2022年2022年几何证明专.pdf

1 几何证明：【例 1】 ．已知：如图6，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BEAD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠ BCE=90 °∠ ACD=90 °在△ ECB和△ ACD中∠ BCE= ∠BCA+ ∠ ACE BE=AD ∠ ACD= ∠ACE+ ∠ ECD ∠ BCE= ∠ACD ∴∠ ACB= ∠ ECD EC=CD ∵△ ECD为等边三角形∴△ ECB ≌△ DCA( HL ) ∴∠ ECD=60 ° CD=EC ∴BC=AC 即 ACB==60 °∵∠ ACB=60 °∴△ABC是等边三角形【例 2】 、如图，已知BC > AB ，AD=DC BD 平分∠ABC 求证：∠ A+∠C=180 °. 证明：在 BC 上截取 BE=BA, 连接 DE, ∴∠ A= ∠BED AD= DE ∵BD 平分∠ BAC ∵ AD=DC ∴∠ABD = ∠EBD ∴DE=DC 在△ABD 和△ EBD 中得 ∠DEC=∠C AB=EB ∵∠ BED+ ∠DEC=180 °∠ABD = ∠EBD ∴∠ A+ ∠C=180°BD=BD △ABD ≌ △EBD （SAS）1、线段的数量关系:通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

①倍长中线【例 . 3】如图，已知在△ABC 中，90C，30B，AD平分BAC，交BC于点D. 求证：2BDCD证明：延长DC 到 E，使得 CE=CD, 联结 AE ∵∠ ADE=60 °AD=AE ∵∠ C=90°∴△ ADE 为等边三角形∴AC⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA ∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠ B=30°∠ C=90°∴BD=2DC ∴∠ BAC=60 °∵AD 平分∠ BAC ∴∠ BAD=30 °∴DB=DA ∠ADE=60 °第 3 题DCBA图 6 DCBEADCBAE E 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 【例 4.】如图，D是ABC 的边 BC 上的点，且 CDAB ，ADBBAD，AE是ABD的中线求证：2ACAE 证明：延长AE 到点 F,使得 EF=AE 联结 DF 在△ ABE 和△ FDE 中∴∠ ADC= ∠ABD+ ∠BDA BE =DE ∵∠ ABE= ∠FDE ∠AEB= ∠FED ∴∠ ADC= ∠ADB+ ∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ ABE ≌ △FDE（SAS）在△ ADF 和△ ADC 中∴AB=FD ∠ ABE= ∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC ∵∠ ADC= ∠ABD+ ∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADBBAD∴AF=AC ∴AC=2AE 【变式练习】 、 如图，△ ABC中， BD=DC=AC， E是 DC的中点，求证：AD平分∠ BAE. 证明：延长AE 到点 F,使得 EF=AE 联结 DF 在△ ACE 和△ FDE 中∴∠ ADB= ∠ACD+ ∠CDA CE =DE ∵∠ ACE= ∠FDE ∠AEC= ∠FED ∴∠ ADB= ∠ADC+ ∠ FDE AE=FE 即 ∠ADB = ∠ADF ∴△ ACE ≌ △FDE（SAS）在△ ADF 和△ ADB 中∴AC=FD ∠ ACE= ∠FDE AD=AD ∵DB=AC ∠ADF = ∠ADB ∴DB = DF D F =DB ∵∠ ADB= ∠ACD+ ∠CAD ∴△ ADF ≌ ADB(SAS) ∵ AC=DC ∴∠ FAD= ∠BAD ∴ ∠CAD= ∠CDA ∴AD 平分∠ DAE 【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

