2022-2023学年人教A版选择性必修第三册第七章 离散型随机变量的方差讲义.pdf

7 .3 .2离散型随机变量的方差新课程标准学业水平要求理解离散型随机变量的方差1 .理解离散型随机变量的方差与标准差的概念. ( 数学抽象)2 . 掌握方差的性质, 会利用公式求离散型随机变量的方差. ( 数学运算)3 . 会利用离散型随机变量的方差解决一些简单的实际问题. ( 数学建模)必备知识•自主学习导思1 . 什么是禺散型随机变量的月差、标准差？2. 离散型随机变量的方差的意义是什么？ 性质是怎样的？离散型随机变量的方差、标准差(1)定 义 ： 如果离散型随机变量x的分布列如表所示+ ( X " - E(X))" = y (xz- - E ( X ) ) 2 , 称为随机变量X的 方 差 ， 有/= 1时也记作Var(X),并称］D( X )为随机变量X的标准差， 记 作0X).(2)意 义 ： 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的离散程度. 方差和标准差越小， 随机变量的取值越集生； 方差与标准差越大,随机变量的取值越分散.(3)性 质 ：D(aX+h)=^DiXl .思考？离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？提 示 ： (1)离散型随机变量的方差即为总体的方差， 它是一个常数，不随样本的变化而变化；⑵样本方差则是随机变量， 它是随样本不同而变化的., 基础小测1 . 辨析记忆( 对的打“ 加’ ， 错的打“X”).⑴离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定. ( X )提 示 ： 离散型随机变量的方差越小， 随机变量越稳定.(2)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的. ( x )提 示 ： 单位不同， 方差的单位是随机变量单位的平方； 标准差与随机变量本身有相同的单位.(3)若a是 常 数 ， 则D(d) = 0.( 4 )提 示 ： 离散型随机变量的方差刻画离散型相对于均值的波动大小.2 . 已知随机变量。

满 足 P(e= D = 0.3 , P ^ = 2) = 0.7 , 则 E © 和 D(a的值分别为( )A . 0.6 和 0.7 B . 1.7 和 0.09C . 0.3 和 0.7 D . 1.7 和 0.21【 解析】选 D.E© = 1x0.3 + 2x0.7 = 1.7 , Q© = (1 - 1.7)* 2x 30.3 + (2 -1.7)2x0.7 = 0.21.3 . ( 教材例题改编) 有甲、乙两种水稻， 测得每种水稻各10株的分蕖数据， 计算出方差分别为 X甲） = 1 1 , Q （ x乙） = 34由此可以估计（）A .甲种水稻比乙种水稻分蕖整齐B .乙种水稻比甲种水稻分蕖整齐C .甲、乙两种水稻分蕖整齐程度相同D .甲、乙两种水稻分窠整齐程度不能比较【 解析】选B. Q（ X甲 ）＞Q（ X乙 ） ， 所以乙种水稻比甲种水稻分票整齐.关键能力•合作学习类型一随机变量的方差及其性质（ 数学运算）题组训练、1 . 已知随机变量X的分布列为：X123P0 . 4 0 . 5X则 x)=; 若y = 2 x - 1 ,则 y)= .【 解析】由题意可知0 . 4 + 0 . 5 +% = 1 ,所以％ = 0 . 1 ,所以 E(X) = 1 X0 . 4 + 2 x0 . 5 + 3 x0 . 1 = 1 . 7 ,所以 O(X) = (1 - 1.7)2X0.4 + (2 - 1.7)2X0.5 + (3 - 1 . 7 )2x0 . 1 = 0 . 4 1 ,D(y)= 22£)(X)= 1 . 6 4 .答 案： 0 . 4 1 1 . 6 42 . 已知〃的分布列为01 02 05 06 0P325115215115(1)求方差及标准差；(2)设 y = 2〃-E(〃 ) , 求 。

(F)., 12 12 1【 解析】 ⑴因为 E(〃 ) = Oxg + 10x- +20x— +50x— +60x— =i ? 116 , 所以 D⑺=(0 - 16)2x- + (10 - 16)2x- + (20 - 16)2x— + (50 -16)人看 +(60-16)2x上 =384 , 所以〈D ( 〃 ) = 8册 .⑵因为丫= 2〃 - 石 ( 〃 ) ,所以 £)(y)= ( 2〃 - E⑺)=22D(/J) = 4x384 = 1 536.1解蔻菜略方差性质应用的关注点⑴公式： D(aX+b) = a2D(X)；⑵优势： 既避免了求随机变量y=ax + h 的分布列， 又避免了涉及大数的计算， 从而简化了计算过程.类型二离散型随机变量的方差的计算( 数学建模、数学运算)【 典例】编号为1 ,2 ,3 的三位学生随意入座编号为1 ,2 ,3 的三个座位， 每位学生坐一个座位， 设与座位编号相同的学生的人数是乙求 E©和 D©.【 解析】 4 的所有可能取值为0 , 1 , 3 * = 0 表示三位同学全坐错了，有 2 种情况， 即编号为1 ,2 ,3 的座位上分别坐了编号为2 ,3 , 1或3 , 1 , 2 的学生,贝 1 ］ 尸 ( 4=0)=鬲=3 ；1表示三位同学只有1位同学坐对了，1则 p(4 = i)= * =5 ;A3 乙4 = 3表示三位同学全坐对了， 即对号入座,则 P (/= 3 )= 5 . 所以。

