第11讲函数的图像教师用书.doc
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聚焦四川高考）第11讲：函数的图像一、知识梳理函数的图像图像的应用识图用图（数形结合）描点法作图化简函数解析式拟定函数的定义域画函数的图像讨论函数的性质单调性值域奇偶性与周期性反比例函数一次函数与二次函数指数与对数函数基本函数的图像平移变换图像的变换对称变换伸缩变换（一）知识框图（二）重点难点重点：（1）纯熟基本函数的图像；（2）掌握函数图像的初等变换；（3）识图与用图（数形结合）难点：（1）复杂的图像变换；（2）数形结合讨论综合问题二、 点解读与例（考）题（一）作函数的图像1、函数图像：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点（x，y）的集合，就是函数y=f(x)的图像，它涉及两方面含义：（1）图像上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f(x)（纯正性）；（2）满足y=f(x)的每一组相应值x，y为坐标的点(x，y)均在图像上（完备性）；函数图像是函数关系的一种直观体现形式，它从“形”的角度（方面）刻画了函数的变化规律，通过图像可形象反映函数的性质，因此，函数图像是研究函数的重要工具，是解决诸多数学问题的有力武器1）描点法：作函数图像最基本的措施，因函数图像是由点{(x，y)|y=f(x)，x∈D}构成。
因此从理论上讲，运用描点法总能作出函数的图像，其基本程序：①拟定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）；④运用基本函数的图像画出所求函数的图像2、运用基本初等函数的图像的变换作图y=f（x+h）（1）平移变换y=f（x）h＞0，左移h＜0，右移h＞0，左移h＜0，右移注：平移实质（1）横向平移是原像在变化；（2）纵向平移是像在变化2）伸缩变换y=f（x）0<ω<1，伸y=f（ωx）ω>1，缩y=f（x）0
二）识图图像信息可以全面地考察学生的数学素质和能力，解决措施灵活多样的问题是拉开档次的一种重要题型，也是近几年高考命题的一种热点，常用的考试题型有：（1）已知函数的解析式，判断其相应的图像；（2）已知函数的图像，求其解析式；（3）已知函数的图像，判断其有关的性质例2】（北京高考试题）如图所示，fi（x）（i=1，2，3，4）是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x1和x2，任意的实数λ∈[0，1]，f[λx1+（1－λ）x2]≤λf（x1）+（1－λ）f（x2）恒成立的”只有（ ）yxO12【分析】运用特殊值法，由于λ∈[0，1]，于是令λ=，则不等式即为f（）≤，于是根据y=f（x）的凹凸性可以懂得答案A对的，这是函数凹凸性的基本应用例3】（1）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图像如图，则（ ）（A）b∈（－∞，0） （B）b∈（0，1）（C）b∈（1，2） （D）b∈（2，+∞）（2）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），在同始终角坐标系中，y=f－1（x）与y=a|x－1|的图像如图，只也许是（ ）【解析】（1）（定量法），根据图像可知，f（0）=0，f（1）=0，f（2）=0，即d=0a+b+c+d=08a+4b+2c+d=0，解得a=－，c=－，因此f（x）=－x3+bx2－x=－x（x－1）（x－2），当x＞2时，有f（x）＞0，因此b＜0，故答案A对的。
2）对于结论A，假定直线y=f－1（x）=ax+1是对的的，由此可得0＜a＜1，这时y=a|x－1|在（－∞，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，因此y=a|x－1|在（－∞，1）的图像是错误的，从而答案A是不对的的，运用同样的措施知B和D都不对的故答案C对的三）函数图像的对称性与函数的单调性、周期性、奇偶性等的内在联系（1）若定义在R上的函数f（x）有关直线x=a或x=b（b＞a）都对称，则f（x）为周期函数，2b－2a是它的一种周期（不一定是最小正周期）；（2）若定义在R上的函数f（x）有关点（a，c）和（b，c）（b＞a）成中心对称，则f（x）为周期函数，2b－2a是它的一种周期（不一定是最小正周期）；（3）若定义在R上的函数f（x）有关点（a，c）成中心对称，又有关直线x=b（b＞a）成轴对称，则f（x）为周期函数，4b－4a是它的一种周期（不一定是最小正周期）；（4）若奇函数（偶函数）f（x）的图像中存在一条对称轴x=a（a≠0）对称，则f（x）为周期函数例4】（全国高考题）定义在R上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在0，+∞的图像与f（x）的图像重叠，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）；③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）。