变式练习】 ：如图所示， AD 是△ ABC 的中线， BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AC=BF 求证： AE=EF 证明：延长AD 至点 G，使得 DG=AD ，联结 BD 在△ ADC 和△ GDB 中∴BG= BF AD=GD ∴∠BFG=∠BGF ∠ADC= ∠GDB ∵∠ CAD = ∠BGD EDCBAF F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 OEDCBABD=DC ∴∠ BFG= ∠CAD ∴△ ADC ≌△ GDB （SAS）∵∠ BFG= ∠AFE 得 AC= BG ∠ CAD = ∠BGD ∴∠ AFE= ∠FAE ∵AC=BF ∴AE =AF ②、借助角平分线造全等【例 5】如图，已知在△ABC中，∠ B=60°，△ ABC的角平分线AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD 证明： 在 AC上截取 AF=AE , 联结 OF 在△ AOE和△ AOF中在△ ABC中，∠ B+∠BAD+ ∠ACB=180 ° AE=AF ∵∠ B =60 °∠ EAO= ∠FAO ∴∠ BAD+ ∠ACB=120 ° AO = AO ∵AD 平分∠ BAC ∴△ AOE ≌△ AOF （ASA ）在△ COD和 △COF中∴∠ BAC= 2∠OAC ∴∠ AOE= ∠AOE OE=OF ∠DCO = ∠FCO ∵CE平分∠ ACB ∵∠ AOE= 60° CO=CO∴∠ ACB= 2∠ACO ∠AOE+ ∠AOE+ ∠FOC=180 °∠DOC= ∠FOC ∴2∠OAC+2 ∠ACO=120 °∠FOC=6O °∴△ COD ≌△ COF（ASA ）∴∠ OAC+ ∠ACO=60 °∵∠ AOE= ∠COD ∴OD =OF∵∠ AOE= ∠OAC+ ∠ACO ∴∠ COD=60 °∵OE=OF∴∠ AOE= 60°∴OE=OD【例 6】 ．如图，△ ABC 中，∠ BAC=90 度， AB=AC ，BD 是∠ ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于F．求证： BD=2CE ．证明：延长BA，CE 交于点 F，在 ΔBEF和 ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE ，∠ BEF=∠BEC=90 ° ，∴ΔBEF ≌ΔBEC，∴EF=EC ，从而 CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90° ，故∠ 1=∠3在 ΔABD 和 ΔACF中，∵∠ 1=∠3，AB=AC ，∠ BAD= ∠CAF=90 ° ，∴ΔABD≌ΔACF，∴ BD=CF ，∴ BD=2CE DECABG F F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 FEDCBA【小结】 解题后的思考：于角平行线的问题，常用两种辅助线；②见中点即联想到中位线③旋转【例 7】正方形 ABCD中，E为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF ，求∠ EAF的度数 . ∴∠ GAE= ∠FAE 延长 EB到点 G ，使得 BG =BE ∠ DAF+ ∠BAF=90 °先证明△ ADF ≌ △ABE ∠GAB =∠FAD 可得到 AF =AG ∠ DAF = ∠GAB ∴∠ GAF = 90 °∵EF =BE +DF ∴∠ EAF = 45 °∴ EF = BE+BG =GE ∴△ GAE ≌ △FAE 【例 8】. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD为折痕，则CBD的大小为 ___90°；【例 9】 ．如图，已知∠ ABC= ∠DBE=90 °，DB=BE ，AB=BC ．(1)求证： AD=CE ，AD ⊥CE (2)若△DBE 绕点 B旋转到△ ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明提示：∠ ABC= ∠DBE =90°∴∠ ECB+ ∠AHB=90 °∴∠ABC-∠DBC= ∠ DBE -∠ DBC ∴∠ ECB+ ∠CHF=90 °即∠ ABD= ∠CBE ∴∠ HFC=90 °∴△ ABD ≌△ CBE ∴AD⊥ CE H AD=CE ∠BAD= ∠ ECB ∵∠ BAD+ ∠AHB=90 °【例 10】.如图在 Rt△ABC 中,AB=AC, ∠BAC=90 °,O 为 BC 中点 . (1)写出 O 点到△ ABC 三个顶点 A、B、C 的距离关系 (不要求证明 ) (2)如果 M、N 分别段AB、 AC 上移动 ,在移动过程中保持AN=BM, 请判断△O M NG 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 EDCBAFEDCBA的形状 ,并证明你的结论. 联结 OA 则△ OAC 和△ OABD 都为等腰直角三角形∴OA=0B=0C △ANO ≌ △BMO （∠ NOA= ∠OBM ）可得 ON=OM ∠ NOA= ∠MOB可得到∠ NOM= ∠AOB=90 °【例 11】如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形． （1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．AE=BF =CD AF=BD =CE ABC等边三角形DEF也是等边三角形得到∠ EFD=60 °∠ABC=60 °∵∠AFD= ∠FBD+ ∠FDB ∠AFD= ∠AFE+ ∠EFD ∴∠AFE= ∠BDF ∴△AEF ≌ △BFD 同理：△ AEF ≌ △CDE ④、截长补短【例 12】 、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分BAC，且 AD=BD ，求证： CD ⊥AC 【例 13】如图， AC ∥BD ，EA,EB分别平分∠ CAB,∠ DBA ，CD过点 E，求证 ;AB＝AC+BD CDBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【例 14】 如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在 BC ，CA上，并且 AP ，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP 证明：如图（ 1），过 O作 OD ∥BC交 AB于 D，∴∠ADO= ∠ABC=180 °－60°－40°=80°，又∵∠ AQO= ∠C+ ∠QBC=80 °，∴∠ADO= ∠AQO ，又∵∠ DAO= ∠QAO ，OA=AO，∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ，AD=AQ ，又∵OD ∥BP ，∴∠PBO= ∠DOB ，又∵∠ PBO= ∠DBO ，∴∠DBO= ∠DOB ，∴BD=OD，又∵∠ BPA= ∠C+ ∠PAC=70 °，∠BOP= ∠OBA+ ∠BAO=70 °，∴∠BOP= ∠BPO ，∴BP=OB ，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ例 15】 ．如图，在△ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别平分∠ BAC 、∠ ACB ，求证： AC=AE+CD ．方法同【例5】PQCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 【例 16】已知：∠ 1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证： EF=AC 延长 FD 至点 G，联结 CG 先证明△FDE ≌ GDC 得 ∠EFD = ∠CGD FE = CG ，EF//AB ∠ EFD =∠ 1 ∠CGD=∠1 ∵∠ 1=∠ 2，∴∠ 2=∠CGD ∴ AC= CG ∵FE = CG ∴EF=AC 【例 17】 如图，ABC为等边三角形，点,M N分别在,BC AC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。

