魅力无穷的螺旋渐开线.doc

1魅力无穷的螺旋渐开线福建省晋江市子江中学杨玉山解数学题的一种基本思想就是探索寻找规律，化难为易、化繁为简当我们遇到一个问题，它所涉及的对象太多或太大，这时可以有顺序、有条理、有规律地分类，设法将他们划分为若干部分，分别找规律去研究，从而得到整个问题的解决这类题立意趣味精巧、条件清晰，较好地考察了学生的分析、归纳、综合和探究能力，同时它思维的含金量也很高，是一类培养学生思维能力的好题课程教材的改革是整个基础教育改革的重要方面，它反映社会各方面的发展，体现学生身心发展特点；它引导学生利用已有的知识与经验，主动探索知识的发生与发展，进行创造性的学习激发学生对数学产生兴趣和继续学习的欲望，增强对数学知识的理解和学好数学的信心在探索魅力无穷有趣的渐开线中找规律进行探索结论是逻辑推理中常见的一种题型，它以其独特的趣味性和严密的逻辑性成为风靡国内外的一种智力测试题，深受老师、同学们的青睐1、如图 1，△ABC 是正三角形，曲线 CDEF┅叫做“正三角形的渐开线” ，其中CD、DE、EF┅┅的圆心依次是 A、B、C 循环，它们依次相连接，若 AB＝1；(1) 渐开线 CDEF 的长是 解：CD＝ ＝ Л DE＝ ＝2× Л＝ Л1802318034EF＝ ＝3× Л＝ Л26渐开线 CDEF 的长＝ Л＋ Л＋ Л＝4Л3(2) 探索：当第 n 次以 A 为圆心作弧时，正三角形渐开线 CDEFGHK……的弧长为多少？解：第一次以 A 为圆心作弧时，半径为 1，弧长为 ＝ Л18023第二次以 A 为圆心作弧时，半径为 4，弧长为 ＝4× Л2第三次以 A 为圆心作弧时，半径为 7，弧长为 ＝7× Л18023第四次以 A 为圆心作弧时，半径为 10，弧长为 ＝10× Л2……第 n 次以 A 为圆心作弧时，半径为 1＋3 (n －1)＝3n－2，弧长为 ＝(3n －2) × Л80)n32正三角形渐开线 CDEFGHK……的弧长为 L＝ Л＋2× Л＋3× Л＋……＋( 3n－2)× Л32＝ [1＋2＋3＋……＋(3n－2)]Л＝ × Л)12n)图 1AB CDEF⌒ ⌒ ⌒⌒⌒⌒2＝ Л3)1n(2(3) 再探索： 当边长为 1cm 的正三角形，试估计至少第 n 次以 A 为圆心作弧时，A n 扇形的弧长能绕地球赤道一周？( 设地球赤道半径为 6400km)解：第 n 次以 A 为圆心作弧时，半径为 1＋3 (n －1)＝3n－2，弧长为 ＝(3n －2) × Л80)32根据题意得：(3n－2)× Л≥2Л×6400×1000×1003解得：n≥6.4×10 8＋ (次)4(4) 当第二次以 A 为圆心作弧时，正三角形渐开线 CDEFG 围成的面积和为多少？解：第一次以 A 为圆心作弧时，半径为 1，扇形面积为 ＝ Л360122以 B 为圆心作弧时，半径为 2，扇形面积为 ＝4× Л＝ Л34以 C 为圆心作弧时，半径为 3，扇形面积为 ＝9× Л＝ Л36012219第二次以 A 为圆心作弧时，半径为 4，扇形面积为 ＝16× Л＝ Л36正三角形渐开线 CDEFG 围成的扇形面积＝ Л＋ Л＋ Л＋ Л＝10Л31431(5)探索：当第 n 次以 A 为圆心作弧，此时正三角形渐开线 CDEFGHK……的扇形面积和为多少？解：第一次以 A 为圆心作弧时，半径为 1，扇形面积为 ＝ Л360122以 B 为圆心作弧时，半径为 2，扇形面积为 ＝4× Л＝ Л34以 C 为圆心作弧时，半径为 3，扇形面积为 ＝9× Л＝ Л36012219第二次以 A 为圆心作弧时，半径为 4，扇形面积为 ＝16× Л＝ Л36……第 n 次以 A 为圆心作弧时，半径为 (3n－2) ，扇形面积为 ＝(3n－2) 60)2n(122× Л31那么正三角形渐开线 CDEFGHK……的扇形面积和为S＝ Л＋ Л＋ Л＋ Л＋……＋( 3n－2) 2× Л43916313＝ [1＋2 2＋3 2＋4 2＋…… ＋(3n－2) 2] Л1＝ × ×(3n－2)[(3n －2) ＋1][2(3n－2)＋1] Л6＝ ×(3n－2)(3n－1)(2n－1) Л12、如图 2，正方形 ABCD 的边长为 1，曲线 DEFG……叫“正方形渐开线” ，其中弧 DE、弧 EF、弧 FG、弧 GH、……的圆心依次按 A、B、C、D 循环。

