九年级数学圆的有关性质总复习-6页.pdf

实用精品文献资料分享九年级数学圆的有关性质总复习第 24 讲圆的有关性质 锁定目标考试 考标要求考查角度 1. 理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系 2 了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论 . 中考主要考查圆的有关概念和性质， 与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用题型以选择题、填空题为主. 导学必备知识 知识梳理一、圆的有关概念及其对称性1圆的定义 (1) 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形这个定点叫做 _，定长叫做 _； (2) 平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心， 定点与动点的连线段叫做半径 2 圆的有关概念 (1) 连接圆上任意两点的_叫做弦； (2) 圆上任意两点间的 _叫做圆弧，简称弧； (3)_ 相等的两个圆是等圆； (4) 在同圆或等圆中，能够互相 _的弧叫做等弧 3 圆的对称性 (1) 圆的轴对称性：圆是轴对称图形， 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2) 圆的中心对称性： 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3) 圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合这就是圆的旋转不变性二、垂径定理及推论 1 垂径定理垂直于弦的直径_这条弦，并且 _弦所对的两条弧 2 推论 1 (1)平分弦 (_) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过 _，并且平分弦所对的_弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧 3 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧 _ 4 (1) 过圆心；(2) 平分弦( 不是直径 )；(3) 垂直于弦； (4) 平分弦所对的优弧； (5)平分弦所对的劣弧若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项三、圆心角、弧、弦之间的关系 1 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦 _ 2 推论同圆或等圆中： (1) 两个圆心角相等； (2) 两条弧相等； (3) 两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立四、圆心角与圆周角 1 定义 顶点在 _上的角叫做圆心角； 顶点在 _上，角的两边和圆都 _的角叫做圆周角 2 性质 (1) 圆心角实用精品文献资料分享的度数等于它所对的 _的度数 (2) 一条弧所对的圆周角的度数等于它所对 _的度数的一半 (3) 同弧或等弧所对的圆周角_，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧_ (4) 半圆(或直径 )所对的圆周角是 _，90的圆周角所对的弦是_ 五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补自主测试 1 (2012 重庆) 如图， 已知 OA ， OB 是O 的两条半径，且OA OB ，点 C在O 上， 则ACB 的度数为 ( ) A 45 B 35 C 25 D 20 2(2012 山东泰安 ) 如图，AB是O 的直径，弦 CD AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是 ( ) ACM DM B CACD ADC D OMMD 3(2012 浙江湖州 ) 如图，ABC是O 的内接三角形， AC是O的直径， C50，ABC 的平分线 BD交O 于点 D ，则BAD的度数是( ) A45 B85 C90 D95 4(2012 浙江衢州 )工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB的长度为 _ mm. 5(2012 四川成都 ) 如图，AB是O 的弦，OC AB于 C若 AB 23，OC 1，则半径 OB的长为_ 6 (2012 山东青岛 )如图，点 A，B，C在O 上，AOC60，则 ABC的度数是 _ . 探究重难方法 考点一、垂径定理及推论【例 1】 在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽 AB为 6 分米，如果再注入一些油后，油面AB上升 1分米， 油面宽变为 8 分米， 圆柱形油槽直径MN 为( ) A 6 分米 B 8分米 C10 分米 D12 分米 分析： 如图，油面 AB上升 1 分米得到油面 CD ，依题意得 AB=6 ，CD=8 ，过 O点作 AB的垂线，垂足为 E，交CD于 F点，连接 OA ，OC ，由垂径定理，得AE=12AB=3 ，CF=12CD=4 ，设 OE=x ，则 OF=x-1，在 RtOAE 中，OA2=AE2+OE2，在 RtOCF中，OC2=CF2+OF2，由 OA=OC，列方程求 x 即可求得半径 OA ，得出直径 MN. 解析：如图，依题意得AB 6，CD 8，过 O点作 AB的垂线，垂足为E，交 CD于 F 点，连接 OA ，OC ，由垂径定理，得AE 12AB 3，CF12CD 4， 设 OE x， 则 OF x1，在 RtOAE中， OA2 AE2 OE2 ，在 RtOCF中， OC2 CF2 OF2 ， OA OC ， 32x242(x 1)2，解得 x4. 半径 OA 32425. 直径 MN 2OA 10(分米) 故实用精品文献资料分享选 C 答案： C 方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的 触类旁通 1 如图所示，若O的半径为 13 cm，点 P是弦 AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ， 则弦 AB的长为_ cm. 考点二、圆心(周) 角、弧、弦之间的关系 【例 2】 如图，已知 A，B，C，D是O 上的四个点， AB BC ，BD交 AC于点 E，连接 CD ，AD (1)求证： DB平分ADC ； (2) 若 BE 3，ED 6，求 AB的长 解：(1)证明： AB BC ， . ADB BDC ，DB平分ADC (2)由(1) 知 ，BAE A DB ABE ABD ，ABE DBA ABBE BDAB. BE 3，ED 6，BD 9. AB2BE?BD 3927.AB 33. 