实变函数论讲义.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑实变函数论讲义 第1章 集合与点集 实变函数论作为现代分析数学的根基,其学识布局是建立在集合论之上的.集合论产 生于19世纪70年头,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及 规律根基.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论学识,而不涉及有关集合论公理的 议论. 1.1 集合及相关概念 大家在中学就熟悉了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体. 集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常 用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合： R表示全体实数形成的集合；C表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分 别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号 表示. 集合的概括表示方法一般有两种： 一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5}; 一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般 地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定 的某集合A及某对象a,若a是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否那么,就说a不属 于集合A,记为给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,那么称A是B的子集,记 为 或进而,若同时有和，那么A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然 是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集. 例1.1.1 写出{1,2,3}的全体子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N. {1,2,3}的全体子集是： ,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章 集合与点集1.1 集合及相关概念共个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是： C0n+C1n+…+Cnn=2n,其中Ckn=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式. 任给集合A,它的全体子集构成的集合称为它的幂集,记为 1.1.1 集合的运算 我们知道,数可以举行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以举行运算, 并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种. 定义1.1.1 任意给定集合A和B,集合{x|x∈A或x∈B}称为A与B的并集,并集也称为和集,记为A∪B ,或A+B;集合{x|x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB; 推而广之,给定集合族∈Γ,其中Γ是指标集,那么此集合族的并集与交集分别为 ∪α∈∈Γ,x∈Aα}; (1.1) ∩α∈∈Γ,x∈Aα}. (1.2) 集合{x|x∈A且称为A与B的差集,又称补集，记为A\\\\B,或A-B.留神： 一般来说(A-B)∪B未必等于A.假设已知那么A- B称为B相对于A的余集,记为AB,更加地,假设我们在某一问题中所考虑的一切集合 都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, SB 简记为而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B. 例1.1.2 设-1+1i≤x≤1-- 1kn,使得x∈ Am,即对任意n,总有x∈∪故x∈B,继而 反之,设x∈B,那么对任意的n>0,总有x∈∪即总存在m(m≥n),使得x∈Am,故x ∈A,继而从而A=B,另一等式可同样证明.□ 若集合列得志： ∈N,那么称是单调增加集合列；若∈N,那么称 之为单调裁减集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.概括 地,若为单调增加集合列,那么 limn→∞An=∪ 若为单调裁减集合列,那么 limn→∞An=∩∞n=1An. 例1.1.3 设是如下一列点集： A2m+1=0,2-12m+1〗, m=0,1,2,…, 〗, 我们来确定的上、下极限. 由于闭区间\\中的点属于每个而对于开区间(1,2)中的每个点x,必存在 自然数N(x),使得当n>N(x)时,有1+12nN(x)时但x∈A2n+1. 换言之,对于开区间(1,2)中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即中有 无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即中不含有x的集 合不会是有限个.又区间\\ n→∞ sup \\n→∞ inf \\ 例1.1.4 设为： 当n=2k时, k∈N; 当n=2k+1时, k∈N. 那么 lim n→∞ sup ∪{(0,y)|y≥0}; lim n→∞ inf 定义1.1.3 设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”(x,y)(其中x∈A,y∈B)形成的集合为A与B的直 积集或笛卡儿（Descartes）积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},其中(x,y) =(x′,y′)是指x=x′,y=y′,X×X也记为 例1.1.5 设A={1,2,3},B={4,5}，那么A×B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}. 例1.1.6 \\×\\为平面上单位闭正方形. 例1.1.7 Q×Q=2为平面上有理点集. 习题习 题 1.3 试证： (1) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); (2) (A\\\\B)∪B=(A∩B)\\\\B的充要条件是 (3) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C). 1.4 证明： (1) A△B=B△A; (2) (A△B)△C=A△(B△C); (3) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C); (4) 对任意的A,B,存在C使得A△C=B. 1.5 设是一集合列，作-∪n- 1k=1Ak,n=2,3,…,试证互不相交,且∪ni=1Ai=∪nj=1Bj,n=1,2,…,∞. 1.6 设f(x),g(x)是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k≠0.那么 (1) {x: f(x)≥a}=∩∞n=1x: f(x)>a-1n; (2) {x: |f(x)|>k}∪x: |g(x)|>ak. 1.7 试证： (1) ∪∞i=1(A\\\\ (2) ∩∞i=1(A\\\\∪i. 1.8 设-求出集合列的上限集和下限集. 1.9 设An=E,n=2k-1, F,n=2k, 求集合列的上限集和下限集. 1.10 设 m为整数,n=1,2,…,试证lim n→∞ sup n→∞ inf 1.11 设是\\上的一列函数,且存在\\使得limn→∞fn(x)=1, x∈\\\\\\E, 0, x∈E.令∈\\: 求集合limn→∞En. 1.12 设以及f(x)是定义在R上的实值函数,那么使不收敛于f(x)的一切点 x所形成的集合为∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx: - 11. 设 (k=1,2,…) 随着k→∞单调下降趋于 (n=1,2,…）定义在E上∈E),试证： 对任意的a有 (1) E\\=∪\\; (2) E\\\\; (3) E\\=∪\\. 注： E\\={x∈E|f(x)>a}. 1.1.2 映射、基数与可数集1.2 映射、基数与可数集 我们都知道,实数是可以对比大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的区别呢 ？直观地想,假设是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个 元素的集合,集合的大小该怎么对比呢？全体实数构成的集合就确定比全体正实数 构成的集合大吗？在对集合的定义和根基运算有了确定的了解之后,我们接下来就 介绍一下用以刻画集合大小的概念： 基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的结果,我们还将向大家介绍一种最常见 的集合： 可数集. 1.2.1 映射 大家都熟谙函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化. 定义1.2.1 给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,那么 称这个对应为映射.若用φ表示这种对应,那么记为φ: 并称φ是从X到Y的一个映射.此时,x∈X在Y中对应元y称为x在映射φ下的像, x称为y的一个原像,记为y=φ(x).进而,y的原像集为{x|y=φ(x),x∈X},记为- 1(∈X}Y称为映射φ: X→Y的值域,而X为定义域. 更加地,若φ(X)=Y，那么称映射φ是满射,也称为到上的映射(X到Y上的映射)；若对于每 个y∈φ(X)其原像集- 1(y)是单点集,等价地,若x1,x2∈X,当时必有那么称该映 射是单射,也称为一一映射. 注1.2.1 一一映射存在逆映射,即-1: -1(y)=x,当 φ(x)=y 时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应. 给定映射φ: X→Y,及那么A的像集为∈A},B的原像集为- 1(B)={x|φ(x)∈B}.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式： φ∪α∈∪α∈ φ∩α∈∈ — 7 —。