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实变函数试题库及参考答案实变函数试题库及参考答案本科本科一、题1．设A,B为集合，则A\ BBAB（用描述集合间关系的符号填写）（用描述集合间关系的符号填写）2．设A是B的子集，则AB（用描述集合间关系的符号填写）（用描述集合间关系的符号填写）3．如果E中聚点都属于E，则称E是闭集4．有限个开集的交是开集5．设E1、E2是可测集，则mE16．设E n*E2mE1mE2（用描述集合间关系的符号填写）（用描述集合间关系的符号填写）是可数集，则m E=017．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a8．可测函数列的上极限也是可测函数，Ex fx a是可测集，则称fx在E上可测9．设fnx fx，gnx gx，则fnx gnx fx gx10．设fx在E上L可积，则fx在E上可积11．设A,B为集合，则B\ A12．设A 2k 1 k 1,2,13．设E nAA（用描述集合间关系的符号填写）（用描述集合间关系的符号填写），则A=a（其中a表示自然数集N的基数），如果E中没有不属于E，则称E是闭集14．任意个开集的并是开集15．设E1、E2是可测集，且E1 E2，则mE1mE216．设E中只有孤立点，则m E=017．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a18．可测函数列的下极限也是可测函数19．设fnx fx，gnx gx，则fnxgnx fxgx20．设nx是E上的单调增收敛于fx的非负简单函数列，则21．设A,B为集合，则A\ B1*，Ex fx a是可测，则称fx在E上可测fxdx lim xdxEnEnBB22．设A为有理数集，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）23．设E n，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集24．有限个闭集的交是闭集25．设E 26．设E是n，则m E0中的区间，则m E=E的体积**n27．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a28．可测函数列的极限也是可测函数1，Ex fx a是可测集，则称fx在E上可测29．设fnx fx，gnx gxa.e.，则fnxgx30．设fnx是E上的非负可测函数列，且单调增收敛于fx，由勒维定理，有fxdx limEnEfnxdx31．设A,B为集合，则B\ ABA=AB32．设A为无理数集，则A=c（其中c表示自然数集0,1的基数）33．设E n，如果E中没有不是内点的点，则称E是开集34．任意个闭集的交是闭集35．设E n，称E是可测集，如果T n，m*T  m*T*Em*TEc36．设E是外测度为零的集合，且F  E，则m F=037．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果a可测38．可测函数列的上确界也是可测函数39．设fnx fx，gnx gxa.e.，则fnxgnx fxgx40．设fnx fx，那么由黎斯定理，fnx有子列fnkx，使fnkx fxa.e.于E41.设A,B为两个集合,则A B__ An1，E（a  b）则称fx在E上x a  fxb是可测，Bc.（等于）42.设E  R,如果E满足E E(其中E表示E的导集),则E是闭.43.若开区间(,)为直线上开集G的一个构成区间,则(,)满(i)(a,b) G(ii)aG,bG44.设A为无限集.则A的基数A__a(其中a表示自然数集N的基数)答案：45.设E1,E2为可测集,mE2 ,则m(E1\ E2)__mE1mE2.答案：46.设f (x)是定义在可测集E上的实函数,若对任意实数a,都有E[x47.设x0是E( R)的内点,则m E __0.答案48.设fn(x)为可测集E上的可测函数列 ,且fn(x)  f (x),xE,则由____黎斯__定理可知得,存在fn(x)的子列*f (x)  a]是可测集E上的可测函数.fnk(x),使得fnk(x) f (x)na.e(xE).49.设f (x)为可测集E( R)上的可测函数,则f (x)在E上的L积分值不一定存在且| f (x)|在E上不一定L可积.50.若f (x)是[a,b]上的绝对连续函数,则f (x)是[a,b]上的有界变差函数.51．设A,B为集合，则AB___(B \ A)A答案=52．设E  Rn，如果E满足E0 E（其中E0表示E的内部） ，则E是开集53．设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b)  G且aG,bG，则(a,b)必为G的构成区间54．