2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案.doc

12016 年福建省高中数学竞赛暨 2016 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2016 年 5 月 22 日上午 9：00－11：30，满分 160 分）一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数 （ ）的最小正周期为 ，则 在区()3cos()sin()3fxxx0()fx间 上的最大值为 02，【答案】 3【解答】∵ ()cos()sin()3cos()sin()6662fxxxxx，且 的最小正周期为 3cos4c6f∴ ， 又 时， ，2()cos(2)6fx02x， 766x∴ ，即 时， 在区间 上取最大值 60f， 232．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值23Ax13BxaABa范围为 答案】 1()2，【解答】 由 ，得 Ax13ax310xa∴ 时， 0aBAB时，由 ，得 ， 。

满足310xa1(3)0xa13xa或AB时，由 ，得 ， 由满足 ，0a310ax1(3)0xa13BxaAB2得 ， 13a02a综合得， 的取值范围为 11()2，3．函数 零点的个数为 22()lnfxx【答案】 1【解答】 ∵ )l(2ln3)fx 时， ； 时， 320xe0x32e0f∴ 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数)f32()， 32()e，又 时， ， ；320xe1ln102xln120fx， 32()()0f()fe∴ 函数 的零点个数为 1fx或：作图考察函数 与 图像交点的个数lnyx24．如图，在正方体 中，二面角 的大小为 1ABCD1BACD【答案】 120【解答】设正方体棱长为 1作 于 ，连结 1EE由正方体的性质知， 11AB△ ≌ △∴ ， 为二面角 的平面角，1DECBDACD且 ， 23B∴ 21cos3E∴ 二面角 的大小为 。

1BACD20或：设 、 交于点 ，由 ，得O6BE120EDC 1B1D1 CABDA1E  C 1B11 CABDA1（第 4 题）35．在空间四边形 中，已知 ， ， ， ，则 ABCD2AB3C4D5ACBDur答案】 7【解答】 以 ， ， 为基底向量ururBurr∴ ，22()ADBC即 2ABCDCrrrrr∴ ，54916( )uu∴ u∴ ))ACBDrrr297Br6．已知直线 过椭圆 ： 的左焦点 且交椭圆 于 、 两点 为坐标原l21xyFCABO点，若 ，则点 到直线 的距离为 OABAB【答案】 63【解答】 显然 轴不符合要求设直线 方程为 10)F， xAB1xty由 ，得 ………… ①2xty210tyt①的判别式大于 0设 ， ，则 ， 1()Ax， 2()Bxy， 12ty12yt由 ，得OAB221212112122()()()() 10ttxytytyty∴ ， 。

0tt2tBDCA4∴ 点 到直线 的距离为 OAB2163t7．已知 ，若关于 的方程 （ 为虚数单位）有实数根，则复数zCx2304zxii的模 的最小值为 z【答案】 1【解答】设 （ ， ） ， 是方程 的一个实数根zabiR0x2304xzi则 2003()4xixi∴ 201abxL①②由②得， ，代入①，得 ， ， 02213044ab2410ba2314b∴ ，当且仅当 时等2235153()68zab 5号成立∴ 的最小值为 1z（ ， 或 ， ，即 ） 25ab25ab25()zi8．将 16 本相同的书全部分给 4 个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 （用数字作答）【答案】 216【解答】 ∵ 将 16 分解成 4 个互不相同的正整数的和有 9 种不同的方式：， ， ， ，16231062916258162716348， ， ， ， 57534735∴ 符合条件的不同分配方法有 种。

4A59． 是定义在 的函数，若 ，且对任意 ，满足()fxR(0)18fxR， ，则 421)f(265)fxx(2016)f【答案】 504【解答】 ∵ 对任意 ， ，R(4)()ff∴ (12)(128(4)()(fxfxxffxf8)6305又 ，()(65ff∴ )xx∴ 201(204()(192)(12)0()ffffffffL05686976518608L∴ 201)804f10．当 ， ， 为正数时， 的最大值为 xyz22xzy【答案】 172【解答】 ∵ ，当且仅当 时等号成立，2617xzxz417xz，当且仅当 时等号成立217yzyy∴ 2222161612()() (4)777xxzzxzyxzy∴ ，当且仅当 ， ，即 时等号224zy4x17： ： ： ：成立6∴ 的最大值为 224xzy172注：本题利用待定系数法将 拆成两项 和 。

