三角学著作是成书于公元前5世纪的《 毗坛摩诃悉昙多》,它也是世界上最早的天文学 著作,其中与数学相关的内容流传了几个世纪。
为了利用球面三角学知识解决天文问题,给出了 一张“半弦表”26⑵组合学l虽然印度给出的组合规则没有证明,但它们是世 界上组合规则的最早记录,比如苏斯塔鲁的医学 论文(约写于公元前6世纪)中给出了从六种不同 的味——苦、酸、咸、甜和辣中分别取1、2、3 、4、5、6种的组合方法有63种 27阿拉伯数学 阿拉伯概述阿拉伯世界幅员广大, 国家众多,它共有23个 国家和地区,其人口以 信奉伊斯兰教的阿拉伯 民族为主因此,被称 为“阿拉伯世界” 阿拉 伯世界具有悠久的历史 和灿烂的文化 28阿拉伯数学 阿拉伯概述阿拉伯科学家比鲁尼论证了地球自转的理论,以及 地球是绕太阳运转,并精确测定了地球的经纬度 白塔尼纠正了托勒密的许多错误,编制了萨比天文 历表,后来哥白尼天体运行论多处引用其中的数 据 在天文学方面,阿拉伯人创建了一系列天文台,制 造了大量精密的天文仪器,他们测定了地球的圆 周长48001公里,已经相当准确,他们制定的太 阳历,每5000年才误差一天29阿拉伯数学 阿拉伯概述在7世纪的前半叶,出现了一个新的阿拉伯文明在 先知穆罕默德的感召下,一种新的神教宗教伊斯 兰教发展起来,并很快得到了阿拉伯半岛上居民 的忠诚和拥戴。
故也有称这一时期的数学为“伊斯 兰数学” 30阿拉伯数学 阿拉伯概述“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学,而是指8 -15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区 的数学,包括希腊人、波斯人和基督徒等所写的 阿拉伯文数学著作 阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化 ,最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面 做出了巨大贡献阿拔斯王朝在巴格达那里设立 了“智慧宫”,吸引了大批学者,他们掀起了著名 的翻译运动 31阿拉伯数学 主要成果代数方面 ①花拉子米《代数学》,代数方程求解问题; 《印度计算法》(又译《依照印度人方法做加法和 减法的书》),系统介绍了印度数码和十进制记 数法,以及相应的计算方法,以一个圆圈代表了0 ,欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码,该书书名 全译应为“花拉子米的印度计算法”,现代术语“算 法”即源于此 32阿拉伯数学 主要成果代数方面 《代数学》约1140年被英国彻斯特地方的罗伯特译 成拉丁文,作为一种标准的数学课本在欧洲行用 了数百年,引导了16世纪意大利数学家在三、四 次方程求解方面的突破33阿拉伯数学 主要成果代数方面 ②奥马·海亚姆生于波斯,卒于同地曾长期担任天 文台台长,并负责改革历法。
著有《还原与对消 问题的论证》 1100年左右,奥马将代数定义为“解方程的科学”, 进一步推进了代数方程理论,特别是借助于圆锥 曲线的三次方程几何解法 34阿拉伯数学 主要成果35阿拉伯数学 主要成果三角学方面 一方面由于天文学发展的需要,穆斯林数学家们致力于精密 三角函数表的绘制 对希腊三角学加以系统化的工作是由9实际天文学家阿尔·巴 塔尼做出的,而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学 家其《天文论著》被译成拉丁文后,在欧洲广为流传, 哥白尼、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果 另一方面,球面三角形的发展三角学不再仅仅是天文学的 附属纳西尔·丁《论完全四边形》是一部脱离天文学的 系统的三角学专著,对15世纪欧洲三角学的发展起着非常 重要的作用 36阿拉伯数学 主要成果几何学方面 几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存, 并传给了欧洲在评注《几何原本》的过程中, 对第五公设引起了注意对非欧几何的诞生产生 了一定的影响 (无理量概念,确定立体体积的穷竭原理) 37⑴欧几里德的平行公设l伊本·海塞姆在他的《对欧几里德原本中前提的评 注》中,试图重新制定欧几里德的平行理论他 首先重新定义了平行线的概念。
如果一条直线使 其一端总在第二条直线上并使它垂直于第二条直 线易懂,则这条动直线的另一端就作出一条平行 于第二条直线的直线38l奥玛·海亚姆也对平行性问题感兴趣。