设A {x| x  2n,n为自然数}，则A的基数=a(其中a表示自然数集N的基数)55．设A,B为可测集，B  A且mB  ，则mAmB__m(A\ B)答案 =56．设f (x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a  b)，都有E[xa  f (x) b]是可测集57．若E( R)是可数集，则mE __0答案=58．设fn(x)为可测集E上的可测函数列，f (x)为E上的可测函数，如果fn(x)a.ef (x)fn(x)  f (x)xE不一定成立59． 设f (x)为可测集E( Rn)上的非负可测函数，则f (x)在E上的L积分值一定存在60．若f (x)是[a,b]上的有界变差函数，则f (x)必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设E 0,1中无理数，则（ ACD ）A E是不可数集BE是闭集CE中没有内点DmE 12．设E n是无限集，则（ AB ）A E可以和自身的某个真子集对等BE  a（a为自然数集的基数）CE  Dm*E  03．设fx是E上的可测函数，则（ABD）A函数fx在E上可测Bfx在E的可测子集上可测Cfx是有界的Dfx是简单函数的极限4．设fx是a,b上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC ）Afx在a,b上可测Bfx在a,b上L可积(xE)，则Cfx在a,b上几乎处处连续Dfx在a,b上几乎处处等于某个连续函数5．设E n，如果E至少有一个内点，则（ BD ）Am*E可以等于0Bm*E  0CE可能是可数集DE不可能是可数集6．设E n是无限集，则（ AB ）A E含有可数子集BE不一定有聚点CE含有内点DE是无界的7．设fx是E上的可测函数，则（ BD ）A函数fx在E上可测Bfx是非负简单函数列的极限Cfx是有界的Dfx在E的可测子集上可测8．设fx是a,b上的连续函数，则（ ABD ）Afx在a,b上可测Bfx在a,b上L可积，且Rfxdx Lababa,ba,bfxdxfxdxCfx在a,b上L可积，但Rfxdx LDfx在a,b上有界9．设Dx是狄利克莱函数，即Dx1x为0,1中有理数，则（ BCD ）0x为0,1中无理数ADx几乎处处等于1BDx几乎处处等于0CDx是非负可测函数DDx是L可积函数10．设E n，m E  0，则（ ABD ）*A E是可测集BE的任何子集是可测集CE是可数集DE不一定是可数集11．设E n，Ex1xE，则（ AB ）c0xEA当E是可测集时，Ex是可测函数B当Ex是可测函数时，E是可测集C当E是不可测集时，Ex可以是可测函数D当Ex是不是可测函数时，E不一定是可测集12．设fx是a,b上的连续函数，则（BD）Afx在a,b上有界Bfx在a,b上可测Cfx在a,b上L可积Dfx在a,b上不一定L可积13．设fx在可测集E上L可积，则（AC）Afx，fx都是E上的非负可积函数Bfx和fx有一个在E上的非负可积Cfx在E上L可积Dfx在E上不一定L可积14．设E n是可测集，则（ AD ）AEc是可测集BmE  CE的子集是可测集DE的可数子集是可测集15．设fnx fx，则（ CD ）Afnx几乎处处收敛于fxBfnx一致收敛于fxCfnx有子列fnx，使fnx fxa.e.于EDfnx可能几乎处处收敛于fx16．设fx是a,b上有界函数，且L可积，则（BD）Afx在a,b上黎曼可积Bfx在a,b上可测Cfx在a,b上几乎处处连续Dfx在a,b上不一定连续17.设E {[0,1]中的无理点},则(CD)（A）E是可数集（B）E是闭集（C）E中的每个点均是聚点（D）mE  018.若E( R)至少有一个内点，则（BD）（A）m E可以等于０（B）m E  0（C）E可能是可数集（D）E不可能是可数集19．设E [a,b]是可测集，则E的特征函数E(x)是（ABC）（A）[a,b]上的符号函数（C）E上的连续函数（B）[a,b]上的可测函数（D）[a,b]上的连续函数20． 设f (x)是[a,b]上的单调函数，则（ACD）（A）f (x)是[a,b]上的有界变差函数（B）f (x)是[a,b]上的绝对连续函数（C）f (x)在[a,b]上几乎处处收敛（D）f (x)在[a,b]上几乎处处可导21．设E {[0,1]中的有理点}，则（AC）（A）E是可数集（B）E是闭集（C）mE  0（D）E中的每一点均为E的内点22．若E( R)的外测度为 0，则（AB）（A）E是可测集（B）mE  0（C）E一定是可数集（D）E一定不是可数集23．设mE  ，fn(x)为E上几乎处处有限的可测函数列，f (x)为E上几乎处处有限的可测函数，如果**fn(x)  f (x),(xE)，则下列哪些结果不一定成立（ ABCD）（A）Ef (x)dx存在（B）f (x)在E上L-可积a.e（C）fn(x) f (x)(xE)（D）limfn(x)dx f (x)dxnEE24．