场的量子化及其状态的描述(详细版).ppt

第9章 场的量子化及其状态的描述,半经典理论：对原子进行量子化处理，而电磁场仍然是经典场理论是近似的，适用于无需考虑场的量子力学行为的场合，可使问题得到简化 全量子理论：对原子和场都采用量子化处理理论是完备的，适用于任何场合，但是当场的量子力学效应可以忽略不计时，不利于问题简化能给自发辐射以理论解释，从而能解释激光场由真空场到稳定场的建立过程，能研究激光场的相干性和光子统计性质，等等平面波的运动，在一给定的空间位置处对应一个简谐振动 Fourier分析告诉我们：任何振动都可以归结为若干不同振幅、不同频率和不同初相的简谐振动的叠加；任何波可以归结为若干不同振幅、不同频率和不同初相的平面波的叠加 为了研究电磁场的量子化，可以先研究简谐振子的量子化9.1 一维谐振子的量子化,电磁波→平面波→简谐振动,,量子化时，把经典力学量换成对应的力学量算符(ћ=h/2π, h是Planck常数)：,在x轴上作一维振动的、质量为m的简谐振子，假设弹性系数为κ，则它的固有振动角频率为ω=(κ/m)1/2，其总能量(哈密顿量Hamiltonian)为,故能量算符(Hamiltonian算符)为,设|x>是位置算符x的本征态, |φ(t)>是谐振子的态矢量,则位置表象下谐振子的波函数为ψ(x, t) =，它满足以下Schrödinger方程,求解上面这个方程可给出谐振子的全部量子力学内容，采用这种数理方法，是用一次量子化方法给出谐振子的量子化理论。

为了跟场的量子化方法统一起来，下面我们用二次量子化方法给出谐振子的量子化理论，这是一种比较抽象但也更为简单的代数方法,9.1.1 产生算符和湮灭算符,利用位置算符和动量算符，定义产生算符和湮灭算符如下：,,它们互为厄米共轭（互为伴随算符）反之,根据位置算符和动量算符之间的对易关系，,可以证明以下对易关系,定义粒子数算符,利用,可以证明,将湮灭和产生算符所表达的位置与动量算符,,显然它与粒子数算符对易，因此它们有共同的本征态,得到,利用对易关系,代入谐振子的Hamiltonian算符,9.1.2 能量本征值（粒子数算符的本征值）,则必然有n≥0，且当n=0时，有,这是因为,引理1 若粒子数算符的本征值和本征态分别用n和|n>表示，即有,当n≠0时，有,利用数学归纳法，可以进一步证明,引理2,这是因为,且满足,利用数学归纳法可以证明，对于任意正整数,定理 粒子数算符的本征值n只能是非负整数,利用引理1和引理2可以证明,证明思路：引理1已经证明n≥0，故只需证明n只能是整数即可反证法：若n为正的非整数，则存在非负整数l使得0≤ l0，而(n-l-1)<0与引理1本征值非负相矛盾。

反之，考虑到,不再是粒子数算符的本征态，从而也就不存在对应的本征值(n-l-1)为负这回事（即与非本征态对应的“负本征值”没有意义）因此n为正整数时，不会象n为非整数时那样能给出与引理1矛盾的负本征值结论若n为正整数，则当n=l时,由于粒子数算符的本征值为非负整数，于是,一维谐振子的能量是以ћω为单位增减的，即能量是一份一份的组成的，每一份能量大小为ћω，我们称每一份这样的能量单元为一个能量量子（声子） 粒子数算符即是能量量子数算符，其本征值n对应能量量子数，本征态|n>对应能量量子数为n的量子态当 n=0时，谐振子的能量不为0，即谐振子存在基态能量 湮灭（产生）算符每作用于能量本征态|n>一次，能量量子数n就会减少（增加）一个因此它代表湮灭（产生）一个粒子（能量量子）的算符9.1.3 能量本征态,将本征态归一化=1，可求出它的一些表达式一方面，粒子数算符的本征方程满足,另一方面，前面已经给出,因此有,其中常系数 和 根据归一化关系求出,于是,根据以上递推公式，有,于是得到,作为代表物理可观测量的厄米算符，粒子数算符的本征态（也即能量算符的本征态）满足正交归一和完备性关系，即,因此本征态集合{|n>}可以构成态矢量空间中的一组基矢，任意量子态可以用它展开。