求AQN的度数先证明△ABM ≌ △BCN (SAS) 可得∠ CBN = ∠ BAM ∠AQN=∠ABQ+∠BAQ ∵∠BAM= ∠CBN ∴∠AQN=∠ABQ+∠CBN 即∠AQN=∠ABC = 60°（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”【例 18】：如图，ΔABC中，AB=AC ，E是 AB上一点， F 是 AC延长线上一点，连EF交 BC于 D，若 EB=CF 求证： DE=DF 证明：过 E作 EG//AC交 BC于 G ，则∠EGB= ∠ACB ，又 AB=AC ，∴∠ B=∠ACB ，∴∠B=∠EGB ，∴∠ EGD= ∠DCF ，∴EB=EG=CF，∵∠EDB= ∠CDF ，∴ΔDGE ≌ΔDCF ，∴DE=DF 【例 19】已知： 如图， 在四边形 ABCD 中，AD ∥BC，BC = DC ，CF 平分∠ BCD ，DF∥AB， BF 的延长线交DC 于点 E. 求证： （1） △BFC≌△ DFC；（ 2）AD = DE. 联结 BD EFDABCG G 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 证明：∵ CF 平分∠ BCD ∴∠ ADB= ∠CDB ∴∠ BCF=∠DCF ∵DF∥ AB 在△ BCF 和△ DCF 中∴∠ ABD= ∠BDF BC=CD BF=DF ∠BCF= ∠DCF ∴∠ FDB= ∠FBD CF=CF ∴∠ ABD= ∠FBD ∴△ BCF ≌ △DCF（ SAS）在△ ABD 和△ EBD 中∴BF=DF ∠ ABD= ∠EBD (2) ∵AD ∥BC BD=BD ∴∠ADB = ∠CBD ∠ADB= ∠EDB ∵BC = DC ∴△ ABD ≌ △EBD （ASA ）∠CBD= ∠CDB ∴ AD = DE 【课堂练习】1．如图，已知AE 平分∠ BAC ，BE 上 AE 于 E，ED∥AC，∠ BAE=36 °，那么∠ BED= 126°延长 AE交 AC于 F 2．如图： BE⊥AC ，CF⊥AB，BM=AC ，CN=AB 。

求证：（1）AM=AN ； （2）AM ⊥AN 试卷上面的已讲】FBCAMNE1234名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 综合题：已知在△ ABC 中，45ABC，高AD所在的直线与高BE所在的直线交于点F，过点F作 FG ∥BC，交直线AB于点G, 联结CF. （1）当△ ABC 是锐角三角形时（如图a 所示） ， 求证： ADFGCD ；（2）当BAC 是钝角时（如图b 所示） ，①写出线段AD、 CD 、 FG 三者之间的数量关系，不必写出证明过程，直接写结论；②当BEFE,4BD时，求 FG 的长 . 可知△FDC 和△ AFG 都为等腰直角三角形图（ b）中∴FD=DC AF =FG △ABD 和△ AFG 都为等腰直角三角形∵AD=AF+FD △ADC ≌ △BDF ∴AD=FG+DC DC = FD FD=AF +AD CD=FD GFEDCBA第 27（a）题GFEDCBA第 27（b）题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 【总结】常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” ．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移” 或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - 。