若可测集E上的可测函数f (x)在E上有L积分值，则（AD）（A）f (x)L(E)与f (x)L(E)至少有一个成立（B）f (x)L(E)且f (x)L(E)（C）| f (x)|在E上也有L-积分值（D）| f (x)|L(E)三、单项选择1．下列集合关系成立的是（ A ）AB\ AABA\ BAA BCA\ BB  ADB\ A2．若E  R是开集，则（ B ）nAE EBE0 ECE  ED E E4．设fnx是E上一列非负可测函数，则（ B）Alimfnxdx  limfnxdxE nnEBElimfnxdx  limEfnxdxnnClimfnxdx  limfnxdxE nnEDlimEfnxdx Elimfnxnn5．下列集合关系成立的是（ A ）ccBAAAAAcDAAAAC6．若E  R是闭集，则（ C ）ncccccAE  EBE  ECE EDE0 E7．设E为无理数集，则（ C ）A E为闭集B E是不可测集C mE  DmE  09．下列集合关系成立的是（B ）ccBAAAAAccAADAAC10．设E  R，则( A )ncccccAE  EBE ECE  EDE  E11．设P为康托集，则（ B ）A P是可数集BmP  0CP是不可数集DP是开集13．下列集合关系成立的是（ A）A若A B则Bc AcB若A B则Ac BcC若A B则AB  BD若A B则AB  B14．设E  R，则（ A ）nAE  EBE0 ECE ED E  E15．设E  x,00  x 1，则（ B ）AmE 1BmE  0CE是R2中闭集DE是R2中完备集16．设fx，gx是E上的可测函数，则（ B ）AEx fx gx不一定是可测集BEx fx gx是可测集CEx fx gx是不可测集DEx fx gx不一定是可测集１7．下列集合关系成立的是（A）（A）(A\ B)B  AB（B）(A\ B)B  A（C）(B \ A)A A（D）B\ A A18.若E Rn是开集，则（ B）（A）E的导集 E（B）E的开核 E（C）E  E（D）E的导集 E19.设P的康托集，则(C)（A）P为可数集（B）P为开集（C）mP  0（D）mP 120、设E是R1中的可测集，(x)是E上的简单函数，则（ D ）（A）(x)是E上的连续函数（B）(x)是E上的单调函数（C）(x)在E上一定不L可积（D）(x)是E上的可测函数21．下列集合关系成立的是（ A）（A）A(BC)  (AB)(AC)（B）(A\ B)A  （C）(B \ A)A  （D）AB  AB22. 若E Rn是闭集，则 （ B）（A）E0 E（B）E  E（C）E  E（D）E  E23. 设Q的有理数集，则（ C）（A）mQ  0（B）Q为闭集（C）mQ  0（D）Q为不可测集24.设E是R n中的可测集，f (x)为E上的可测函数，若f (x)dx  0，则E（A）在E上，f (x)不一定恒为零（B）在E上，f (x)  0（C）在E上，f (x)  0（D）在E上，f (x)  0四、判断题 A）（1. 可数个闭集的并是闭集.（×）2. 可数个可测集的并是可测集.（√）3. 相等的集合是对等的.（√）4. 称fx,gx在E上几乎处处相等是指使fx gx的x全体是可测集.（ √）5. 可数个F集的交是F集.（×）6. 可数个可测函数的和使可测函数.（√）7. 对等的集合是相等的.(× )8. 称fx,gx在E上几乎处处相等是指使fx gx的x全体是零测集.（×）9. 可数个G集的并是G集.（√）10. 零测集上的函数是可测函数.（ √）11. 对等的集合不一定相等.（√）12. 称fx,gx在E上几乎处处相等是指使fx gx的x全体是零测集.（√）13. 可数个开集的交是开集（ ×）14. 可测函数不一定是连续函数.（ √）15. 对等的集合有相同的基数.（ √）16. 称fx,gx在E上几乎处处相等是指使fx gx的x全体的测度大于0（×）17. 可列个闭集的并集仍为闭集（ ×）18. 任何无限集均含有一个可列子集（ √）19. 设E为可测集，则一定存在G集G，使E  G，且mG\ E0.（ √）20. 设E为零测集，fx为E上的实函数，则fx不一定是E上的可测函数（ ×）21. 设fx为可测集E上的非负可测函数，则fxLE（ ×）22. 可列个开集的交集仍为开集（×）23. 任何无限集均是可列集（ ×）24. 设E为可测集，则一定存在F集F，使F  E，且mE \ F0.（ √）25. 设E为零测集，则fx为E上的可测函数的充要条件是：实数a都有E x（ √）26. 设fx为可测集E上的可测函数，则f (x)  a是可测集fxdx一定存在.（× ）E五、简答题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A，A的幂集2的基数大于A的基数.