例谈课本例题的应用与拓展.doc

例谈课本例题的应用与拓展课本上的例题往往是经过精心筛选后设置的，具有一定的示范性、典型性、探索性．在教学中要善于以这些例题为原形进行适当的引申、拓展和解题后的反思，这不但使例题的教学功能得到充分的发挥，而且有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的探索、创新意识，使之不断提高观察问题、分析问题、解决问题的能力．通过借题发挥，适当变换、引申、拓展，培养学生思维的变通性与创造性．下面就以一道课本例题为例，加以阐述．　　课本例题：如图，要在管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（人教版八年级上册第131页探究）ABQA′Pl分析：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，则P就是所求的点．由对称性可知PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B′．证明PA＋PB最短：在直线l上取一点异于P的点Q，连结QA，QB，QA′，由对称性得QA＋QB＝QA′＋QB，在△QA′B中，由二边之和大于第三边得QA′＋QB＞A′B，当Q在直线A′B上时才有QA′＋QB＝A′B，此时点Q和点P重合．因此总有PA＋PB≥A′B，当A′、P、B三点共线时取等号，此时PA＋PB的值最短．　　实际上，有不少求线段和最短（或最小）的问题，都是以该例题为背景，或简单应用、或拓展应用．这要求我们在解决相关问题时要善于提炼、抽象出问题的本质，从而化归为本例题模型来解答．一、简单应用　　这一类应用只需要作一次对称就可以，问题相应较为简单，直接运用课本例题的解题思路解答即可．ACBED图2FACBED图1例1　如图1，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是_________．分析：如图2，作点C关于AB的对称点F，连结FD交AB于E，连结EC、FB，EC＋ED的最小值即就是FD的长度．不难证明△ABC≌△FBC，进一步证明△ACD≌△FBD，则FD＝AD＝，EC＋ED的最小值为．例2　如图3，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．⑴⑵略；⑶当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）（2005年无锡市中考题）ABCDEFQPQ′D′图3分析：求△ADQ的周长最小，实质上就是求AD＋DQ最小．于是，作点D关于BC的对称点D′，连结AD′交BC于点Q′，显见Q′是BC的中点，从而易求△ADQ的周长最小值为AD＋DQ′＋AQ′＝AD＋AD′＝3＋＝8．∴当点Q为BC的中点时，△ADQ的周长最小，其最小值为8．ABOPMNABOPMNC图5图6例3　如图5，A是半⊙O的三等分点，B是的中点，P点为直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则PA＋PB的最小值等于_____________． 分析：如图6，由圆本身的轴对称性可知：点A关于MN的对称点为⊙O上一点C，连结OB、OC，连结BC交MN于点P，则PA＋PB的最小值就是BC的长度，易求∠BOC＝90°，进而求出BC长为，则PA＋PB的最小值为．例4　如图7，点A、B的坐标分别为（－1，1）、（3，2），P为x轴上一点，且P到A，B的距离之和最小，则P的坐标为_________．OyxA图7BA′P分析：作点A关于x轴的对称点A′（－1，1），连结A′B交x轴于点P，则点P就是所示的点．先求经过A′（－1，1），B（3，2）的直线解析式为：，则该直线与x轴交点P的坐标为P（，0）．例5　如图8，矩形OABC中OA＝6，OC＝2，∠AOX＝30°．⑴求A、B、C三点的坐标．⑵抛物线经过A、B、C三点，求其解析式并求抛物线的对称轴．OyxABC图8P⑶在⑵中抛物线的对称轴上找一点P使△PBA的周长最小，求出P点坐标并写出周长的最小值．分析：第⑴问，A点坐标（3，3），B点坐标（2，6），C点坐标（－，3）．第⑵问，抛物线解析式为，对称轴为直线．第⑶问，因为线段AB的长已定，故要使△PBA的周长最小，只要PA＋PB最小即可．由抛物线本身的轴对称性可知，点A关于对称轴对称的点在抛物线上，且它的纵坐标与点A的纵坐标相等，又C点的纵坐标与A点的纵坐标相等，故点A关于对称轴对称的点是C点．因此，直线BC与对称轴的交点即为P点，且PA＋PB最小值为BC的长，最终不难求出△PBA的周长的最小值为6＋2．二、拓展应用　　与简单应用不同的是，这一类应用往往是求三条线段和最小（或最短）的问题，需要作二次对称才能解决，思维过程相应较为复杂，是课本例题的深入与拓展．ABMNl（河流）草地图9A′B′DE例6　如图9，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．（人教版八年级上册第137页拓广探索第9题）分析：如图9，MN左上方区域是草地，直线l表示河流，作点A关于MN的对称点A′，点B关于l的对称点B′，连结A′B′，交MN于点D，交l于点E，连结AD、BE．路线A→D→E→B就是他这一天的最短路线．例7　如图10，公园内有两条河OM、ON在点O处汇合，∠MON＝60°，两河形成的半岛上有一处古迹P．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路分别连结两座小桥Q、R和古迹P．若古迹P到两条小河的距离都是50米，则这三段小路长度之和的最小值为_________米．（2007年全国初中数学竞赛山东赛区预赛第12题）MNOPQRPP图10分析：如图10，作点P关于OM和ON的对称点P，P．连接PP，分别交OM，ON于点Q，R，则PQ＋QR＋RP即为所求的最小值．在△PPP中，PP＝PP＝100，∠PPP＝120°，∠P＝∠P＝30°，易求PP＝300．∴三段小路长度之和的最小值PQ＋QR＋RP＝300米．例8　如图11，已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分　别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；OyxABC3MM′3A′EF图11（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．（2006年北京中考题）分析：第⑴问，抛物线解析式为．第⑵问，如图9，易得M（0，），点M关于x轴的对称点M′（0，－），点A关于对称轴x＝3的对称点A′（6，3），连结A′M′，交x轴于E，交对称轴于F，根据轴对称性及两点间距离最短可知，A′M′的长就是所求点P运动的最短总路径（ME＋EF＋FA）的长．易求直线A′M′的解析式为，进一步求出点E的坐标为（2，0），点F的坐标为（3，），所以点P运动的最短总路径（ME＋EF＋FA）的长为．7。