备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之解三角形：专题3 已知三角形中的边角关系、解三角形 Word版含解析.doc

I．题源探究·黄金母题【例1】在△ABC中，如果有性质，试问这个三角形具有什么特点？【解析】根据余弦定理的推论由得，，即，即，即，即，∴或，∴这个三角形是等腰三角形或直角三角形．精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第10页习题1.1B组第2题．【母题评析】此题考查利用正余弦定理判定三角形的形状，是常见题型．【思路方法】对三角形的边角关系判定三角形形状问题，先用余弦定理的推论将等式的两边的角余弦化为边，再化简即可找出边的关系，即可判定出三角形的形状．【变式】在△ABC中，求证：=〔人教版A版必修5第20页习题组第14〕II．考场精彩·真题回放【例2】【2021高考浙江理数】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. b+c=2a cos B.〔I〕证明：A=2B；〔II〕假设△ABC的面积，求角A的大小.【解析】〔I〕由正弦定理得，故= =，于是．又，，故，所以或，因此〔舍去〕或，所以，．〔II〕由得，故有，因，得．又，，所以．当时，；当时，．综上，或．【例3】【2021高考山东文数】中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，,那么A=〔 〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】C【例4】【2021高考浙江文数】〔此题总分值14分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．〔Ⅰ〕证明：A=2B；〔Ⅱ〕假设cos B=，求cos C的值．【解析】〔I〕由正弦定理得，故，于是，，又，故，所以或，因此，〔舍去〕或，所以，.〔II〕由，得，，故，，.【例5】【2021高考四川】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.〔I〕证明：；〔II〕假设，求.【例6】 【2021高考天津文数】在中，内角所对应的边分别为a,b,c，.(Ⅰ)求B；(Ⅱ)假设，求sinC的值.【解析】〔Ⅰ〕在中，由，可得，又由得，所以，得；〔Ⅱ〕由得，那么，所以【例7】 【2021高考山东，文17】 中，角所对的边分别为. 求 和 的值.【答案】【命题意图】此题主要考查正余弦定理、三角形面积公式及诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式等恒等变形公式，考查运算求解能力和转化与化归思想．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等偏易，考查考查运算求解能力和转化与化归思想．【难点中心】解答此类问题的关键是正确选择利用正余弦定理将的边角的边角关系化为纯边关系或纯角关系，再利用多项式化简或三角函数公式、配凑角方法解对应的边角关系．III．理论根底·解题原理一、对三角形的边角关系解三角形问题，假设所给条件即含边又含角，假设含边或含角的余弦的齐次式，那么常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角. 二、假设条件给出三角形面积，那么利用三角形面积公式化为边角问题处理.三、假设以向量运算的形式给出条件，那么利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦定理求解.IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等偏易，考查考查运算求解能力和转化与化归思想．【技能方法】1. 如果边角关系中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理，常利用对余弦定理作如下：；如果边角关系中含有角的正弦或边的齐次式时，那么考虑用正弦定理将边化为纯边或纯边问题求解；3.三角形内角和定理：及其余诱导公式结合导出的如下结论：、、、是沟通三角形内角之间和消去角的重要工具.【易错指导】在三角形的边角关系解三角形问题中，注意利用三角形内角和定理、条件及不等式性质缩小角的范围，防止出现增根，假设式子两边出现相同因式，要先判断式子是否为0，假设不为0约去，假设可以为0不能约去，否那么要失去一种情况．V．举一反三·触类旁通考向1 三角形角的关系解三角形 【例8】【2021届广西南宁市高三第二次模拟考试数学〔文〕】是中的角平分线，且，与的面积之比为1:2.〔1〕求的值；〔2〕求的值.〔2〕∵，∴.∵是中的角平分线，∴.设，由余弦定理得：.即得：，∵由正弦定理得：，∴.【方法总结】对三角形中角的关系解三角形问题，假设是某一个角或可化为某一个角的关系式，利用该关系和相关三角公式求出该角；假设是关于两个或两个以上角的其次时，可利用正弦定理化为边，在用正弦定理或余弦定理求解.【跟踪练习】 【2021届广西五市高三5月联合模拟数学〔文〕】在 中，，那么〔 〕A． B． C． D．【答案】D【解析】，由正弦定理可知，不妨设，那么由余弦定理可得，选D考向2 三角形边的关系解三角形【例9】 【2021届山西省高三高考适应性演练三数学〔文〕】在中，角的对边分别是，，.〔1〕求角的大小；〔2〕假设为边上一点，且，的面积为，求的长.【方法总结】对三角形的边的关系解三角形问题，假设边的关系是一次其次式，常用正弦定理求角；假设是关于边的二次其次式，根据条件与余弦定理的相似性，常用余弦定理求角.【跟踪练习】1.【2021-2021学年山西省长治一中高二〔下〕期中】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b﹣c=a，2sinB=3sinC，那么cosA的值为 ．【答案】﹣【解析】在△ABC中，∵2sinB=3sinC，由正弦定理得，∴2b=3c① ，又∵b﹣c=a ②∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，2.【2021-2021学年安徽省马鞍山二十二中高二下学业水平模拟】在△ABC中，假设，那么=〔 〕A．90° B．60° C．120° D．150°【答案】C考向3三角形的边角关系解三角形【例10】 【2021届山西太原市高三第二次模拟考试数学】在中，角的对边分别是，假设，那么的大小是__________.【答案】【解析】∵在中，，∴由正弦定理和根本不等式可得：，当且仅当即时取等号，∴，由，故，∴．【方法总结】对三角形的边角关系解三角形问题，假设给出的边角关系是关于边或角的正弦的齐次式，可以利用正弦定理化为纯边或纯角的关系式再求解.【跟踪练习】【2021-2021学年贵州思南中学高二下学期期末】在锐角中，分别为角所对的边，且．〔1〕确定角的大小；〔2〕假设，且的面积为，求的值．【解析】〔1〕由及正弦定理得，，∵，∴．∵是锐角三角形，∴．〔2〕∵，由面积公式得，即．．．．①由余弦定理得，即，∴．．．．②，由①②得，故．考向4 三角形的面积关系解三角形 【例11】【2021届山西晋城市高三下学期三模考试】在中, 内角,,的对边分别为,,,且.〔1〕求角的大小；〔2〕假设的面积为,且,求.〔2〕①,又由余弦定理得,代入①式得,由余弦定理．,得.【方法总结】此题首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简条件式，由此求得的值，从而求得角的大小；再根据条件等式结合余弦定理得到的关系式，然后根据三角形面积公式求得的值，从而求得的值．【跟踪练习】【2021届贵州遵义市南白中学高三第一次联考】在中,角、、的对边分别为、、,且.〔1〕求角的大小；〔2〕假设的面积,求的值.【解析】〔1〕由，得，即，解得或〔舍去〕，因为.〔2〕由,得.由余弦定理,得.由正弦定理,得.考向5 用向量形式给出边角关系解三角形 【例12】 【2021届内蒙古赤峰市高三4月统一能力测试】在中，内角对边分别为，且，，．〔1〕求和的值；〔2〕求的值．〔2〕在中，，，，为锐角．，【方法总结】对以向量形式给出的三角形的边角问题，常利用向量的有关知识，将条件化为三角形边角关系，再利用正弦定理或余弦定理化为纯边或纯角问题，通过解方程解三角形.【跟踪练习】【2021届云南省高三第二次统一检测】的内角、、对的边分别为、、,与垂直.〔1〕求的值；〔2〕假设,求的面积的最大值.〔2〕由〔1〕知..又的面积的面积最大值为. 。