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限A4.a,b上单调函数与有界变差函数有什么关系？答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.5. 简述集合对等的基本性质.答：AA；若AB，则BA；若AB，且BC，则AC.6. 简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系.答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成.7. 可测集与开集、G集有什么关系？答： 设E是可测集， 则 0，开集G， 使G  E， 使mG\ E， 或G集G， 使G  E， 且mG\ E0.8.a,b上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数 .9. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.答：若A1B B，又BA A，则AB10. 简述R中开集的结构.答: 设G为R中开集，则G可表示成R中至多可数个互不相交的开区间的并.11. 可测集与闭集、11F集有什么关系？mE \ FFF  EmE \ F0答：设E是可测集，则 0，闭集F  E，使或集，使.12. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.13. 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数 .14. 简述R中开集的结构.答：R中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并15. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？答：设fnx, fx是可测集E上的一列可测函数，那当mE  时，fnx fx,a.e于E，必有fnx fx.反之不成立，但不论mE  还是mE  ，fnx存在子列fnkx，使fnkx fx,a.e于E.当mE  时，fnx fx,a.e于E，由Egoroff定理可得fnx近一致收敛于fx，反之，无需条件nnmE  ，结论也成立.16. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.17. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？答：不一定，如11 1,11,1n1nn18. 可测集E上的可测函数与简单函数有什么关系？答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式 .19.a,b上的有界变差函数与单调函数有什么关系？答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差 .20. 简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定如111,11,1n1nn21. 可测集E上的可测函数与连续函数有什么关系？答：E上连续函数必为可测函数但E上的可测函数不一定时连续函数，E上可测函数在E上是“基本上”连续的函数22.a,b上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数六、计算题x21. 设fx3xxEx0,1\ E，其中E为0,1中有理数集，求0,1fxdx.x3dx，0,1解：因为mE  0，所以fx x3,a.e于0,1，于是0,13fxdx 而x在0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，x411x dx Rx dx |00440,1313因此0,1fxdx 1.4xr1,r2,rn1，求limfnxdx.n0x 0,1 \ r,r ,r12n0,12. 设rn为0,1中全体有理数，fnx解：显然fnx在0,1上可测，另外由fnx定义知，fnx 0,a.e于0,1n1所以0,1fxdx 0dx  0n0,1因此limn0,1fxdx  0.n3. 设fxxPsin x，P为康托集，求fxdx.2xx 0,1 \ P0,12解：因为mP  0，所以fx x ,a.e于0,1于是0,12fxdx 0,1x2dx而x在0,1上连续，所以x311x dx Rx dx |00330,1212因此0,11fxdx .3nxsinnx,x0,1，求limfnxdx.4. 设fnxn1n2x20,1解：因为fnx在0,1上连续，所以可测n 1,2,又fnx而limnxsinnxnxnx1,x0,1,n 1,2,1n2x21n2x22nx2nx 0，所以lim fnx 0.nn1n2x2因此由有界控制收敛定理limn0,1fxdx lim fxdx 0dx  0n0,1nn0,1 x35. 