方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提 供了从圆心角到弧到弦的转化方式， 为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路， 解题时要根据具体条件灵活选择应用触类旁通 2如图， AB是O 的直径， C， D两点在O 上， 若C=40 ，则ABD的度数为 ( ) A 40 B50 C80 D90 考点三、圆周角定理及推论【例 3】 如图，若 AB是O 的直径， CD是O 的弦，ABD 58，则BCD ( ) A116 B32 C58 D64 解析：根据圆周角定理求得， AOD 2ABD 116(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，BOD 2BCD( 同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是 180知BOD 180AOD 还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90，可得ADB 90，则 DAB 90ABD 32， DAB DCB ，DCB 32. 答案：B 方法总结 求圆中角的度数时， 通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系触类旁通 3 如图，点 A，B，C，D都在O 上， 的度数等于 84，CA是OCD 的平分线，则ABD CAO _. 品鉴经典考题 1(2012 湖南湘潭 )如图，在O 中，弦 AB CD ，若ABC 40，则BOD ( ) A 20 B40 C50 D80 2 (2012 湖南益阳 )如图， 点 A， B， C在圆 O上， A60， 则BOC _. 3(2012 湖南娄底 ) 如图，O 的直径 CD垂直于 AB ，AOC 48，则BDC _. 4. (2012湖南长沙 )如图，点 A，P，B，C是实用精品文献资料分享半径为 8 的O 上的四点，且满足 BAC APC 60. (1)求证：ABC是等边三角形； (2) 求圆心 O到 BC的距离 OD 5. (2012湖南怀化 )如图，已知 AB是O 的弦，OB 4，OBC 30，点 C是弦AB上任意一点 (不与 A，B重合)，连接 CO并延长 CO交O 于点 D，连接 AD ，DB (1) 当ADC 18时，求 DOB的度数； (2) 若 AC 23，求证： ACD OCB 研习预测试题 1. 如图，AB是O 的直径，弦 CD AB ，垂足为 E， 如果 AB=10 ， CD=8 ，那么线段 OE的长为( ) A 5 B4 C3 D2 2. 如图，直径为10 的A 经过点 C(0,5) 和点 O(0,0) ，B是 y 轴右侧A优弧上一点，则OBC 的余弦值为 ( ) A 12 B34 C32 D45 3. 一条排水管的截面如图所示已知排水管的截面圆半径OB=10 ，截面圆圆心 O到水面的距离 OC是 6， 则水面宽 AB是( ) A 16 B 10 C8 D6 4 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 OA ， OB在 O点钉在一起，并使它们保持垂直， 在测直径时，把 O点靠在圆周上，读得刻度OE 8 个单位， OF 6 个单位，则圆的直径为 ( ) A 12个单位 B10 个单位 C4 个单位 D15 个单位 5 如图，已知在圆内接四边形ABCD 中，B30，则 D_. 6 如图，过 A，C，D三点的圆的圆心为E，过 B，F，E三点的圆的圆心为D，如果 A63，那么 DBE _ _. 7如图， ABC 是O 的内接三角形， AD BC于 D点，且 AC 5，DC3，AB 42，则O 的直径等于 _ 8. 如图，在圆内接四边形 ABCD 中，CD为BCA外角的平分线， F为弧 AD上一点，BC=AF ，延长 DF与 BA的延长线交于点 E.求证： (1) ABD为等腰三角形；(2)AC?AF=DF?FE. 参考答案 【知识梳理】 一、 1.(1) 圆心半径 2 (1)线段(2) 部分(3) 半径(4) 重合 二、1. 平分平分 2 (1) 不是直径(2) 圆心两条 3 相等三、1. 相等相等 四、1. 圆心圆相交 2 (1) 弧(2) 圆心角(3) 相等相等(4) 直角直径 导学必备知识自主测试 1 A OA OB ，AOB 90，ACB 45. 故选 A. 2D AB是O 的直径，弦 CD AB ，垂足为 M ， M为 CD的中点，即 CM DM ，选项 A成立； B 为 的中点，即 CB DB ，选项 B成立；在ACM 和ADM 中，AM AM ， AMC AMD 90，实用精品文献资料分享CM DM ， ACM ADM(SAS) ， ACD ADC ，选项 C成立； 而OM 与 MD 不一定相等，选项D不成立故选 D. 3B AC是O 的直径， ABC 90. ABC的平分线 BD交O 于点 D，ABD45. C50， D50， BAD的度数是 180455085 . 4 8 如图所示，在O 中， 连接 OA ， 过点 O作 OD AB于点 D ，则 AB 2AD. 钢珠的直径是 10 mm ， 钢珠的半径是5 mm. 钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ，OD 3 mm. 在 RtAOD 中，AD OA2 OD2 52324(mm) AB 2AD 248(mm) 故答案为 8. 5 2 AB是O 的弦，OC AB于 C，AB 23， BC 12AB 3. OC 1，在 RtOBC 中， OBOC2 BC2 12(3)2 2. 故答案为 2. 6 150 因为AOC 60，则它所对的弧度为60，所以ABC所对的弧度为 300. 因为ABC是圆周角，所以 ABC 150. 探究考点方法触类旁通 1.24 连接 OA ，当 OP AB时，OP最短，此时 OP 5 cm，且 AB 2AP.在 RtAOP 中，AP OA2 OP2 1325212，所以 AB 24 cm. 触类旁通 2.B 由题意，得 AC40，由直径所对的圆周角是直角，得ADB 90，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得AABD 90，从而得ABD 50. 触类旁通 3.48因为 的度数等于 84，所以COD84. 因为 OC OD ，所以 OCD 48. 因为 CA是OCD。