同济版高等数学教学案第五章定积分.pdf

1 / 19 第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念2、掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法3、理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿 莱布尼茨公式4、了解广义积分的概念并会计算广义积分教学重点 ：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法3、牛顿 莱布尼茨公式教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法4、 变上限函数的导数 5 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形设函数 y f在区间 a b上非负、连续由直线 x a、x b、y 0 及曲线 y f 所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是 在区间 a b中任意插入若干个分点a x0 x1x2xn 1xnb把a b分成 n 个小区间x0 x1 x1x2 x2x3 xn 1xn它们的长度依次为x1 x1x0 x2 x2x1xn xnxn 1经过每一个分点作平行于y 轴的直线段把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形在每个小区间xi 1xi上任取一点i以 xi 1xi为底、f 为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值即A f x1 f x2 f xnniiixf1)(求曲边梯形的面积的精确值显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值因此 要求曲边梯形面积A 的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度.2 / 19 趋于零 记maxx1x2xn 于是 上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0 所以曲边梯形的面积为niiixfA10)(lim2 变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度 v v是时间间隔 T 1T 2上 t 的连续函数且 v 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T 1T 2分成 n个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度 v 物体在时间间隔ti内运动的距离近似为Si vti把物体在每一小的时间间隔ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1T 2内所经过的路程S的近似值具体做法是在时间间隔 T 1T 2内任意插入若干个分点T 1t0t 1t2tn 1tnT 2把T 1T 2分成 n 个小段t 0t 1 t 1t 2 tn 1t n 各小段时间的长依次为t 1t 1t 0t 2t 2t 1tntntn 1相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为S 1S 2S n在时间间隔 ti 1ti上任取一个时刻i 以i时刻的速度v来代替 ti 1ti上各个时刻的速度 得到部分路程Si的近似值即Si vti于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值即niiitvS1)(求精确值记 maxt 1t 2tn 当0 时 取上述和式的极限即得变速直线运动的路程niiitvS10)(lim设函数 y f在区间 a b上非负、连续求直线 x a、 x b、y 0 及曲线 y f 所围成的曲边梯形的面积用分点 a x0 x1x2xn 1xnb 把区间 a b分成 n 个小区间x0 x1 x1x2 x2x3 xn 1xn 记xixixi 1 任取ixi 1xi 以xi 1xi为底的小曲边梯形的面积可近似为iixf)( 所求曲边梯形面积A 的近似值为.3 / 19 niiixfA1)(记maxx1x2xn 所以曲边梯形面积的精确值为niiixfA10)(lim设物体作直线运动已知速度 v v是时间间隔 T 1T 2上 t 的连续函数且 v 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S用分点 T1t0t1t2tn 1tnT2把时间间隔 T 1T 2分成 n 个小时间段 t0t1 t1t2 tn 1tn 记tititi 1任取iti 1ti 在时间段 ti 1ti内物体所经过的路程可近似为v ti 所求路程S的近似值为niiitvS1)(记maxt1t2tn 所求路程的精确值为niiitvS10)(lim二、定积分定义抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义设函数f在a b上有界 在a b中任意插入若干个分点a x0 x1x2xn 1xnb把区间 a b分成 n 个小区间x0 x1 x1x2 xn 1xn 各小段区间的长依次为x1x1x0 x2x2x1xnxnxn 1在每个小区间xi 1xi上任取一个点i 作函数值f 与小区间长度xi的乘积f xi 并作出和niiixfS1)(记maxx1x2xn 如果不论对 a b怎样分法也不论在小区间xi1xi上点i怎样取法只要当0 时 和 S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I 为函数f 在区间 a b上的定积分记作badxxf)(.4 / 19 即niiibaxfdxxf10)(lim)(其中 f 叫做被积函数f dx 叫做被积表达式x 叫做积分变量a 叫做积分下限b 叫做积分上限 a b叫做积分区间定义设函数f在a b上有界 用分点a x0 x1x2xn 1xnb 把a b分成n 个小区间x0 x1x1x2 xn 1xn 记xixixi 1任ixi 1xi 作和niiixfS1)(记maxx1x2xn 如果当0 时 上述和式的极限存在且极限值与区间a b的分法和i的取法无关则称这个极限为函数f在区间 a b上的定积分记作badxxf)(即niiibaxfdxxf10)(lim)(根据定积分的定义曲边梯形的面积为badxxfA)(变速直线运动的路程为dttvSTT)(21说明定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即bababaduufdttfdxxf)()()(和niiixf1)(通常称为f 的积分和如果函数f 在a b上的定积分存在我们就说f 在区间 a b上可积函数 f在a b上满足什么条件时f 在a b上可积呢？