高中数学 第1章 直线、多边形、圆 1.2.4 切割线定理学案 北师大版选修4-1.doc

1 -2.42.4 切割线定理切割线定理1.掌握切割线定理及其推论.2.会用切割线定理及推论解决问题.[基础·初探]教材整理 1 切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项.(2)图形表示如图 1­2­76，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.图 1­2­761.PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于B，PB＝4，PO＝8.5，则PA＝________.【解析】 ∵PB＝4，PO＝8.5，∴OB＝4.5.由切割线定理知，PA2＝4×13＝52，∴PA＝2.13【答案】 213教材整理 2 切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积.(2)图形表示如图 1­2­77，PAB与PCD是⊙O的两条割线，则有PA·PB＝PC·PD.- 2 -图 1­2­772.PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC长为( )A.4B.6C.24D.26【解析】 由题意知PA·PB＝PC·PD，设PC＝x，则PD＝2x，∴2x·x＝4×12，∴x＝2，即PC＝2.66【答案】 D教材整理 3 切割线定理的逆定理(1)文字叙述给定⊙O外一点P，若割线PAB交⊙O于A，B两点，点T在⊙O上，且PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线.(2)图形表示如图 1­2­78，PAB是⊙O的割线，点T在⊙O上，若PT2＝PA·PB，则PT是⊙O的切线.图 1­2­783.如图 1­2­79 所示，P是⊙O外一点，PMN是⊙O的割线，Q是⊙O上一点，且PQ＝4，PM＝3，PN＝，则PQ与⊙O的位置关系是( )16 3图 1­2­79- 3 -A.相交 B.相切C.相离D.无法确定【解析】 PQ2＝42＝16，PM×PN＝3×＝1616 3∴PQ2＝PM·PN.由切割线定理的逆定理知，PQ是⊙O的切线.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型]切割线定理如图 1­2­80，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.图 1­2­80求证：ED2＝EC·EB.【精彩点拨】 由于EA2＝EC·EB，故只需证ED＝EA.【自主解答】 如题图，∵AE是圆的切线，∴∠ABC＝∠CAE.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，从而∠ABC＋∠BAD＝∠CAE＋∠CAD.∵∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，∠DAE＝∠CAE＋∠CAD，∴∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED.- 4 -∵EA是圆的切线，∴由切割线定理知，EA2＝EC·EB.而EA＝ED，∴ED2＝EC·EB.切割线定理给出线段之间的关系，在计算与证明有关线段关系时，应注意灵活运用.[再练一题]1.如图 1­2­81，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝BC＝3，则AC的长为________. 7【导学号：96990029】图 1­2­81【解析】 由切割线定理知CD2＝BD·AD＝BD·(3＋BD)，即(2)2＝BD2＋3BD，解得7BD＝4 或BD＝－7(舍去).∵∠BDC＝∠ADC，∠DCB＝∠CAD，∴△CAD∽△BCD，∴＝，即＝，CD BDAC BC2 74AC 3解得AC＝.3 72【答案】 3 72切割线定理的推论如图 1­2­82，PAB和PCD为圆的两条割线，交圆于A，B和C，D各点，若PA＝5，AB＝7，CD＝11.求AC∶BD.图 1­2­82【精彩点拨】 线段AC，BD分别在△PAC和△PBD中，可考虑它们的相似关系.【自主解答】 由切割线定理的推论知，- 5 -PA·PB＝PC·PD①即＝，PA PDPC PB又∠P为公共角，∴△PAC∽△PDB.∴＝.②AC BDPA PD又∵PA＝5，AB＝7，CD＝11，∴PB＝12.由①知 5×12＝PC(PC＋11)，∴PC＝4 或PC＝－15(舍去)，∴PD＝PC＋CD＝4＋11＝15.由②得＝＝ ，AC BD5 151 3即AC∶BD＝1∶3.1.本题求解的关键是证明△PAC∽△PDB，而证明的依据是切割线定理的推论.2.切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用.[再练一题]2.如图 1­2­83 所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点.若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________.图 1­2­83【解析】 设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的切割线定理的推论知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝.6【答案】 6- 6 -定理的综合应用如图 1­2­84，P是⊙O的直径CB的延长线上一点，PA和⊙O相切于A，若PA＝15，PB＝5.图 1­2­84(1)求 tan∠ABC的值；(2)弦AD使∠BAD＝∠P，求AD的长.【精彩点拨】 求 tan∠ABC可利用△ABC中边角关系求出；而AD的长，可综合利用切割线定理和图形中的相似三角形，建立边长关系求出.【自主解答】 (1)如图，连接AC，AB，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.又∵PA是⊙O的切线，∴∠BAP＝∠C.又∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴＝＝＝3.AP BPAC AB15 5∴在 Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝3.AC AB(2)由切割线定理，得PA2＝PB·PC，即PA2＝PB(PB＋BC).又PA＝15，PB＝5，∴BC＝40.设AB＝x，则AC＝3x.由勾股定理，AC2＋AB2＝BC2，即x2＋(3x)2＝402，得x＝4，x＝－4(舍去).1010如图，连接BD，在△PAB和△ADB中，∠PAB＝∠D，∠P＝∠BAD，∴△PAB∽△ADB.- 7 -∴＝，AD APAB PB∴AD＝＝＝12.AP·AB PB15 × 4 105101.在本题求解过程中，每一小题都用到了利用三角形相似寻找线段之间的关系.2.综合应用切割线定理及推论，利用三角形之间的关系，是解决直线与圆关系中的基本思路.[再练一题]3.如图 1­2­85，已知AC切⊙O于C点，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于D，与CP的延长线交于点B，若AC＝PC，求证：BD＝2BP.图 1­2­85【证明】 如图，连接OD.设⊙O的半径为R.∵AB切⊙O于D，AC切⊙O于C，∴OD⊥AB，AC⊥BC，∴△BOD∽△BAC，∴＝，OD BDAC BC∴＝，R BD2R BC∴BC＝2BD.∵BPC为割线，∴BD2＝BP·BC＝2BD·BP，∴BD＝2BP.[探究共研型]切割线定理及推论的条件探究 1 应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？【提示】 切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是指两条割线，只有弄清- 8 -前提，才能正确运用定理.探究 2 应用切割线定理应注意什么？【提示】 应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错.(1)如图所示，把PC2＝PA·PB错写成PC2＝PO·PB；(2)如图所示，把关系式PT2＝PB·PA错写成PT2＝PB·BA，把关系式PB·PA＝PD·PC错写成PB·BA＝PD·DC.如图 1­2­86，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.图 1­2­86证明：(1)AD·AE＝AC2；(2)FG∥AC.【精彩点拨】 (1)利用切割线定理；(2)证△ADC∽△ACE.【证明】 (1)∵AB是⊙O的一条切线，ADE是⊙O的割线，∴由切割线定理得AD·AE＝AB2.又AC＝AB，∴AD·AE＝AC2.(2)由(1)得＝，AD ACAC AE又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE.∴∠ADC＝∠ACE.又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE.∴FG∥AC.- 9 -1.割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等.2.切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理.[再练一题]4.(湖北高考)如图 1­2­87，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点.若QC＝1，CD＝3，则PB＝________. 【导学号：96990030】图 1­2­87【解析】 由切割线定理得QA2＝QC·QD＝4，解得QA＝2.则PB＝PA＝2QA＝4.【答案】 4[构建·体系]1.如图 1­2­88，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：图 1­2­88①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )- 10 -A.①②B.②③C.①③D.①②③【解析】 ∵CF＝CE，BF＝BD，∴BC＝CE＋BD.∴AB＋BC＋CA＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝AD＋AE，故结论①正确.连接DF，则∠FDA＝∠DGA.又∵∠A＝∠A，∴△ADF∽△AGD.∴＝.AD AGAF AD∴AD2＝AF·AG.又AE＝AD，∴AD·AE＝AF·AG.故结论②正确，容易判断结论③不正确，故选 A.【答案】 A2.PT切⊙O于点T，割线PAB经过O点交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝( )A. B.4 51 2C.D.3 83 4【解析】 如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2＝PA·PB，即 42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝＝ .PT PO4 5【答案】 A3.如图 1­2­89 所示，已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2，AC是⊙O的直径，PC与⊙O交于点B，PB＝1，则⊙O的半径R＝________.【导学号：96990031】- 11 -图 1­2­89【解析】 由切割线定理知PA2＝PB·PC，即 22＝PC，∴PC＝4，∴AC2＝PC2－PA2＝42－22＝12，∴AC＝2，∴⊙O的半径R＝.33【答案】 34.如图 1­2­90，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于( )图 1­2­90A. B.232C.2D.1【解析】 连接OD，则OD⊥BD，∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴＝，OD ACBD BC设⊙O的半径为a，∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，∴BE＝EC＝2a，BO＝3a，BD＝2a，2BC＝4a，由题知AD，AC均为⊙O的切线，∵AD＝2，∴AC＝2.∴ ＝，即a＝，a 。