高考数学一轮复习圆锥曲线的综合应用.ppt

1 掌握探究与圆锥曲线相关的最值问题、定点与定值问题、参变数取值范围问题的基本思想与方法，培养并提升运算能力和思维能力.21.已知λ∈R,则不论λ取何值，曲线C：λx2-x-λy+1=0恒过定点( )DA.(0,1) B.(-1,1)C.(1,0) D.(1,1) 由λx2-x-λy+1=0,得λ(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1,可知不论λ取何值,曲线C过定点(1,1).依题设,即解析3B解析4B解析564.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则△POQ的面积为定值 .1 如图,双曲线x2-y2=4的两条渐近线为y=±x,即x±y=0.又|PQ|= ,|PR|= ，所以S△POQ= |PQ||PR|= =1.解析71.基本概念在圆锥曲线中，还有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题.而当某参数取不同值时，某几何量达到最大或最小，这就是我们指的最值问题.曲线遵循某种条件时，参数有相应的允许取值范围，即我们指的参变数取值范围问题.82.基本求法解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体，以函数、不等式、导数等知识为背景，综合解决实际问题，其常用方法有两种：(1)代数法：引入参变量，通过圆锥曲线的性质，及曲线与曲线的交点理论、韦达定理、方程思想等，用变量表示(计算)最值与定值问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、定值；9(2)几何法：若问题的条件和结论能明显的体现几何特征，利用图形性质来解决最值与定值问题.在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题,解法通常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时,10 可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时Δ>0等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域.11题型一 定点、定值问题 已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动点，且满足| |·| |= · . (1)求点P的轨迹C的方程； (2)已知点M(m,2)在曲线C上，过点M作直线l1、l2与C交于D、E两点，且 l1、l2的斜率k1、k2满足k1k2=2,求证：直线DE过定点，并求此定点.例112 (1)设P(x,y),则 =（1-x,-y), =(-1-x,-y), =(-2,0), =(2,0).因为| |·| |= · ，所以 ·2=2(x+1),即y2=4x,所以点P的轨迹C的方程为y2=4x .(2)证明:由(1)知M(1,2),设D( ,y1),E( ,y2),所以k1k2= =2,整理得(y1+2)(y2+2)=8. ①解析13kDE= = =k,所以y1+y2= . ②由①②知y1y2=4- ,所以直线DE的方程为y-y1= (x- ),整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,即4x- y+4- =0,即(x+1)k-(y+2)=0,所以直线DE过定点(-1,-2).14 与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量，将题设转化为坐标关系式，然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时，坐标关系式恒成立的条件，而获得定点坐标.评析15 如图，F1(-3,0),F2(3,0)是双曲线C的两焦点,其一条渐近线方程为y= x,A1、A2是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于A2的一 动点，直线A1P,A2P交直线 x= 分别于M、N两点. (1)求双曲线C的方程； (2)求证： 是定值.素材116 (1)由已知，c=3, = .又c2=a2+b2，所以a=2,b=5.所求双曲线C的方程为 =1.(2)证明：设P的坐标为(x0,y0),M、N的纵坐标分别为y1、y2,因为A1(-2,0),A2(2,0),所以 =(x0+2,y0), =(x0-2,y0), =( ，y1), =(- ,y2).解析17因为 与 共线，所以(x0+2)y1= y0,y1= .同理y2=- .因为 =( ,y1), =(- ,y2),所以 · =- +y1y2=- -=- - =-10，为定值.18 设F1、F2分别是椭圆 +y2=1的左、右焦点. (1)若P是该椭圆上的一个动点,求 的最大值与最小值； (2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.例2题型二 最值与范围问题19 (1)由方程易知a=2,b=1,c= ，所以F1(- ,0),F2( ,0).设P(x,y),则 =(- -x,-y)·( -x,-y)=x2+y2-3=x2+1- -3 = (3x2-8).因为x∈［-2,2］，所以0≤x2≤４，故解析20(2)显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2 +y2=1,消去y,整理得(k2+ )x2+4kx+3=0.所以x1+x2= ,x1x2= .由Δ=(4k)2-4(k2+ )×3=4k2-3>0,解得k> 或k<- . ①联立方程组21又0°<∠AOB<90°,即cos∠AOB>0,得 >0, 所以 =x1x2+y1y2>0.又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 = + +4= .所以 + >0,即k2<4. ②结合①、②知,k的取值范围是(-2,- )∪( ,2).22 圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题，解决此类问题，一般有两个思路：（1）构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解（如本题第（2）问）；（2）构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解（如本题第（1）问）.在解题的过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.评析23素材2解析2425题型三 圆锥曲线综合问题例326解析27评析28 抛物线有光学性质，由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线的对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p＞0),一光源在点M( ,4)处， 由其发出的光线沿平行于抛 物线的对称轴的方向射向抛 物线上的点P,折射后又射向 抛物线上的点Q，29 再折射后，又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出，途中遇到直线l:2x-4y-17=0上的点N，再折射后又射回点M. (1)设 P、 Q两 点 的 坐 标 分 别 为 (x1,y1)、(x2,y2),证明：y1y2=-p2; (2)求抛物线的方程； (3)试判断在抛物线上是否存在一点,使该点与点M关于PN所在的直线对称?若存在,请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由.30解析 (1)证明:由抛物线的光学性质及题意知，光线PQ必过抛物线的焦点F( ,0),设直线PQ的方程为y=k(x- ). ①由①式得x= y+ ,将其代入抛物线的方程y2=2px中,整理得y2- y-p2=0,由韦达定理得y1y2=-p2.当直线PQ的倾斜角为90°时，将x= 代入抛物线方程得y=±p,同样得到y1y2=-p2.31(2)设光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称.设点M（ ，4）关于l的对称点为M′(x′,y′), =-1 x′= -17=0 y′=-1.则,解得32直线QN的方程为y=-1,Q点的纵坐标为y2=-1.由题设P点的纵坐标为y1=4,由(1)知y1y2=-p2,则4×(-1)=-p2得p=2,故所求抛物线的方程为y2=4x.(3)将y=4代入y2=4x得x=4，故P点的坐标为（4，4）.将y=-1代入直线l的方程2x-4y-17=0,得x= ，故N点的坐标为( ,-1).由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y-12=0.33设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1), ×(-2)=-1 x1= -12=0 y1=-1,即M1( ,-1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点（ ，-1）与点M关于直线PN对称.则,解得34351.若探究直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为f(x,y)+λg(x,y)=0(其中λ为参变数)，由 f(x,y)=0 g(x,y)=0确定定点坐标.362.在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形.3.解析几何中的最值问题，或数形结合，利用几何性质求得最值，或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数，然后应用代数方法求得最值.37错解38错解分析正解39。