3.1三维空间转动变换3.2李群的基本概念资料.ppt

第三章 三维转动群,3.1 三维空间转动变换 3.2 李群的基本概念 3.3 三维转动群的覆盖群SU(2) 3.4 SU(2)群的不等价不可约表示 3.5 李氏定理 3.6 李代数 3.7 张量和旋量,♣ 球对称：是物理学中常见的对称性 无论经典力学还是量子力学，中心力场问题总是最基本的研究课题 不仅是中心力场容易处理，而且很多真实物理系统都有近似的球对称性质 ♣在球对称系统中，空间各向同性，系统绕通过原点的任何轴转动都保持不变，因而，球对称变换群是三维空间转动群 ♣因转动角度可以任意，故群元素无限多——无限群，群元素可以用一组实参数来描写 ♣实参数在一定区域内连续变化，且涉及的这些连续参数的函数是解析函数——转动群是连续群，且是连续群中可以用微积分方法深入研究的一类，称为李群,3.1 三维空间转动变换,一、约定,1. 主动观点： 坐标系固定，系统转动,2. 矢量： 矢量基： 其它单位矢量：,二、概念,1. 手征性不变：,右手坐标系：,左手坐标系：,右（左）手坐标系经变换后仍为右（左）手坐标系,2. 固有转动： 三维空间纯粹的转动，即保持坐标系手征性不变的转动,3. 非固有转动： 若转动后，再做空间反演，改变坐标系的手征性,两类转动都保持 坐标系原点不变， 保持空间任意点到原点的距离不变（即无变形）,4. 幺模矩阵： 行列式为 1 的矩阵 detA=1,三、三维空间转动群,1. 转动变换,在三维空间建立直角坐标系K，用原点O到空间任意点P的位置矢量 来描写P点的位置，坐标轴向的单位矢量记作 则,固有转动要求： 坐标系原点不变，保持空间任意点到原点的距离不变,设转动操作R把P点转到P'点,变换前后的坐标可用R矩阵联系，位置矢量变换为,则,♣坐标的齐次变换保证原点位置不变,♣距离不变要求矩阵R是实正交矩阵 （距离与x2联系，两个列矩阵相乘xT x）,要求为1,若在系统上建立坐标系K’ 单位矢量记为,则 在坐标系K'中的分量保持不变（系统与坐标系相对静止），因此有,,相当于 按 线性展开，Rab为展开系数,♣坐标系的手征性,用单位矢量的混合积来确定,转动变换保持系统的手征性不变，就是要求固定在系统上的坐标系单位矢量混合积在变换前后都是1，即,三维空间转动变换：由行列式为1的实正交矩阵R描写,◆行列式为+1的实正交矩阵R满足空间转动变换的三个要求：保持原点、两点间距离、手征性不变——R对应的是固有转动,◆行列式为-1的实正交矩阵会改变系统的手征性，说明变换中包含了空间反演σ——非固有转动,◆实正交矩阵行列式只能取+1或-1，分别对应固有转动和非固有转动，即 非固有转动元素=固有转动R+空间反演σ,2. 三维空间转动群,♣SO(3)群：三维幺模实正交矩阵 描写绕三维空间 方向转动ω角的变换，按照矩阵的乘积规则，它的集合构成群。

O：实正交；S：幺模）,♣O(3)群：三维实正交矩阵群 SO(3)+空间反演变换σ群,四、特殊的转动,1. 绕x3(z)转动ω角的变换矩阵,●给出x-y平面(右手坐标) z轴垂直于xy面向外,●两个坐标系： K 固定在空间 K’ 固定在系统上,●转动变换前，K与K’重合 空间某点P在两个坐标系中 的坐标为 x1，x2，x3,●变换：系统绕x3轴转动ω角，即K’系随着转动ω角 标记为 x’1，x’2，x’3;系统上的P点位置转过ω角到P’点,●P’点在K系中坐标为(x’1,x’2,x’3),K’系中坐标为(x1,x2,x3),●由图中得到两组坐标的关系,将系数写成矩阵,●利用物理中常用的泡利矩阵，可将转动矩阵写成矩阵指数函数的形式,泡利矩阵：,三个矩阵之间的关系：,矩阵的指数函数用它的级数展开来定义,展开为有限项之和,将上式中的σ2换成三维矩阵T3，即可得到 矩阵指数形式,证 明,T矩阵满足,上面给出了 三维转动的指数形式与矩阵形式,2. 一个特殊的转动S(φ,θ)： 把x3轴上的点转到 方向,●过程：将x3轴上的点P， 在 x1-x3平面，绕x2轴转θ角 使P'在x1-x2平面投影在 x1轴上；再绕x3轴转φ角 即可使P→P'→P'',,,,,●用转动元素表示：,,●将S(φ,θ)作用于 上，相当于取S的第三列,●容易验证,2. SO(3)群任意元素 可以表示为三个转动的乘积,●先将 方向转到x3方向 再绕x3轴转动ω角 最后把x3方向转回到 方向,,即,,,讨 论,♣可以把ωa看作矢量 的直角坐标，而θ,φ是它的球坐标，它们描写了SO(3)群的任意元素，即绕 方向转动ω角的变换,♣绕相反方向的转动变换有如下关系,则,♣三维转动群中转动相同角度的元素互相共轭,♣三维转动群中类用转动角度ω来描写,♣给出任意转动变换矩阵 ，由它的迹（1+2cosω）定出转动角度ω，它的本征值为1的本征矢量沿转动轴 方向,练 习,展开成有限项矩阵之和,提示：,。