高等代数【北大版】(2).ppt

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式*12 2 标准正交基标准正交基3 3 同构同构4 4 正交变换正交变换1 1 定义与基本性质定义与基本性质6 6 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形88酉空间介绍酉空间介绍7 7 向量到子空间的向量到子空间的 距离距离 最小二乘法最小二乘法小结与习题小结与习题第九章第九章 欧氏空间欧氏空间5 5 子空间子空间 9.49.4 正交变换正交变换一、一、一般欧氏空间中的正交变换一般欧氏空间中的正交变换9.4 9.4 正交变换正交变换二、二、n n 维欧氏空间中的正交变换维欧氏空间中的正交变换 9.49.4 正交变换正交变换一、一、一般欧氏空间中的正交变换一般欧氏空间中的正交变换1.定义即 ，欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变，则称 为正交变换. 注：注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广. 9.49.4 正交变换正交变换2.欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：（定理4）设是欧氏空间V的一个线性变换.3） 保持向量间的距离不变，即2） 保持向量长度不变，即1） 是正交变换； 9.49.4 正交变换正交变换证明：首先证明1)与2)等价即，两边开方得，若是正交变换，则有，(1)(2)若保持向量长度不变，则对 9.49.4 正交变换正交变换把(3)展开得，再由(1)(2)即得，(3)是正交变换 9.49.4 正交变换正交变换再证明2)与3)等价根据）故 3）成立. 若则有，即，故 2）成立. 9.49.4 正交变换正交变换二、二、 维欧氏空间中的正交变换维欧氏空间中的正交变换1. 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换是V的标准正交基，则 也是V的标准正交基.1).若 是 维欧氏空间V的正交变换，事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质即有， 9.49.4 正交变换正交变换2).若线性变换 使V的标准正交基 变成变换标准正交基 ，则 为V的正交证明：任取 设 由 为标准正交基，有 9.49.4 正交变换正交变换故 是正交变换又由于为标准正交基，得 9.49.4 正交变换正交变换2. 维欧氏空间V中的线性变换是正交变换在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵设 为V的标准正交基，且 证明：的标准正交基，当 是正交变换时，由1知， 也是V而由标准正交基 到标准正交基 的过渡矩阵是正交矩阵. 9.49.4 正交变换正交变换设 为V的标准正交基，且 再由 1 即得为正交变换由于当A是正交矩阵时， 也是V的即，标准正交基，所以，A是正交矩阵 9.49.4 正交变换正交变换1）正交变换的逆变换是正交变换； 2）正交变换的乘积还是正交变换3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射因而有，（由同构的对称性可得之）（由同构的传递性可得之） 9.49.4 正交变换正交变换4. 维欧氏空间中正交变换的分类：设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基1）如果 则称为第一类的（旋转）; 2）如果 则称为第二类的 下的矩阵是正交矩阵A，则 9.49.4 正交变换正交变换例、在欧氏空间中任取一组标准正交基定义线性变换为：则为第二类的正交变换，也称之为镜面反射。