112 集合间的基本关系讲义.docx

1.1.2集合间的基本关系一、子集（一）子集： 对于两个集合 A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A匸B （或B口A）,读作“A含于B”（或“B包含A”）子集对于空篦，我们规同匚A,即空集是任何集合的子集例1：用适当的符号填空0 {0} 0 {0}2 {2} 2N{2}N变式练习1 :已知A={x 1x2—3x+2=0}, B = {1,2}，C = { x 1 x<8,xGN },用适当的符号填空A B AC {2}C2 C例2：写出集合{a,b，c，d}的所有子集解析】集合{a,b，c,d}的所有子集可以分为五类，即:（1） 含有0个元素的子集，即空集0 ；（2） 含有一个元素的子集：{a},{b},{c},{d}；（3） 含有二个元素的子集：{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}；（4） 含有三个元素的子集:{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}；（5） 含有四个元素的子集:{a,b,c,d}.结论：如果集合A中有n个元素，则集合A共有加个子集变式练习1 :已知集合A-{xGN+|-1

解析】：8个 _____（二）、集合相等：如果集合a是集合b的子集（A匸B）,且集B） \ 合B是集合A的子集（B U A）,则集合A与集合B相等，记作集合A=集合B即：AUB 且B U A则A=B上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同）例3 :已知集合A和集合B都是含三个元素的集合，且集合A={a, a+b, a+2b}, B = {a, ac， ac2}，若AUb且 B U A,求c的值la + b = ac【解析】(l)若消去b得：ac2+a—2ac = 0,I a + 2b = ac 2a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故aMO.•°・c2—2c+1=0,即c=1,但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解.la + b = ac 2(2)若彳 消去 b 得：2ac2—ac—a=O，a + 2b = ac*.*aM0，A2c2—c —1=0,即(c — 1) (2c+1) =0,又 cM 1，故 c=——变式练习：已知集合A和集合B都含有三个元素，A={x, xy, x —y}, B = {O,I x I, y}，若A U B且B U A, 求2x+y的值。

解析】：•由集合的互异性，• x—y=0,则x=y,此时A={x, x2, 0}, B = {0,| x I, x}，则x2=| x I且xM x2,故 x = y= —1,此时 A={ —1, 1, 0}, B = {0, 1,—1}，符合题意，综上所述，2x+y= — 3二)、真子集：如果集合AUB,但存在元素xGB, 且 x电A,我们称集合A是集合B的真子集记：A学B (或B茅A)A真含于B B真包含A注意：即如果AUB且AMB,那么集合A是集合B的真子集，记作A学B (或B最A)例如{1, 2}学N、{a, b}学{a, b, c}等子集与真子集的区别在于“AUB ”允许 A = B 或 A至B ,而 A与B 是不允许“ A=B ”的，所以如果 A学B 成立，则一定有 A UB 成立：但如果有 A UR 成立，A审号不一定成立空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集例4：分别写出集合{a}, {a, b}和{a, b, c}的所有子集和真子集集合{a}的子集有0 , {a}，共有2个子集；真子集有{a},共1个真子集集合{a, b}的子集有° , {a}, {b}, {a, b},共有4个子集；真子集有° , {a}, {b}，共3个真子集。

集合{a, b, c}的子集有：° , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c},共有 8 个即个子集：真子集有 °,{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}，共 7 个真子集结论：如果集合A中有n个元素，一则集合A共有2»个子集：2 n—1个真子集例 5：有适当的符号填空1) A={2, 3, 6} B = {x I x 是 12 的约数} A B(2) A={0, 1} B = {x I x2 + y2=1, y^N} A B(3) A={x I —10, y>0} A B(5) A={xI x2=1} B={yI y2—2y+4=0} A B【解析】：（1）审（2）审（3）审（4）审（5）茅变式练习1 :已知集合A={0, 1}, B = {z|z=x+y, xWA, y^B }，则B的子集有（）A： 8 个 B： 2 个 C： 4 个 D： 7 个【解析】：集合 B 中有 3 个元素,子集有 8 个。