设fxcosxxEx0,\ E2，E为0,中有理数集，求fxdx.20,2解：因为mE  0，所以fx cosx,a.e于0,1于是0,2fxdx cosxdx0,2而cos x在0,上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式22cosxdx sin x|01200,1cosxdx R0,2因此fxdx 1nxcosnx,x0,1，求limfnxdx.n1n2x20,16. 设fnx解：因为fnx在0,1上连续，所以可测n 1,2,又fnx而limnxcosnxnxnx1,x0,1,n 1,2,22221n x1n x2nx2nx 0，所以lim fnx 0.nn1n2x2因此由有界控制收敛定理limn0,1fxdx lim fxdx 0dx  0n0,1nn0,13sin x7. 设fxxxPx0,1\ P，P为康托集，求0,1fxdx.解：因为mP  0，所以fx x,a.e于0,1于是0,1fxdx xdx0,1而x在0,1上连续，所以x211xdx Rx dx |00220,112因此0,1fxdx 1.28. 求limlnxnxecosxdx.nn0,nlnxnxecosxn解：令fnx0,nx显然fnx在0,上可测，且lnxnxecosxdx fnxdxn0,n0,lnxnxlnxn因为fnxecosx ,x0,,n 1,2,nn不难验证gnxlnxn，当n足够大时，是单调递减非负函数，且nlimgnx 0，所以nlimlnxndx  limgnxdx limgnx0dx  0nnnn0,0,0,0,由勒贝格控制收敛定理limn0,fnxdx  0故limlnxnxecosxdx  0.nn0,n11x为0，上的有理点10x为0，上的无理点，求9. 设Dx10，Dxdx.证明记E1是0,1中有理数集，E2是0,1中无理数集，则0,1 E1所以0,1E2,E1E2，mE1 0,mE21，且Dx1E10E2，12Dxdx 1mE 0mE 0.10 求limn0lnxnxecosxdx.n证明易知limlnxnxecosx  0nn对任意x  0,n 1，lnxnxlnxnecosx nnylnx ylnx yx y设f (y) ，y  0，则f (y) ，yy2当y  3时，y1 lnx y，f (y)  0.x y则f (n) lnxn是单调减函数且非负（n3） ；n又limlnxn1 lim 0，由Levi单调收敛定理得nnnxnlnxnlnxnlnxndx limdx 0dx  0，即L(E)，0n0nnnlimn0再由Lebsgue控制收敛定理得lnxnxlnxnxecosxdx limecosxdx 0dx  00n0nnlimn02x11. 设fx3xxPx0,1 P，其中P为康托集，求10，fxdx.解：因为P为康托集，故mP  0，m0,1\ P 1所以fx x30,1P x2P所以0,1fxdx  x mP x m0,1P x23312. 求fnxnx,E 0,1，求limfnxdx.n1n2x2Enx 0x0,1n1n2x2nx1令fnx，,g x  2221n xx解：易知：lim21nx1n2x2nx31nxn x 0则gx fnx2nxnxx1n2x222xx22221n x1n x所以0  fnx gxx0,1,n 1又因为gx在0,1上Lebesgue可积，所以由控制收敛定理，得lim七、证明题1．证明集合等式：(A\ B)证明nxdx 0dx  0n1n2x2EEB  AB(A\ B)B  (ABc)B  (ABc)(AB)B  A(BBc)B  AB2．设E是[0,1]中的无理数集，则E是可测集，且mE 1证明设F是[0,1]中的有理数集，则F是可数集，从而m F  0，因此F是可测集，从而F可测，又*cE [0,1]\ F [0,1]Fc，故E是可测集.由于EF ，所以1 m[0,1] m(EF)  mE mF  0mF，故mF 13．设f (x),g(x)是E上的可测函数，则E[x| f (x)  g(x)]是可测集证明设{rn}为全体有理数所成之集，则E[x| f (x)  g(x)]n1E[x| f (x)  rn g(x)]n1E[x| f (x)  rn]E[x| g(x)  rn]，于是由可测因为f (x),g(x)是E上的可测函数，所以E[x| f (x)  rn]，E[x| g(x)  rn]是可测集，n 1,2,集性质知E[x| f (x)  g(x)]是可测集4．设f (x)是E上的可测函数，则对任何常数a  0，有mE[x | f (x)| a]1| f (x)|dxEa证明因为f (x)在E上可测，所以| f (x)|在E上非负可测，由非负可测函数积分性质，而E[x| f (x)|a]adx E[x| f (x)|a]| f (x)|dx | f (x)|dxEE[x| f (x)|a]adx  amE[x | f (x)| a]，所以mE[x | f (x)| a]1| f (x)|dxaEn5．