1) 当第四次以 A 为圆心作弧，此时半径为（ B ）（A）9 （B）13 （C）17 （D）21解：其半径的长分别是：1，2，3，4，5……第一次以 A 为圆心作弧时，半径为 1第二次以 A 为圆心作弧时，半径为 5第三次以 A 为圆心作弧时，半径为 9第四次以 A 为圆心作弧时，半径为 13……探索：第 n 次以 A 为圆心作弧时，半径为 1＋4 (n －1) ＝4n－3第 n 次以 B 为圆心作弧时，半径为 2＋4 (n－1) ＝4n－2第 n 次以 C 为圆心作弧时，半径为 3＋4 (n－1) ＝4n－1第 n 次以 D 为圆心作弧时，半径为 4＋4 (n －1) ＝4n(2) 当第四次以 A 为圆心作弧，此时正方形渐开线 DEFGHK……的弧长为多少？解：第一次以 A 为圆心作弧时，半径为 1，弧长为 ＝ Л8092以 B 为圆心作弧时，半径为 2，弧长为 ＝Л1以 C 为圆心作弧时，半径为 3，弧长为 ＝ Л3以 D 为圆心作弧时，半径为 4，弧长为 ＝2Л8049第二次以 A 为圆心作弧时，半径为 5，弧长为 ＝ Л ……15第四次以 A 为圆心作弧时，半径为 13，弧长为 ＝ Л32那么正方形渐开线 DEFGHK……的弧长为 L＝ Л＋Л＋ Л＋2Л＋……＋ Л2213＝( ＋1＋ ＋2＋……＋ )Л＝ (1＋2＋3＋4＋……＋13) Л＝ Л9探索：……第 n 次以 A 为圆心作弧时，半径为 1＋4 (n －1)＝4n－3，弧长为 ＝ Л180)3n4(2正方形渐开线 DEFGHK……的弧长为 L＝ Л＋Л＋ Л＋2Л＋……＋ Л2＝ ( ＋1＋ ＋2＋……＋ )Л2图 24＝ [1＋2＋3＋4＋……＋(4n－3)]Л1＝ × Л)13n)(＝ Л2((3) 当第四次以 A 为圆心作弧，此时正方形渐开线 DEFGHK……的扇形面积和为多少？解：第一次以 A 为圆心作弧时，半径为 1，扇形面积为 ＝ Л3601924以 B 为圆心作弧时，半径为 2，扇形面积为 ＝ Л以 C 为圆心作弧时，半径为 3，扇形面积为 ＝ Л3609249以 D 为圆心作弧时，半径为 4，扇形面积为 ＝ Л1第二次以 A 为圆心作弧时，半径为 5，扇形面积为 ＝ Л ……3605924第四次以 A 为圆心作弧时，半径为 13，扇形面积为 ＝ Л132那么正方形渐开线 DEFGHK……的扇形面积和为S＝ Л＋ Л＋ Л＋ Л＋……＋ Л4149164132＝ (1＋2 2＋3 2＋4 2＋……＋13 2) Л＝ × ×13 ×(13＋1) (2×13＋1) Л6＝ ×819Л＝204.75Л41探索：……第 n 次以 A 为圆心作弧时，正方形渐开线 DEFGHK……的扇形面积？正方形渐开线 DEFGHK……的扇形面积为 S＝ Л＋ Л＋ Л＋ Л＋……＋ Л4149164)3n(2＝ [1＋2 2＋3 2＋4 2＋……＋(4n －3) 2] Л＝ × ×(4n－3)×[(4n－3) ＋1][2×(4n－3)＋1] Л6＝ ×(4n－3)×(2n－1) ×(8n－5) Л12说明：本文中应用到自然数平方和公式：1 2＋2 2＋3 2＋4 2＋……＋n 2＝ n (n＋1) (2n＋1)61可由：n 3－(n－1) 3＝3n 2－3n＋1 公式推导出来，当 n≥1 时，1 3－0 3＝3×1 2－3×1＋12 3－1 3＝3×2 2－3×2＋1，3 3－2 3＝3×3 2－3×3＋1，4 3－3 3＝3×4 2－3×4＋1 …… n 3－(n－1) 3＝3n 2－3n＋15两边分别相加得：n 3＝3 (1＋ 2 2＋3 2＋……＋n 2)－3 (1＋2＋3＋……＋n )＋n＝3 (1＋2 2＋3 2＋……＋n 2 )－3× ＋n)∴1＋2 2＋3 2＋……＋n 2＝ ( n 3－n )＋ ＝ n (n＋1) (2n ＋1)(6探索魅力无穷的螺旋渐开线问题蕴含着较多的数学思想方法，以上从圆心、半径、弧长、面积等方面加以猜想探索论述，希望能给同学们在学习中有所帮助和启发。