数列求和习题精选精讲.doc

数列求和一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： [例1] 已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得： = ＝＝1－ [例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得 ， ∴ ＝＝＝ ∴ 当 ，即n＝8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积：设…②（设制错位）①－②得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴ [例4] 求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①…………② ①－②得 ∴ 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. [例6] 求的值解：设…………. ①将①式右边反序得：……② 又因为 ，①+②得 ： ＝89 ∴ S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴ ＝将其每一项拆开再重新组合得： Sn＝ ＝ = ＝五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）[例9] 求数列的前n项和.解：设，则 ＝[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解： 　 ∵ ∴ 数列{bn}的前n项和： ＝ ＝ [例11] 求证：解：设∵ ＝ ＝＝＝ ∴　原等式成立例2. 计算： 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. [例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ （找特殊性质项）∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0 （合并求和） [例13] 数列{an}：，求S2002.解：设S2002＝，由可得……∵ ∴　S2002＝= =＝＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值。

解：设由等比数列的性质 和对数的运算性质 得： ＝＝＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法. [例15] 求之和.解：由于 ∴ ＝ ＝＝＝[例16] 已知数列{an}：的值.解：∵ ＝＝ ＝ ＝数列的概念【知识点精讲】1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)通项公式不唯一）3、数列的表示:(1) 列举法:如1,3,5,7,9……;(2) 图解法:由(n,an)点构成;(3) 解析法:用通项公式表示,如an=2n+1(4) 递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-14、数列分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列5、任意数列{an}的前n项和的性质Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an 6、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性【例题选讲】例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项（1）-1,7,-13,19,…; (2)7,77,777,777,…; (3) (4)5,0,-5,0, 5,0,-5,0,…; (5)1,0,1,0,1,0,…;解：（1）an=(-1)n(6n-5); (2) (3) (4); (5); [点评]根据数列前几项的规律，会写出数列的一个通项公式。

练习:⑴⑵3,5,9,17,33,……⑶1,2,2,4,3,8,4,16,5,……..解：例2、已知数列 （1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项，为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由解：设（1）令n=10,得第10项；（2）令，此方程无自然数解，所以不是其中的项（3）证明：（4）令 [点评]数列问题转化为解方程和不等式问题，注意正整数解例3、下面各数列的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式. (1) Sn=2n2-3n (2) Sn= 3n-2 解: (1)当n≥2时,由于a1也适合此等式,所以(2)当n≥2时, [点评]已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1.即练习:已知数列的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,求{an}的通项公式解:由题意例4、有一数列{an}，a1=a，由递推公式an+1=，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写该数列的一个通项公式详见优化设计P37典例剖析之例2，解答过程略理科班学生可要求通项公式的推导：倒数法）变式：在数列{an}，a1=1，an+1=，求an。

详见优化设计P37典例剖析之例1，解答过程略[点评]对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如：迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差（比）数列公式，也很必要例5、已知数列{an}的通项公式试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.解:当n<9, 当n>9, 当n=9, 故所以, 数列{an}有最大项, 为第9,10项[点评] 求数列{an}的最大项,最小项,考虑数列的单调性,即通过对an的单调性进行讨论练习:已知则在数列{an}中的前30项中,最大项和最小项分别为什么?解:最大a10最小a9【课堂小结】1、 了解数列的概念、分类与表示法；2、 重点理解数列的通项公式，会求一些简单数列的通项公式，会根据通项公式和递推公式求数列的项；3、任意数列{an}的前n项和的性质Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an 4、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性【作业布置】 高考胜卷裂项法（一）    同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算   （一）阅读思考    例如 ，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：        即     或     下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

   【典型例题】    例1. 计算：     分析与解答：            上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了            像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法    例2. 计算：     公式的变式        当 分别取1，2，3，……，100时，就有                例3. 设符号（    ）、<    >代表不同的自然数，问算式 中这两个符号所代表的数的数的积是多少？    分析与解：减法是加法的逆运算， 就变成 ，与前面提到的等式 相联系，便可找到一组解，即     另外一种方法    设 都是自然数，且 ，当 时，利用上面的变加为减的想法，得算式     这里 是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即     又因为 是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即     上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。

    当 时， ，     当 时， ，     当 时， ，     当 时， ，     当 时， ，     当 时， ，     当 时， ，     当 时， ，     当 时， ，     故（    ）和<    >所代表的两数和分别为49，32，27，25   【模拟试题】    二.尝试体验：    1. 计算：        2. 计算：     3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求    【试题答案】    1. 计算：            2. 计算：                 3. 已知 是互不相等的自然数，当 时，求     的值为：75，81，96，121，147，200，361    因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有                         （二）    前一节我们已经讲过，利用等式 ，采用“裂项法”能很快求出 这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式： ，现利用这一等式来解一些分数的计算问题   【典型例题】    例1.     分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。

    下面我们用 ，现在给 、 一些具体的值，看看有什么结果    当 时，有     当 时，有。