由于|n>代表粒子数为n的量子态，由基矢{|n>}构成的表象，称为粒子数表象或占有数表象，又称作Fock空间表象9.2 电磁辐射场的量子化,研究辐射场的量子化不必牵涉电磁相互作用，因而只需考虑真空无源区的自由辐射场在开式的真空腔中，电磁场满足以下Maxwell 方程组（ 是真空光速）,9.2.1 单模辐射场的量子化,,选择Cartesian坐标系，使得单模辐射场沿z轴传播，电场振动方向（即偏振方向）在x轴方向上，则E=(Ex, 0, 0)，磁场振动方向在y轴上H=(0, Hy, 0)，假定电磁场处于两镜腔内，沿x、y轴方向变化可忽略不计，则腔中单模电磁场的波动方程为,可用分离变量法求解以上方程，可得到,即有,A为振幅，φ为初相，k为波矢，ω=kc为角频率单模场处于两镜腔内，满足驻波条件,其中V=LS为腔体体积，L为谐振腔的长度，S为谐振腔的横截面积，M为归一化因子（具有质量量纲）,定义单模电磁场的广义坐标(具有长度量纲),则方程(1.24)可以表达为,显然广义坐标Q(t)满足如下谐振子方程,另一方面，由Maxwell方程,和H=(0, Hy, 0)有：,故,将(1.27)式代入上式，得到,利用,上式可以写成,引入场的广义动量（具有动量量纲）,光腔体积内的电磁场能量为,利用(1.28)和(1.29)两式，得到,将(1.27)和(1.30)式代入上式，利用(1.25)式得,因此电磁场的哈密顿量为：,这跟质量为M、频率为ω的简谐振子的哈密顿量相同。

事实上，前面已经指出，Q(t)满足频率为ω的谐振子方程把Q(t)看作广义坐标，把P(t)看作广义动量，跟前面一维谐振子的量子化类似，在场的量子化中，把经典的广义坐标－广义动量共轭对Q和P换成对应的算符，且让它们满足以下对易关系：,同理引入产生和湮灭算符（它们互为厄米共轭 ）：,反之有：,电磁场的Hamiltonian算符为,于是电磁场算符可以表达为：,于是跟一维谐振子完全类似，对于电磁场我们有(n=1, 2, 3…)：,电磁场的能量是离散化的，即能量是一份一份的组成的，每一份能量大小为 ，我们称每一份这样的能量单元为电磁场的场量子，即光子 粒子数算符即是光子数算符，其本征值n对应场所包含的光子数，本征态|n>对应光子数为n的场量子态当光子数n=0时，场的能量不为0，即场存在真空涨落所产生的“零点能” （又称为场的基态能量） ，它是产生自发辐射的物理根源 湮灭/产生算符代表湮灭/产生一个光子的算符由于光子数本征态是正交归一的，可以用集合{|n>, n=0, 1, 2…}构成一个正交归一的基矢量组（称为光子数表象），一般的量子态|φ>可以用这组基矢展开，展开的系数构成一个列矩阵，称为|φ>在光子数表象下的矩阵表示。

同理，任意一个算符 在光子数表象下存在矩阵表示,矩阵元为,利用|n>的正交归一性，以及,可知在光子数表象下，有,光子数算符在自身表象中自然是对角矩阵，对角元为它的本征值,在粒子数本征态下，电场强度的平均值为,即此时电场相位是完全随机的（电场矢量方向各向同性）光强的平均值为,光子数为零时，存在电磁场的真空起伏（起伏的平均值为零），使得光强不为零表示n个光子的光强，因此 表示单模场中一个光子的光强，而 为一个光子的光场振幅在这里，虽然是针对谐振腔中的单模电磁场进行量子化，对于自由空间中的电磁场量子化也适用无限大自由空间，可以看作是V→∞时的情形，其中的归一化称为箱归一化9.2.2 多模电磁场的量子化 前面已经讲述单模电磁场的量子化多模电磁场对应多个不同频率的单模电磁场的叠加，它是Maxwell方程组的一般解因此在与前面相同的条件下，多模电磁场可以表达为：,其中s=1, 2,…，而,是第s个模（纵模）的广义坐标和广义动量,是第s模的单模电磁场， 是第s模的本征角频率， 是第s模的波数矢量的z分量。

