高中数学三垂线定理课件旧人教高中必修第二册(下B）.ppt

三垂线定理三垂线定理AaOP 已知已知 PA、、PO分别分别是平面是平面 的垂线、斜线，的垂线、斜线，AO是是PO在平面在平面 上的上的射影a   ，，a⊥⊥AO求证： a⊥⊥PO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直三垂线定理AaOP证明：a⊥POPA⊥ a  AO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA ⊥a三垂线定理三垂线定理： 在平面在平面内的一条直线，如果和这个平内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直么，它就和这条斜线垂直AaOP证明：a⊥POPA⊥ a  AO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA ⊥aPCBAO例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点， PA⊥⊥平面平面ABC ，，AC ⊥⊥ BC，， 求证：求证： PC ⊥⊥ BC证明：证明：∵∵ P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA⊥⊥平面平面ABC ∴∴PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 ∴∴AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 ∵∵BC 平面平面ABC 且且AC ⊥⊥ BC ∴∴由三垂线定理得由三垂线定理得 PC ⊥⊥ BCM例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形 O为BD的中点∴ AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD 同理，AC⊥BD AO是PO在ABCD上的射影PC⊥BDPMCAB(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:∵ PB=PCM是BC的中点PM ⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C ∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明： C B A1B1 C1A D D1同理可证， A1C⊥B1D1由三垂线定理知 A1C⊥BC1 PMCABPAOaαA1 C1 C B B1OAαaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解解题题回回顾顾，怎么找？三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOaαPAOaαbcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：① 相交直线相交直线② 异面直线异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解解题题回回顾顾直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。

PAOaα例如：当 b⊥ 时， b⊥OA注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但但 b不垂直于OP 解解题题回回顾顾√×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于 a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ）⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直于a在平面α内的射影， 则 a⊥b （ ）⑶若a是平面α的斜线，直线b α 且b垂直于a在另一平面β内的射 影则a⊥b （ ）⑵若 a是平面α的斜线，平面β内 的直线b垂直于a在平面α内的射 影，则 a⊥b （ ）练习：判断下列命题的真假：面ABCD →面α直线A1C →斜线 a直线B1B →垂线 b××ADCBA1D1C1B1面ABCD →面α面B1BCC1→面β直线A1C →斜线 a直线AB →垂线 b面ABCD →面α直线A1C →斜线 a直线B1B →垂线 bPAOaαl已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影，a   , a ⊥AO，l 平行于 a 。

求证： l 垂直于PO⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直于a在平面α内的射影，则 a⊥bPAOaα三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直PAOaα①线面垂直③ 线斜垂直PAOaα直 线 和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直PAOaα 已知：PA，PO分别是平面 的垂线和斜线，AO是PO在平面 的射影,a   ,a ⊥PO求证：a ⊥AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直三垂线定理三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定 理逆定理例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。

已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO分析： 要证 ∠BAO=∠CAO只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥ACP C B A O F E ???证明：∵ PO ⊥ ∴OE、OF是PE、PF在内的射影∵ PE=PF∴ OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成的角的大小为（ ）(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是EC1在平面AB1内的射影EB1 ⊥EFDG∥AM∥EB1EF ⊥DG练习与作业2.已知 PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心。

CBPAH3.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线4.在ABCD—A1B1C1D1中，求证：AC1⊥平面BC1DD1DCBAC1B1A1。