微分学的概念性质与计算全程.doc

一元微分学的概念、性质与计算　一、考试内容导数和微分的概念　函数的可导性、可微性与连续性之间的关系　基本初等函数的导数　 导数和微分的四则运算　复合函数、反函数、隐函数、参数方程所确定的函数、积分变限函数的微分法　高阶导数 一阶微分形式的不变性　（一）导数与微分的概念与性质 ，可导是可微的充要条件，其皆为连续的充分条件.（三）基本函数的导数及高阶导数表； ，.（四）导数与微分的运算法则；，对幂指函数也可用对数求导法，其适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等；；设二阶可导，且，则，；设二阶可导，若由所确定，则 ，；.二、典型例题题型一 可导性的判定1、设函数在处连续，则是的(A)(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件注：．2、设（或函数在处连续），则是的(B)(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件注：是的(A) ，但是的(B) ．提示：取,则，但在处非右连续．3、设存在但不相等，则下列命题正确的是(B)(A) 在处不连续 (B) 在处连续但不可导 (C) 为的跳跃间断点 (D) 为的跳跃间断点注1：为的跳跃间断点存在但不相等．注2：设在处左（右）连续，（）．4、设在处连续，则下列命题正确的个数为(D)(1) 若在处可导，则 (2) 若在处连续，则 (3) 若，则 (4) 若，则(A) (B) (C) (D) 5、函数不可导点的个数为．提示：．6、求证：若，则 .提示：若，且函数在处连续，则在的某邻域内不变号.注1：若，且函数在处连续，则.注2： ；在处的连续在处连续.7、设，在连续，但不可导，又存在，求证：是在可导的充要条件．提示：若，则； 反之，用反证法，假设，则在的某邻域内，用定义（或商的求导法则）可证可导，与假设矛盾，从而．题型二 求导（微）的计算例1、设，求．解：， 则．注：该题也可用导数定义求解．例2、设，求．解：，则 ．注：该题也可用对数求导法．例3、设，求．解：，则．注：．例4、函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则．提示：．例5、设是方程所确定的函数，求及．解： 而 易知 ．例6、 求．解：， 则，化简得 ．注：微分运算法则在隐函数求微中相当重要，同时要注意凑微分法的使用，如：．例7、设严格单调函数具有二阶导数，其反函数为且满足，则．提示： ．例8、设二阶可导，且，求 求．解：，则 ．例9、设是由方程组所确定的隐函数，求．解（一）因，有 而 ，故 ．解（二） 注意到，有 ．例10、设，求．解：，，则不存在，而 ， ．例11、求函数的导数．解： 当时，；当时，当时，故当时，；当时，在分段点-1处， 不存在在分段点1处， ．例12、对于函数 ,问选取怎样的系数才能使得处处具有一阶连续导数，但在处却不存在二阶导数．解：由 又，且而此时，则在处具有一阶连续的导数，从而处处具有一阶连续的导数因，且有，综上所述，当，，时，满足题意．例13、求．注：，其中是连续函数，存在．例14、设是连续函数，（1）令，则；（拆）（2）令，则（令，换）．例15、是由确定的函数，求． 解：对求导得，有在中令时，有，即，代入上式得．例16、，求，.解：由（1） 得由（2） 得则，将代入易得．例17、设是连续函数，且，则．解：将两端同时对求导得，令得，代入上式有．题型三 高阶导数的计算例1、求下列高阶导数：（1）设，求．（2）设，求．解： ．（3）设，求．（4）设，求，．解： ．三、课后练习1(A)、若，且,则．2(A)、设函数在处连续，下列命题错误的是(D)(A)若存在，则 (B)若存在，则 (C)若存在，则存在(D)若存在，则存在3(B)、设，则在=0处可导(C)(A) 存在 (B) 存在 (C)存在 (D) 存在注：设，在=0处具有右导数存在；不存在，因取（充分大）时，．4(B)、设在内有定义，且恒有，则必是的(C)(A) 间断点 (B) 连续而不可导点 (C) 可导点，且 (D) 可导点，且提示：，用夹逼定理可求出．5(A)、函数不可导点的个数是．6(A)、设可导，，则是在处可导的(A)(A) 充要条件 (B)充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件7 (B)、在点处不可导的充分条件为(B)(A) (B)(C) (D)8(A)、设函数在区间上连续，则是函数的(B)(A)跳跃间断点 (B)可去间断点 (C)无穷间断点 (D)振荡间断点9(A)、设，其中是有界函数，则在处(D)(A)极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导点10(B)、设在处连续，则下列命题正确的个数为(D)(1) 若，则 (2) 若，则 (3) 若，则 (4) 若，则(A) (B) (C) (D) 11(A)、设函数，其中为正整数，则=(A) (A) (B) (C) (D) 12 (B)、若，求证：.13、计算下列导数（微分）：（1）(A)设，则.（2）(A)设，求.（3）(A)若，则.（4）(A)若由确定，则.（5）(B)设，其中具有二阶导数，且，求.（6）(A)设，其中可导，且，则.（7）(A)设由所确定，则.（8）(B)设函数则.（9）(B)设，则.（10）(A)设，则.（11）(B)设函数，则当，.（12）(A)设连续，且，令，则.（13）(B)设连续，则 .（14）(A)由（）确定是的函数，则.（15）(B) 存在. 14(A)、设 问取何值时，可导？15(A)、设讨论在处的连续性. （连续）16(B)、设，求的导数，并讨论的连续性.提示：，，，连续.17(B)、设 若可导，求的导数.提示：.18(B)、设 ， 则.（用导数定义）。