高程误差对七参数转换的影响.pdf

-1- 高程误差对七参数转换的影响高程误差对七参数转换的影响 王解先1,2，邱杨媛1 1 同济大学测量系，上海（200092） 2 现代工程测量国家测绘局重点实验室，上海（200092） 摘摘 要：要：通过七参数空间坐标转换可将 WGS-84 坐标转换至地方坐标，但由于地方坐标点 的大地高通常不能精确已知，本文从最小二乘原理出发，推导了七参数的求取方法，分析了 大地高误差对七参数的影响， 以及由此对转换坐标产生的影响， 从理论上证明了在一定范围 的应用中，即使公共点中地方坐标的高程存在误差，其对坐标转换的影响仍然很小 关键词：关键词：空间转换，七参数，高程误差 1. 前言前言 GPS 测量得到的是 WGS-84 中的空间坐标，而工程施工中通常使用平面地方坐标系，要求得到地方平面坐标（如北京 54） 可以通过两种方式实现转换，一是平面转换模型、另一种是空间转换模型 平面转换是将 GPS 测得的坐标经高斯投影化为平面坐标，再根据重合点的已知平面坐标，由平面转换模型，求出平面转换参数，从而将 GPS 测得的坐标化为当地坐标，但平面转换模型是一个线形模型，高斯投影变形误差不能顾及空间转换模型被较多采用，其计算流程如下[1]： 1） 将 GPS 测得的 WGS-84 坐标表示为空间直角坐标()TZYX848484； 2） 通过空间转换模型，将其转换为地方坐标系的空间直角坐标()TZYX545454，计算公式为： () ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ ++ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛848484000545454 1 ZYX RRRk zyxZYX γβα (1) 式中的()Tzyx000为三个平移参数，()Tγβα为三个旋转角参数，k为一个尺度参数； 3） 将()TZYX545454转换为经纬度和大地高()ThLB， 再由经纬度经高斯投影得到地方平面坐标系的坐标，提供工程使用。

上面的（1）式称为七参数转换模型，若不考虑尺度参数（0=k） ，称为六参数转换模型，若仅考虑三个坐标平移参数（0=k、0=α、0=β、0=γ） ，则称为三参数转换模型 因此只要转换参数已知，GPS 测得的坐标，就容易转换为地方坐标转换参数的求取方法通常是在已知地方坐标的点上用 GPS 测定 WGS-84 坐标，将已知的地方坐标化为空间坐标形式，由（1）式，按最小二乘求出转换参数 问题是在实际应用中， 我国采用的平面坐标以椭球为基准， 高程以似大地水准面为基准，多数情况下，已知平面坐标的点上没有精确的大地高，很多情况下连水准高程都没有，只有米级精度的近似高程这样， （1）式中的()TZYX545454不能精确得到，但其相应的经 -2- 纬度是精确的 本文将从理论和数值上证明， 尽管高程不准确， 但空间转换得到的平面坐标仍然是准确的 2. 高程变化引起的转换参数变化高程变化引起的转换参数变化 如前所述，（1） 式中的地方空间坐标()TZYX545454是由两维的高斯坐标()Tggyx转为经纬度()TLB，再联合大地高h求得[2]： ()( )( ) ()( )( ) ()()( )⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+−++= ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛BheNLBhNLBhNZYXsin1sincoscoscos2 545454(2) 式中的卯酉圈曲率半径 BeaN 22sin1−=，a和2e为地方坐标对应椭球的长半轴和偏心率。

通常地方坐标系与 WGS-84 坐标系之间相差不会太大，旋转角为小量，(1)式可以简写为： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−+ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛848484848484000545454111ZYXZYXk zyxZYXαβαγβγ可以看出上式是一个线形模型，改写为： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ +=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ +⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−− = ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛848484848484000848484848484848484545454010000100001ZYX APZYXkzyxXYZXZYYZXZYXγβα(3) 式中A为系数矩阵，P为参数向量 若有n个公共点，则可列出n个上述误差方程，对公共点i，其误差方程为： iiilPAV−= (4) 式中P为待定的七个参数，il为常数项： -3- iii ZYXZYXl ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ =545454848484对所有点组成法方程，求得转换参数为： CNP1−= (5) 其中法方程系数阵N和常数项C为： ∑=n iiAAN1T， ∑=n iilAC1T若某公共点j的大地高jh改变jh∆，其空间坐标()T jZYX545454的变化量()T jZYX545454∆∆∆可以由（2）式求得： ( )( ) ( )( ) ( )hBLBLBZYXjj∆ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∆∆∆sinsincoscoscos545454(6) 这样，第j个误差方程的常数项jl变为'jl： ( )( ) ( )( ) ( )jjjjhBLBLBll∆ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ +=sinsincoscoscos' 总法方程变为： ()()( )( ) ( )( ) ( )jjjniiniihBLBLBAlAPPAA∆ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ +=∆+∑∑ sinsincoscoscosT 1T 1T因此，j大地高变化jh∆引起的转换参数的变化量为： ()( )( ) ( )( ) ( )jjjniihBLBLBAAAP∆ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ =∆−∑ sinsincoscoscosT11T(7) 3. 转换参数变化对转换坐标的影响转换参数变化对转换坐标的影响 对测区内任意 GPS 测定点q， 设测得空间坐标为()T qZYX848484， 由转换公式 （3）可以求得其在地方坐标系内的空间坐标()T qZYX545454，若转换参数变化P∆，则地方空间坐标变化()T qZYX545454∆∆∆为： -4- ()( )( ) ( )( ) ( )jjjn iiqh BLBLB AAAAPA ZYX ∆ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ =∆= ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∆∆∆ −∑ sinsincoscoscosT11T545454(8) 误差方程系数A与对应点的 WGS-84 空间坐标有关，定义 WGS-84 坐标中心点p，其坐标为： ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛= ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∑∑∑nnnpppYYXnZYX1841841841地面点空间坐标的模约为 6400Km，对于地面上 100Km×100Km 网（如整个上海市） ，各 WGS-84 点与p点的差为 50Km 量级。