设f (x)是E上的L可积函数，{En}是E的一列可测子集，且limmEn 0，则limf (x)dx  0nEn证明因为limmEn 0，所以 0,N 1，当n  N时，mEn，又f (x)在E上L可积，所以由积分的绝n对连续性， 0, 0,当e  E,me 时|于是当n  N时，mEn，因此|6．证明集合等式：A\(A\ B)  A证明A\(A\ B)  Aef (x)dx|nEnEnf (x)dx|，即limf (x)dx  0B(Bc)c)  A(AcB)(ABc)c A(Ac (AAc)(AB)  ABA2)  0A2)  m[0,1]17．设A1, A2是[0,1]的可测子集，且mA1mA21，则m(A1证明因为A1[0,1],A2[0,1]，所以A1另一方面，A1A2[0,1]，于是m(A1A2，所以A2[A1\(A1A2)]m(A1m(A1A2)  m[A1\(A1A2)]A2 m[A1\(A1A2)  0nA2)]mA2 mA1m(A1A2)mA2于是A2)  mA1mA2m(A18．设f (x)是定义在可测集E  R上的实函数，En为E的可测子集（n 1,2,可测的充要条件是f (x)在每个En上可测证明对任何实数a，因为） ，且E n1En，则f (x)在E上E[x| f (x)  a]n1En[x| f (x)  a]n1(EnE[x | f (x)  a])，f (x)在每个En上可测所以f (x)在E上可测的充要条件是对每个n 1,2,9．设f (x)是E上的可测函数，则对任何常数a  0，有mE[x| f (x)  a] e证 明因 为f (x)在E上 可 测 ， 所 以ef (x)aEef (x)dx是 非 负 可 测 函 数 ， 于 是 由 非 负 可 测 函 数 积 分 性 质 ，E[x| f (x)a]eadx E[x| f (x)a]ef (x)dx ef (x)dxE而E[x| f (x)a]eadx  eamE[x| f (x)  a]，a所以mE[x| f (x)  a] eEef (x)dxn10．设f (x)是E上的可积函数，{En}为E的一列可测子集，mE  ，如果limmEn mE则limnEnf (x)dx f (x)dxE证明因f (x)在E上L可积，由积分的绝对连续性知，对任意 0，存在 0，对任何A E，当mA时有|Af (x)dx|， 由 于limmEn mE  ， 故 对 上 述 的 0， 存 在k0， 当n  k0时En E， 且 有nmE mEn m(E  En) ，于是|Ef (x)dxf (x)dx||EnEEnf (x)dx|，即limnEnf (x)dx f (x)dxE11．证明集合等式：(A证明(AB)\C  (A\C)(B\C)B)\C  (AB)Cc (ACc)(BCc)  (A\C)(B \C)n12．设E  R是零测集，则E的任何子集F是可测集，且mF  0证明设F  E，m E  0，由外测度的单调性和非负性，0  m F  mE  0，所以m F  0，于是由卡氏条件易知F是可测集13 ． 设fn(x),gn(x), f (x),g(x)是E上 几 乎 处 处 有 限 的 可 测 函 数 ， 且fn(x)  f (x)，gn(x)  g(x)， 则***fn(x) gn(x)  f (x) g(x).证明对任何正数 0，由于|( fn(x) gn(x))( f (x) g(x))|| fn(x) f (x)| | gn(x) g(x)|所以E[x |( fn(x) gn(x))( f (x) g(x))|] E[x | fn(x) f (x)|2]E[x | gn(x) g(x)|2]于是mE[x |( fn(x) gn(x))( f (x) g(x))|] mE[x | fn(x) f (x)|2]mE[x | gn(x) g(x)|2] 0(n  )故fn(x) gn(x)  f (x) g(x)14．设f (x),g(x)是E上L可积函数，则f2(x) g2(x)在E上也是L可积的证明因f (x),g(x)是E上L可积，所以| f (x)|,| g(x)|在E上L可积，从而| f (x)|| g(x)|L可积，又故f2(x) g2(x) (| f (x)|| g(x)|)2| f (x)|| g(x)|f2(x) g2(x)在E上L可积15．设f (x)是可测集E上的非负可测函数，如果Ef (x)dx  0，则f (x)  0a.e于E证明反证，令A  E[x| f (x)  0]，则由f (x)的可测性知，A是可测集.