多模电磁场的Hamiltonian对应所有单模电磁场的Hamiltonian之和：,其中 为第s模的Hamiltonian,量子化之后，经典力学量换成对应的算符，由此得到多模电磁场的Hamiltonian算符为：,其中 为第s模的Hamiltonian算符：,广义坐标算符与广义动量算符满足以下对易关系：,与单模电磁场相似，引入光子的湮灭算符和产生算符分别如下：,根据坐标算符与动量算符之间的对易关系，可以求得：,倒过来有：,把上式代入多模电磁场的Hamiltonian算符表达式，并利用产生算符和湮灭算符满足的对易关系，可得到：,其中：,用 表示第s模的粒子数算符本征态，则有,对于多模辐射场，假设第s个模中有ns个光子（s=1,2,…，ns=0,1,2…），则粒子数算符的本征态矢可以写成所有单模本征态矢的张量积（并式矢）,则有,利用上式可得,即多模电磁场的总能量等于各个单模能量之和第s模的产生和湮灭算符只对第s模的本征态作用，故有,利用单模本征态的正交归一关系和完备性关系，可以得到多模本征态的正交归一和完备性关系如下：,因此可以用多模本征态构成的基矢量组张成一个Fock空间（粒子数占有表象），电磁场的任意一个量子状态矢量|ψ>可以用这组基矢展开，展开系数构成的列矩阵，称为|ψ>在该Fock空间中的表示。

具体地，有,展开系数模的平方,表示在态|ψ>中，在第1模中找到n1个光子、且在第2模中找到n2个光子、…且在第s模中找到ns个光子的概率电磁场算符为,与单模类似，我们有,多模场的真空态指的是多模场中的每一个模都没有光子，n1=n2=…=ns=…=0，显然真空态的零点能为各个模的零点能之和：,同理，在真空态下，电场场强的平均值为零，而它的平方（对应光强）的平均值不为零,对空间取平均，即得到多模场的零点起伏,光子数为零的电磁场基态，虽然存在零点涨落，但不足以引起原子吸收一个光子而从低能级向上一能级跃迁的（实）过程发生（违背能量守恒，真空能量不为零），但是可以引起能量守恒的自发辐射发生在前面讨论电磁辐射场的量子化中，粒子数算符是Hermitian算符，其本征值n（粒子数）对应物理上的可观测量，其本征态|n>对应光子数为n的量子态由于光子数与场振幅的平方成正比，|n>仅反映量子化电磁场的振幅方面的信息但是要了解一个波场的全部信息，得知道它的频率、振幅和相位（初相）因此，下面将研究与量子化电磁场的相位对应的位相算符及其特性9.3 单模位相态与单模光子数态,9.3.1 位相算符的引入 首先来看看经典电磁场的表达式，以沿x轴方向偏振、沿z轴传播的单色平面波电场为例，它有如下形式的一般解：,因此，经典场的振幅和初相可以由系数a来确定，即分别对应a的模和相位（振幅跟|a|相差的常数因子2，在这里不改变问题的实质）。

其中,在场的上述表达方式下，从经典场到量子化场，经典场量换成场算符，相应的振幅因子a和a*分别换成湮灭算符和产生算符（相差一个常数因子），即有：,与“经典场的振幅和初相分别对应系数a的模和相位”相对应，场算符的振幅算符和初相算符（位相算符）由湮灭算符来定义：,以上定义符合“场振幅的平方与光子数成正比”由于光子数算符存在零的本征值，为了让振幅算符有逆，以上采用 而不是 来定义，含义是,但是，在量子力学中，不能直接把 把当作位相算符，否则会引起理论上的不自洽性（具体分析超出本教学范围）因此，通常把该算符的余弦函数和正弦函数取作位相算符（显然它们都是厄米的）,是厄米算符（对应实数的经典量即初相），粒子数算符是厄米的，故有（ ）,因为（h.c.表示前一项的厄米共轭）,在粒子数表象下，其矩阵形式为,利用,不难验证,。