的分布列为己013P1312161+X - 2二361- 2+><(1- 62+: 解 gf条 略求离散型随机变量X 的均值、方差的步骤⑴理解X的意义， 写出X 的所有可能的取值.⑵求X取每一个值的概率.⑶写出随机变量X 的分布列.(4)由均值、方差的定义求E(X) , Z)(X).跟踪训练、根据以往经验， 一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元 ， 小雨天盈利163元 ， 中雨天盈利90元 . 根据天气预报， 明天无雨的概率是0.2 , 有小雨的概率是0.3 , 有中雨的概率是0 5问 ： 明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元？ 方差和标准差各是多少？【 解析】用X表示明天发一辆车的盈利， 由题意知P(X = 230) = 0.2 ,P ( X = 163) = 0.3 , P ( X = 90) = 0.5 ,所以 E(X) = 230x0.2 + 163x0.3 + 90x0.5 = 139.9(元 ) ， 所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是139.9元 方 差 X) = (230 - 139.9衣0.2 + (163-139.9)2x0.3 + (90 - 139.9)2x0.5 = 3 028.69 ,标准差( X ) =yl3 028.69 =55.所以方差和标准差各是3 028.69 , 55.类型三随机变量方差的实际应用( 数学建模、数学运算)【 典例】 为选拔奥运会射击选手， 对甲、 乙两名射手进行选拔测试. 已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X ,乙 甲 、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环 ， 且甲射 中10 , 9 , 8 , 7环的概率分别为0.5 ,3a, a , 0.1 ,乙射中10 , 9 ,8环的概率分别为0.3 , 0.3 , 0.2.⑴ 求X , 丫的分布列；⑵ 求X, 丫的数学期望与方差， 并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.【 解析】(1)依 题 意 ,0.5 + 3a + Q + 0.1 = 1 ,解得a = 0.1.因为乙射中10 , 9 , 8环的概率分别为0.3 , 0.3 , 0.2 ,所以乙射中7环的概率为1 - (0.3 + 0.3 + 0.2) = 0.2.所以X ， 丫的分布列分别为：X10987P0.50.30.10.1Y10987P0.30.30.20.2⑵由⑴可得E(X) = 10x0.5 + 9x0.3 + 8x0.1 + 7x0.1 = 9.2(环) ,E(y)= 10x0.3 + 9x0.3 + 8x0.2 + 7x0.2 = 8.7(环) ，D(X) = (10 - 9.2)2X0.5 + (9 - 9.2)2x0.3 + (8 - 9.2)2x0.1 + (7 - 9.2)2x0.1=0.96 ,D(V) = (10 - 8.7)2X0.3 + (9 - 8.7)2X0.3 + (8 - 8.7)2x0.2 + (7 - 8.7)2x0.2 =1.21.由于E(X) > E(Y),说明甲平均射中的环数比乙高，又因为D(X)

0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平.【 解析】因为 E(X) = 80x0.2 + 90x0.6 + 100x0.2 = 90 ,D(X) = (80 - 90)2x0.2 + (90 - 90)2x0.6 + (100 - 90)2x0.2 = 40 , E(Y)=80x0.4 + 90x0.2 + 100x0.4 = 90 ,£>(y)= (80 - 90卢0.4 + (90 - 90)2x0.2 + (100 - 90)2x0.4 = 80 ,所 以a凤 K ) , D(X) < D(y) ,所以甲生与乙生的成绩均值一样， 甲的方差较小， 因此甲生的学习成绩较稳定.课堂检测•素养达标学生用书P4 71 . 下列说法中正确的是（）A. 离散型随机变量小 的期望£ ©反映了 取值的概率的平均值B . 离散型随机变量小 的 方 差 反 映 了 取值的平均水平C . 离散型随机变量4 的期望E © 反映了4 取值的波动水平D . 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 反 映 了 《 取值的波动水平【 解析】 选 D . 离散型随机变量4 的期望E © 反映的是随机变量的平均取值水平； 而则反映随机变量的集中（ 或稳定） 的程度， 即波动水平.2 . 已知随机变量e, ， 则 c 的标准差为.y【 解析】/ 的标准差寸。

" ）=|.里 安•—U木 - 33 . （ 教材二次开发： 练习改编） 已知随机变量 的方差 （ 0 = 4 , 且随机变量〃 = 21 5 , 则D⑺二.【 解析】 5） = 2 2 © = 1 6 .答 案 ： 1 64 . 已知随机变量X的分布列为X01Xp15P3To且 E(X) = 1.1 ,则 D(X) =.【 解析】由随机变量分布列的性质可得p = l *1 J3 /1 ♦1 1 3又 E(X) = OX5 + 1X- +JTX— = 1.1 ,解 得 ： ％ = 2. 所以X) = (0 -〜 1 . 1 31.1 )2x- + (1 - 1.1)2X2 + (2 - l.l)2x— = 0.49.答 案： 0.495 .已知海关大楼顶端镶有A , 3两面大钟， 它们的日走时误差分别为X , X2(单 位 ：s ) ,其分布列如下：Xi-2-1012p0.050.050.80.050.05X2-2-1012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.【 解析】由题意得，E(Xi) = 0 , E(X2) = 0 ,所以凤 X|) = E(X2).D(X,) = ( - 2 - 0)2x0.05 + ( - 1 - 0衣0.05 + (0 - 0)2x0.8 + (1 - 0)2x0.05+ (2 - 0)2x0.05 = 0.5 ,D(X2) = ( - 2 - 0)2x0.1 +( - 1 - 0)2x02 + (0 - 0)2x0.4 + (1 - 0)2x0.2 + (2- 0)2x0.1 = 1.2.所以 0(X1) < D(X2).综上可知，A大钟的质量较好.关 闭Word文档返回原板块。