下证mA 0，若不然，则mA 0由于A  E[x| f (x)  0]1E[x| f (x) ]，所以存在N 1，使nn1mE[x| f (x) 于是1] d  0N1E[x| f (x)]NEf (x)dx 1E[x| f (x)]Nf (x)dx 111ddx mE[x| f (x) ] 0NNNN因此Ef (x)dx  0，矛盾，故f (x)  0C)  (A\ B)(A\C)a.e于E16．证明等式：A\(B证明A\(BC)  A(BC)c A(Bc*Cc)  (ABc)(ACc)  (A\ B)(A\C)n17．设E  R是有界集，则m E  .证明因为E是有界集，所以存在开区间I，使E  I***由 外 测 度 的 单 调 性 ，m E  m I， 而m I | I | （ 其 中| I |表 示 区 间I的 体 积 ） ， 所 以m*E  18．R1上的实值连续函数f (x)是可测函数证明因为f (x)连续，所以对任何实数a，{x| f (x)  a}是开集，而开集为可测集，因此f (x)是可测函数19．设mE  ，函数f (x)在E上有界可测，则f (x)在E上L可积，从而[a,b]上的连续函数是L可积的证明因为f (x)在E上有界可测，所以存在M  0，使| f (x)| M，xE，| f (x)|是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，| f (x)|dx EEMdx  M mE  故| f (x)|在E上L可积，从而f (x)在E上L可积因为[a,b]上的连续函数是有界可测函数，所以L可积的20．设fn(x)（n 1,2,）是E上的L可积函数，如果limnEn| fn(x)|dx  0，则fn(x)  0证明对任何常数 0，mE[x | fn(x)|]所以mE[x | fn(x)|]因此fn(x)  021. 证明集合等式 ：A证明A22. 设E0E[x| fn(x)|]| fn(x)|dx11E[x| fn(x)|]| fn(x)|dx| fEn(x)|dx  0(n  )B\C A\C B\C.B\C ABCcACc B，CcA\C B \C0,1中的有理点，则E0为可测集且mE0 0.证明因为E0为可数集，记为E0r1,r2,rn, 0，取Inrnn1,rnn1n 1,2,22显然E0n1In，所以E0n1In0  m E0Inn1nn12，让0，得m E0 0.T Rn，由于T T所以m T  mTE0TE0cE0mTE0c.又TE0c T,mE0 0，所以mT  mTE0c mTE0mTE0c.故mT  mTE0mTE0c故E0为可测集，且mE0 023. 证明：R1上的实值连续函数fx必为R1上的可测函数证明a,bR，不妨假设a  b，因为fx是R1上的连续函数，故fx是a,b上的连续函数，记F a,b，1由fx在F上连续，则M,mm  M，使m fx M，则显然易证，R1,Ff 是闭集，即fx为a,b上的可测函数，由a,b的任意性可知，fx是R1上的可测函数.24. 设fxLE，En为E的一列可测子集，mE  ，如果limmEn mE，则limnnEnfxdx fxdx.E证明因f (x)在E上L可积，由积分的绝对连续性知，对任意 0，存在 0，对任何A E，当mA时有|f (x)dx|， 由 于limmEn mE ， 故 对 上 述 的 0， 存 在k0， 当n  k0时En E， 且 有AnmE  mEn m(E  En) ，于是|f (x)dxf (x)dx||EEnnEnE\Enf (x)dx|，即limf (x)dx f (x)dxE25. 证明集合等式 ：A\B证明CA\ B A\C.A\BC AABcBCcC AcBcCc A1A\ B A\CE26. 设E  R，且m E  0，则E为可测集.证明T R，由于T RnT TnTEc所以m T  mTEmTEc.又TEcT,mE  0，所以mT  mTEc mTEmTEc.故m T  mT所以E为可测集EmTEc27. 证明：R上的单调函数fx必为可测函数.11证明a,bR，不妨假设a  b，因为fx是R上的单调函数，不妨设fx为单调增函数，故fx是a,b上1的单调增函数，即x1,x2E,x1 x2, fx1 fx2，则R，有1） 当sup fx时，ExxE1f (x) ;f (x)  E;R1，使2） 当inf fx时，ExxExExE3） 当inf fx sup fx时，必有x0Efx00, fx0或fx00, fx00.由fx的单调增知，Ex在所有情况下，Exf (x)  Ex0,或Ex0,.f (x) 都可测.即fx是a,b上的可测函数.由由a,b的任意性可知，fx是R上的可测函数.128. 设fx为可测集E  R上的可测函数，则fxLE的充要条件fxLE.n证明必要性若fxLE，因为fx fx fx，且fxLE所以故Efxdx,fxdx中至少有一个是有限值，EEEfxdx fxdxfxdxE即fxLE充分性若fxLE因为fx f所以故x fx，且fxLEEEfxdx,fxdx中至少有一个是有限值，EEEfxdx fxdxfxdx，即fxLE.。