一般函数无穷积分的收敛判别法经典实用.ppt

返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页§2 无穷积分的性质及收敛判别一、无穷积分的性质 本节讨论了无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页收敛的充要条件是收敛的充要条件是一、无穷积分的性质证证极限的柯西准则极限的柯西准则, ,此等价于此等价于(无穷积分收敛的柯西准则无穷积分收敛的柯西准则) )无穷积分无穷积分 定理定理11.111.1一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页性质性质1任意常数任意常数, ,则则即即根据反常积分定义根据反常积分定义, ,容易导出以下性质容易导出以下性质1和性质和性质2. .一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页性质性质2一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页h(x) 在任意在任意 [a, u]上可积上可积, 且且证证 因为因为收敛收敛, ,由柯西准则的必要性由柯西准则的必要性,例例1 1, f (x), g (x),若若一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性,一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、非负函数无穷积分的收敛判别法定理定理11.2( (非负函数无穷积分的判别法非负函数无穷积分的判别法) ) 设定义在设定义在 上的非负函数上的非负函数 f 在任何在任何收敛的充要条件是收敛的充要条件是: :证证设设一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理11.3 (非负函数无穷积分的比较判别法非负函数无穷积分的比较判别法) )在在 上的两个非负函数上的两个非负函数 f , g 在任何有限区在任何有限区增增函数的收敛判别准则函数的收敛判别准则, 从而从而 F (u) 是单调递增的是单调递增的由单调递由单调递间间[ [a, u] ]上可积上可积, ,且存在且存在 满足满足设定义设定义一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 由非负函数无穷积分的判别法由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题第二个结论是第一个结论的逆否命题, ,因此也成立因此也成立. . 一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 判别判别的收敛性的收敛性.解解 显然显然设设 f (x), g(x)是定义在是定义在 上的非负连续上的非负连续函函例例3 3一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证推论推论1 1 设非负函数设非负函数 f 和和 g 在任何在任何 [a,u] 上可积上可积, 且且由于由于一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 即即一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页推论推论2 设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数, 在任何在任何一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页限区间限区间 [a, u] 上可积上可积.推论推论3设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数,在任何有在任何有说明说明: : 推论推论3 3是推论是推论2 2的极限形式，读者应不难写的极限形式，读者应不难写出它的证明出它的证明. .一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 讨论讨论的收敛性的收敛性 ( k > 0 ).解解 (i)一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页无穷积分无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 三、一般函数无穷积分的判别法若若 f 在任何在任何有限区间有限区间 [a, u]上可积上可积,定理定理11.411.4 ( (绝对收敛的无穷积分必收敛绝对收敛的无穷积分必收敛) )一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证因此因此再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性, 又对任意又对任意 由柯西准则的必要性由柯西准则的必要性, 对对因因一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页收敛的无穷积分收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的不一定是绝对收敛的.例例5的收敛性的收敛性.判别判别解解 由于由于一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判判定理定理11.5( (狄利克雷判别法）狄利克雷判别法）证证故故别法和阿贝尔判别法判别其收敛性别法和阿贝尔判别法判别其收敛性. .一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页使得使得一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此, 由柯西准则，由柯西准则，定理定理11.6 (阿贝尔判别法阿贝尔判别法)证证 [证法证法1]由由 g 的单调性的单调性, ,用积分第二中值定理，任意的用积分第二中值定理，任意的使得使得一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由柯西准则由柯西准则,[证法证法2]一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由狄利克雷判别法由狄利克雷判别法例例6的收敛性的收敛性.解解对收敛对收敛. .收敛收敛, ,所以所以一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由狄利克雷判别法知由狄利克雷判别法知另一方面，另一方面，狄利克雷判狄利克雷判别法条件，是收敛的；别法条件，是收敛的；一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页类似可证类似可证一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题反之呢反之呢? ?一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页作业：作业：P275：：4(3，，4，，5)；；5(1，，4)；；7一般函数无穷积分的收敛判别法返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！感谢你的支持，我们会努力做得更好！。