其中对的的是（ ）（A）①与③ （B）②与③ （C）①与④ （D）②与④【解析】由f（x）为奇函数，得f（－x）=－f（x），令x=0，得f（0）=0，由f（x）为R上的增函数且a＞b＞0可知，f（a）＞f（b）＞f（0），由已知，当x≥0时，f（x）=g（x），得f（a）=g（a），f（b）=g（b）因此由①：[f（b）－f（－a）]－[g（a）－g（－b）]=f（b）+f（a）－g（a）+g（b）=2f（b）＞0故①成立由②得f（b）＜0；由③得f（a）＞0；由④得f（a）＜0，因此只有①与③成立，故答案A对的四）函数图像的对称性及其证明（1）函数图像的对称性应注意如下几点：①奇函数的图像有关原点对称；②偶函数的图像有关y轴对称；③互为反函数的两个函数的图像有关直线y=x轴对称；④y=f（－x）与y=f（x）的图像有关y轴对称；⑤y=－f（x）与y=f（x）的图像有关x轴对称；⑥y=－f（－x）与y=f（x）的图像有关原点对称；⑦二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像有关只x=－对称；⑧定义在R上的函数y=f（x）的图像有关直线x=a对称对一切实数x恒有f（a+x）=f（a－x）对一切实数x恒有f（2a－x）=f（x）（很明显偶函数的图像有关y轴对称是其特例）（2）证明函数图像的对称性，即①同一图像上的对称的证明：该图像上任意一点有关对称中心（或对称轴）的对称点仍在该图像上（证明奇函数的对称性）。
②两个图像间的对称的证明：第一步：证明其中第一种图像上任意一点有关对称中心（或对称轴）的对称点在第二个图像上；第二步：证明其中第二个图像上任意一点有关对称中心（或对称轴）的对称点在第一种图像上熟悉某些常用的函数图像对称性的鉴定措施，如奇函数的图像、偶函数的图像，尚有要证明函数y=f（x）的图像有关直线y=x对称，只要证明f－1（x）=f（x）若函数y=f（x）的对任意x均有f（a+x）=f（a－x），则其图像有关直线x=a对称例5】设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s个单位长度后得曲线C11）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1有关点A（，）对称；（3）若曲线C与曲线C1有且仅有一种公共点，证明s=－t且t≠0解析】（1）曲线C1的方程为y=（x－t）3－（x－t）+s；（2）证明：在曲线C上任意取一点M1（x1，y1），令点M2（x2，y2）是点M1有关点A（，）的对称点，则=，=，于是x1=t－x2，y1=s－y2，于是代入曲线C的方程，得x2和y2满足的方程：s－y2=（t－x2）3－（t－x2），即y2=（t－x2）3－（t－x2）+s，从而可知点M2（x2，y2）也在曲线C1上。
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点有关点A的对称点也在曲线C上因此，曲线C与曲线C1有关点A的对称3）证明：由于曲线C与曲线C1有且仅有一种公共点，因此联立y=x3－x与y=（x－t）3－（x－t）+s所得的方程组有且仅有一一组解，于是消去y，整顿得3tx2－3t2x+（t3－t－s）=0，从而知有关x的方程有且仅有一种根，因此由t≠0与△=9t4－12t（t3－t－s）=0，从而t（t3－4t－4s）=0且t≠0，故s=－t五）函数图像的应用运用函数的图像来研究方程、不等式的解集是高考中常用的问题之一，有时只需作出函数的图像的示意图，即能反映出函数的某些基本问题，从而运用函数的图像体现出来的特性来解决问题例6】已知x1方程x+lgx=3的一种根，x2方程x+10x=3的一种根，那么x1+x2=（ ）（A）6 （B）3 （C）2 （D）1【分析】这是一道研究方程根的试题，若采用纯代数的措施，从解方程或解方程组的措施入手，将很困难，于是我们想到运用构造函数，运用函数的图像，借助数形结合的思想措施来解决将已知的两个方程变形得lgx=3－x，10x=3－x，令f（x）=lgx，g（x）=10x，h（x）=3－x，于是在同始终角坐标系中画出三个函数的图像（如图），记g（x）与h（x）的交点为A（x1，y1），f（x）与h（x）的交点为B（x2，y2），运用函数的性质可知A、B两点有关直线y=x对称，于是有x1=y2，x2=y1的结论，把点A的坐标代入直线的解析式，得y1=3－x1，把x2=y1代入上式，得x2=3－x1，即x1+x2=3。
故答案为B当方程是超越方程时，直接求解不也许，于是运用函数图像来讨论其根的范畴是常用的措施函数的图像是函数关系的一种表达措施，它可以也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来，它是研究函数性质的重要工具函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性等都集。