定理 1 设 f 在区间 a b上连续 则 f 在a b上可积定理 2 设 f 在区间 a b上有界 且只有有限个间断点则 f 在a b上可积定积分的几何意义在区间 a b上 当 f 0 时 积分badxxf)(在几何上表示由曲线y f 、两条直线x a、x b 与 x轴所围成的曲边梯形的面积当 f 0 时 由曲线 y f 、两条直线x a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010当 f 既取得正值又取得负值时函数 f的图形某些部分在x 轴的上方 而其它部分在x轴的下.5 / 19 方 如果我们对面积赋以正负号在 x 轴上方的图形面积赋以正号在 x 轴下方的图形面积赋以负号则在一般情形下定积分badxxf)(的几何意义为它是介于x 轴、 函数 f的图形及两条直线x a、x b 之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分例 1. 利用定义计算定积分dxx210解把区间 0 1分成 n 等份 分点为和小区间长度为nixinxi1 取nii 作积分和) 12)(1(61113123nnnninni)12)(11(61nn因为n1当0 时 n所以31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii利定积分的几何意义求积分: 例 2 用定积分的几何意义求10)1 (dxx解: 函数 y 1 x 在区间 0 1上的定积分是以y 1 x 为曲边以区间 0 1为底的曲边梯形的面积因为以 y 1 x 为曲边以区间 0 1为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1 所以211121)1 (10dxx三、定积分的性质两点规定当 a b 时0)(badxxf当 a b 时abbadxxfdxxf)()(性质 1 函数的和 的定积分等于它们的定积分的和 即bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(证明 :badxxgxf)()(niiiixgf10)()(lim.6 / 19 babadxxgdxxf)()(性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面即babadxxfkdxxkf)()(这是因为niiibaxkfdxxkf10)(lim)(baniiidxxfkxfk)()(lim10性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即bccabadxxfdxxfdxxf)()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论ab c 的相对位置如何总有等式成立 例如 当 abc 时 由于cbbacadxxfdxxfdxxf)()()(于是有cbcabadxxfdxxfdxxf)()()(bccadxxfdxxf)()(性质 4 如果在区间 ab上 f 1 则abdxdxbaba1性质 5 如果在区间 a b上 f 0 则badxxf0)(推论 1 如果在区间 a b上 f g 则babadxxgdxxf)()(这是因为g f 0 从而bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(所以babadxxgdxxf)()(推论 2 babadxxfdxxf| )(|)(|这是因为|f | f |f |所以.7 / 19 bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(|即babadxxfdxxf| )(|)(|性质 6 设 M 及 m 分别是函数f在区间 a b上的最大值及最小值则baabMdxxfabm)()()(证明因为m f M 所以bababaMdxdxxfmdx)(从而baabMdxxfabm)()()(性质 7 如果函数f在闭区间 a b上连续 则在积分区间 a b上至少存在一个点使下式成立baabfdxxf)()(这个公式叫做积分中值公式证明由性质6 baabMdxxfabm)()()(各项除以b a 得baMdxxfabm)(1再由连续函数的介值定理在a b上至少存在一点使badxxfabf)(1)(于是两端乘以b a 得中值公式baabfdxxf)()(积分中值公式的几何解释应注意 不论 ab 积分中值公式都成立 5 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在 t 时刻所经过的路程为S 速度为 v v Sv 0 则在时间间隔 T1T2内物体所经过的路程S可表示为)()(12TSTS及dttvTT)(21.8 / 19 即)()()(1221TSTSdttvTT上式表明速度函数v在区间 T1T2上的定积分等于v的原函数S 在区间 T1T2上的增量这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数 f在区间 a b上连续 并且设 x 为a b上的一点我们把函数f在部分区间 a x上的定积分称为积分上限的函数它是区间 a b上的函数记为dxxfxa)(或dttfxa)(定理 1 如果函数f在区间 a b上连续 则函数dxxfxa)(在a b上具有导数并且它的导数为)()(xfdttfdxdxaa x简要证明若x 取x 使 xxdttfdttfxaxxa)()(xfdttfxxx)()(应用积分中值定理有f x其中在 x 与 xx 之间x0 时x 于是)()(lim)(limlim00 xfffxxxx若 x a 取x0 则同理可证 f 若 x b 取x0 则同理可证 f定理 2 如果函数 f在区间 a b上连续 则函数dxxfxa)(就是 f 在a b上的一个原函数定理的重要意义一方面肯定了连续函数的原函数是存在的另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。