任意i点的误差方程系数可改写为： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−+−−−−+−− +⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−− =000000000000010000100001848484848484848484pipipipipipipipipipppppppppiXXYYZZXXZZYYYYZZXXXYZXZYYZX A因为网中任意点的空间坐标分量与中心点坐标之差在 50Km 量级上，比坐标值要小 2个量级，因此上式可以写为： ()ppiAAA2−+=ε (9) 式中的2−ε表示二阶小量 （8）式中的()T11T jniiqAAAA−∑变为： ()()()()()()()2122122T11T1−−−−−−−−+≈+≈+++=∑εεεεεEAAAAnAAnAAAAAAT ppT ppTppT ppjn iiq(10) 即该项近似为单位阵E 因此， （8）式近似为： ( )( ) ( )( ) ( )jjqh BLBLBZYX∆ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛ ≈ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∆∆∆sinsincoscoscos545454(11) 上式相应的经纬度大地高变化量为[3]： -5- ( )( )( )( )( )( ) ()( )( ) ()( ) ( )( )( )( )( )qZYXBLBLBBhNL BhNLhMB hMLB hMLBhLB⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∆∆∆⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++−++−+−= ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛∆∆∆545454sinsincoscoscos0coscos cossincossinsincossin(12) 式中的M是子午圈曲率半径。

高斯坐标的变化量()Tqggyx∆∆近似为南北向和东西向的变化量： ()⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛ ∆∆+≈⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛ ∆∆LBhMyxqgg(13) （11）式和（12）式代入上式，并以中点p的经纬度代替q和j的经纬度值： ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛≈∆⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛≈∆ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛ −−−≈∆ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛ −−−=⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛ ∆∆00 00sinsincoscoscos0cossincossinsincossinsinsincoscoscos0cossincossinsincossinjjppjjgghh BLBLBLLBLBLBh BLBLBLLBLBLB yx上式表明，若某公共点的地方坐标大地高存在误差，但求得转换参数后，转换出来点的平面坐标不变 从上面的推导过程容易看出，即使公共点中多个点的大地高有误差，结果仍成立 参考文献[1]已经从数值上验证了本文理论的正确性。

4. 结论结论 将 WGS84 坐标转换至地方坐标通常借助七参数空间转换模型，而七参数的求解需要已知地方坐标系的空间直角坐标 然而在实际问题中， 由于我国平面坐标系统与高程系统分离，大多数情况下，平面坐标的点上没有精确的大地高，很多连水准高程都没有，只有米级精度的近似高程，地方坐标系的精确大地高难以获得本文利用最小二乘原理，推导了七参数的求取方法， 并对大地高误差对转换参数的影响， 以及由此对转换坐标产生的影响进行了详细分析，从理论上证明了，对于地面上 100Km×100Km 的范围，即使公共点中地方坐标的高程存在误差，在求得转换参数后，转换出来点的平面坐标仍基本不变，对于多个公共点地方坐标高程有误差，该结论仍然成立，这在一般的城市坐标系应用中都具有实用意义 -6- 参考文献参考文献 [1]．王解先，王军，陆彩萍，WGS-84 与北京 54 坐标的转换问题，大地测量与地球动力学，Vol.23，No.3， 2003 年 8 月，PP70-73 [2]．王解先， 《GPS 精密定轨与定位》 ， 同济大学出版社，1997 [3]．施一民， 《现代大地控制测量》 ， 同济大学出版社，2003 The Influence of ellipsoidal Height Error in Seven-parameter Transformation Wang Jiexian1,2，Qiu Yangyuan1 1 Department of Surveying and Geo-informatics, Tongji University 2 Key Laboratory of Advanced Engineering Survey of SBSM Abstract WGS-84 coordinate。