Ax +1变式练习2:已知集合A-{xGZ | 5 0}, B = {y|y=x2+1, x^A},则集合B的含有元素1的子集个数为x - 3（）A： 5 B： 4 C： 3 D： 2【解析】：A={ xWZ |—1WxV3} = { —1, 0, 1, 2}，则B = {1, 2, 5},则集合B的含有元素1的子集有{1}, {1, 2}, {1, 5}, {1, 2, 5} 共四个, B变式练习 3：已知 a={x | x= a + 1, a EZ}, B = {x | x=g — 1 , b EZ}, C = {x | + 1, c EZ},则6 2 3 2 6集合A、B、C满足的关系是（）A： A=B宰C B： A旱B = C C： A罚宰C D： B孕C学A【解析】：A={6x | 6x=6a +1, a EZ}, B = {6x | x=3a — 2 =3（a —1） + 1, b EZ}, C = {6x | x= 3c +1, c e Z}则 A旱B = C B变式练习 4 :已知 A— {x | y— x2 — 2x +1 }, B — {y | y— x2 — 2x +1 }, C —{x | x2 — 2x +1 —0}, D — {x |x2 一 2x + 1 <0}, E—{（x, y） | y— x2 一 2x + 1},则下列结论正确的是（ ）A： AUBUCUD B： D学C罚审A C： B—E D： A—B【解析】：B变式练习5:若集合a满足{1, 2} U a U {1, 2, 3, 4}，则满足条件的集合A的个数为 个。

解析】：4个二、子集的有关性质1-空集e :我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为e，并规定：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，即空集上只有一个子集就是它本■身，.而空集没有真子集2、子集与真子集的性质（1） 任何集合是它本身的子集，即AU A；（2） 对于集合A、B、C,如果AUB且BUC,那么AUC；（3） 对于集合A、B、C,如果A宰B，且B宰C，那么A孕C；（4） 空集e是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集例 5：下列集合只.有.一.个.子.集.的是（)A： {x I x2<0} B： { x I x3W0}C： { xIx2< 0}D： { x I x3>0}【解析】： C例 6：下列表述正确的是（ ）A： e —{0} B： e U{0} C：e □ {0}D： e E{0}【解析】： B例 7：设 A—{x I 2m—1

解析】一2m—1< —3<52m—1时，即m<2；(2)若B# 0，则m满足\m +1 > —2解之得2Wm2m — 1 < 5W3,综上所述，mW3变式练习 2：已知函数 f(x)= x2 + ax + b ( a、b er)，且集合 A={x I x=f(x) }, B = {x I x=f [ f (x) ] },(1)求证：AUB?； (2)当A={ —1, 3}时，用列举法表示Bo【解析】：(1)任取 xEA，则有 x=f(x)，则 f [ f (x) ] =f [ x] =x，故 xEB,故 AUb；(2)T A={ —1, 3},故—1 二 1 — a + b3 二 9 + 3a + b 得a = —1b _ 3，故 f(x)= x 2 — x — 3,.・.f[f(X)]= (x2 — x — 3)2 — (x2 — x — 3) — 3，故(x2 — x — 3)2 — (x2 — x — 3) — 3 =x(x 2 — x — 3)2 — x 2 _ 0 ,.x = 3, x= —1, x= ± y 3，故 B = { —1, 3, 、：3 ,—・3}课后综合练习1、下列关系中正确的个数为 ( )①0E{0},②e^{0},③{0, 1}U{(0, 1)},④{(a , b)} = {(b , a)}A： 1B： 2C： 3D： 4【解析】：B2、下列图形中，表示MUN的是()解析】： Cb }，则 b — a =(3、设a、b wr,集合{1, a + b , a } = {o.A：1 B: — 1 C： 2 D： —2【解析】：CI7 1 7 94、 设集合A={x | x= — k + 4 , k WZ},若x= ，则下列关系正确的是()A： x 电 A B： xWA C. {x}WA D. {x}电 A【解析】：A5、 用适当的符号填空：(1) 0 {xlx2—1=0}；(2) {1, 2, 3} N；(3) {1} {x I x2—x=0}； (4。