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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟201一、选择题问题:1. 设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=______A.0B.a2C.-a2D.na2答案:A[解析] 按这一列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有n个为a，n个为-a，从而行列式的值为零，故选A问题:2. 四阶行列式 的值等于______ A.a1a2a3a4-b1b2b3b4B.a1a2a3a4+b1b2b3b4C.(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D.(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)答案:D[解析] 方法一：将此行列式按第一行展开， 故选D 方法二：交换该行列式的第二行与第四行，再将第二列与第四列交换，即 由拉普拉斯展开定理可知，原式=(a1a4-b1b4)(a2a3-b2b3)，故选D 问题:3. 设且|A|=m，则|B|=______A.mB.-8mC.2mD.-2m答案:D[解析] 故选D 本题也可用如下方法解答：将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式|B|，由行列式的性质知|B|=-2|A|=-2m，故选D。

问题:4. α1，α2，α3，β1，β2均为四维列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且|A|=1，|B|=2，则|A+B|=______A.9B.6C.3D.1答案:B[解析] 方法一：由矩阵加法公式，得A+B=(α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2)，结合行列式的性质有 |A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =|2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2|α1+α2+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2|α1+α2+α3，-α3，-α1，β1+β2| =2|α2，-α3，-α1，β1+β2| =2|α1，α2，α3，β1+β2| =2(|A|+|B|)=6 故选B 方法二： 故选B 问题:5. 设矩阵矩阵B满足AB+B+A+2E=O，则|B+E|=______ A．-6 B．6 C． D． 答案:C[解析] 化简矩阵方程，构造B+E，用因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=-E，即(A+E)(B+E)=-E， 两边取行列式，由行列式乘法公式得 |A+E|·|B+E|=1， 又故故选C。

求矩阵多项式的行列式，需要通过对已知矩阵方程变形，化为带有所求形式的乘积形式，两边同时取行列式即可 二、填空题问题:1. 设三阶行列式D3的第二行元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=______答案:-4[解析] 根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×(-3)+(-2)×2+3×1=-4问题:2. 已知三阶行列式则=______答案:[解析] 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即 问题:3. 答案:-2(x3+y3)[解析] 将后两列加到第一列上 问题:4. 答案:λ4+λ3+2λ2+3λ+4[解析] 令将行列式按第一列展开可得D4=λD3+4，所以 D4=λ(λD2+3)+4=λ2(λD1+2)+3λ+4 =λ4+λ3+2λ2+3λ+4 问题:5. 答案:120[解析] 将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即 问题:6. 在xOy平面上，平面曲线方程则平面曲线与x轴的交点坐标是______。

答案:(2，0)，(3，0)[解析] 曲线与x轴(即y=0)的交点为方程组的解，行列式为范德蒙德行列式，即有解得x=2或3，故曲线与x轴的交点坐标为(2，0)，(3，0)问题:7. 设A=(α1，α2，α3)是三阶矩阵，且|A|=4若B=(α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3)，则|B|=______答案:20[解析] 方法一：利用行列式的性质 |B=|α1-3α2+2α3，α2-2α3，5α3|=5|α1-3α2+2α3，α2-2α3，α3| =5|α1-3α2，α2，α3|=5|α1，α2，α3|=5|A|=20 方法二： 所以 问题:8. 设矩阵E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=______答案:2[解析] 由题设，有B(A-E)=2E，于是有|B||A-E|=4，而所以|B|=2 如果题目中给出了矩阵方程，要求某矩阵的行列式，一般的思路是先从方程中将要计算行列式的矩阵作为公因子提出，再在等式两边同时取行列式 问题:9. 设A为奇数阶矩阵，且AAT=ATA=E若|A|＞0，则|A-E|=______答案:0[解析] |A-E|=|A-AAT|=|A(E-AT)|=|A|·|E-AT|=|A|·|E-A|。

由AAT=ATA=E，可知|A|2=1，因为|A|＞0，所以|A|=1，即|A-E|=|E-A| 又A为奇数阶矩阵，所以|E-A|=|-(A-E)|=-|A-E|=-|E-A|，故|A-E|=0 问题:10. 设A，B是三阶矩阵，满足AB=A-B，其中则|A+E|=______答案:[解析] 由题设，AB=A-B，则(A+E)(E-B)=E，因此 问题:11. 已知A为三阶方阵，A2-A-2E=O，且0＜|A|＜5，则|A+2E|=______答案:4[解析] 设A的特征值λi对应的特征向量是xi(xi≠0，i=1，2，3)，则Axi=λxi 由A2-A-2E=O可知，特征向量xi满足(A2-A-2E)xi=0，从而有λi2-λi-2=0，解得λi=-1或λi=2再根据|A|=λ1λ2λ3及0＜|A|＜5可得，λ1=λ2=-1，λ3=2 由Axi=λxi可得(A+2E)xi=(λi+2)xi，即A+2E的特征值μi(i=1，2，3)满足μi=λi+2，所以μ1=μ2=1，μ3=4，故|A+2E|=1×1×4=4 问题:12. 设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。

已知λ1=1，λ2=-1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=______答案:18[解析] 由|2E+A|=0，可得|-2E-A|=0，即λ=-2是A的一个特征值 因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=-1也是A的特征值，所以A，B的特征值均为λ1=1，λ2=-1，λ3=-2，则E+2B的三个特征值分别为3，-1，-3从而可得|A|=λ1λ2λ3=2，|E+2B|=3×(-1)×(-3)=9，故 |A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=18 三、解答题问题:1. 设n阶矩阵 证明：行列式|A|=(n+1)an 答案:解：方法一：数学归纳法 记 以下用数学归纳法证明Dn=(n+1)an 当n=1时，D1=2a，结论成立 当n=2时，结论成立 假设结论对小于n的情况成立，将Dn按第一行展开，则有 故|A|=(n+1)an 方法二：消元法 问题:2. 证明： 答案:解：本题可利用递推法证明 记则 显然D1=an，根据上面的结论有 左边=xDn+a0=x(xDn-1+a1)+a0=x2Dn-1+xa1+a0=… =xnD1+an-1xn-1+…+a1x+a0=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=右边， 所以，命题成立。

问题:3. 计算n阶行列式 答案:解：令 则将该行列式按第一行展开得 再将上式中后面的n-1阶行列式按照第一列展开得Dn=(α+β)Dn-1-αβDn-2，则 Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)=β2(Dn-2-αDn-3)=…=βn-2(D2-αD1) =βn-2[α2+αβ+β2)-α(α+β)]=βn， 即Dn-αDn-1=βn， (1) 类似地，有Dn-βDn-1=αn， (2) (1)×β-(2)×α可得(β-α)Dn=βn+1-αn+1，所以 (其中上式还可以进一步化简为)问题:4. 计算行列式 答案:解：利用行列式的性质，得 同理可得所以 依次递推可得 问题:5. 计算其中未写出的元素都是0答案:解：该行列式只有两条对角线上元素不为0，可以按其中一行展开，找出递推关系式 按第一行展开，得 将以上两个行列式分别按最后一行展开，得 由此得递推公式D2n=(andn-bncn)D2n-2。

按递推公式逐层代入得 而 因此原行列式。