由 ，z2z2(1)z2xzx，以及 ，得 由此得到本题的解法22(1)yzyz4167二、解答题（共 5 小题，每小题 20 分，满分 100 分要求写出解题过程）11．已知数列 的前 项和 （ ） na2nSa*nN（1）求 的通项公式 ；（2）设 ， 是数列 的前 项和，求正整数 ，使得对任意1()nbnTnbk均有 ；*nNkT（3）设 ， 是数列 的前 项和，若对任意 均有1())nnacnRnc*nN成立，求 的最小值nR【解答】 （1）由 ，得 两式相减，得 2nS112nnSa112nnaa∴ ，数列 为等比数列，公比 nanaq由又 ，得 ， 111∴ ……………………………… 5 分n（2） )()()2nbn由计算可知， ， ， ， 102b304b当 时，由 ，得当 时，数列5n11()()()0nnn5n为递减数列于是， 时， )2n55()2n∴ 时， 51()10()nnb因此， ， 。

1234T56TL∴ 对任意 均有 ……………………………… 10 分*Nn4k（3）∵ ……… 15 分11 12()())())2nn nnnac  ∴ 11122 ()35933n nnnnR   L7∵ 对任意 均有 成立，*nNnR∴ 的最小值为 …………………… 20 分232312．已知 （ ） 2()ln)fxabx0a（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 ， 的值；yf(1)f， yxab（2）若 恒成立，求 的最大值2f【解答】 （1） )2axxb依题意，有 解得， ， )11ln)fa1a2b∴ ， …………………………………… 5 分a2b（2）设 ，则 ， ()()gxfx()ln)gxabx()0g① 时， 定义域 ，0，取 使得 ，得 0x0ln()1ba10baex则 与 矛盾0)lln()()10bgx a()gx∴ 时， 不恒成立，即 不符合要求。

……………… 10 分0a()0a② 时， （ ） ()()1bxagxb0x当 时， ；当 时， ba()0ax()g∴ 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数)gxba， )ab，∴ 在其定义域 上有最大值，最大值为 )， (g由 ，得 )0gxln0ababg8∴ ………………………………… 15 分lnba∴ 2设 ，则 )lh()2(ln)(12ln)haaa∴ 时， ； 时， 0e0e0h∴ 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数a(， e，∴ 的最大值为 )h)2he∴ 当 ， 时， 取最大值为 aebabe综合①，②得， 的最大值为 ………………………………… 20 分2e913．如图， 为 的外接圆， 是 的切线，且 ， 是直线O⊙ ABC△ DAO⊙ DBACE与 的另一交点点 在 上，且 ， 是 的延长线与切线 的交点DB⊙ F⊙ BFEC∥ GF求证： AG【解答】在 和 中，由 是 的切线知，ABC△ D△ AO⊙。

又 DBC∴ ………………………………… 5 分∵ 、 、 、 四点共圆，E∴ 180AB∴ ∴ ……………………………… 10 分CD∥又 ，FE∥∴ BG∥ ∥由 ， 是 的两条平行弦知 O⊙ CFEB∴ ， ………………………………… 15 分又 ， 2AFC2DA∴ ， ………………………………… 20 分2FDOABE（第 13 题）1014．如图， 、 为双曲线 ： 的左、右焦点，动点 （ ）在1F2C214xy0()Pxy， 01双曲线 上的右支上设 的角平分线交 轴于点 ，交 轴于点 C12P()Mm， N（1）求 的取值范围；m（2）设过 ， 的直线 交双曲线 于点 ，1NlD两点，求 面积的最大值E2FDE△【解答】 （1）依题意，， 1(50)， 2(50)，直线 方程为 ；直线1P0(5)yx方程为 2F0()5yx即直线 方程为 ；1005yxy直线 方程为 2P()由点 在 的平分线上，得 。

)Mm， 12F000022255()()ymymxx由 ， ，以及 ，得 50y2014y0∴ ， 22 2000055()()4yxxx22005()()yxx∴ …………………………… 5 分0052mxx0m结合 ，得 0042∴ 。