重积分的极坐标计算方法.ppt

§8. 二重积分在极坐标系下的计算方法二重积分在极坐标系下的计算方法 1. 极坐标的意义和极坐标与直角坐标的转换公式极坐标的意义和极坐标与直角坐标的转换公式 2. 二重积分在极坐标系下的形式二重积分在极坐标系下的形式 3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式4. 平面区域的极坐标表示法实例平面区域的极坐标表示法实例 将平面区域视为分布在某个角度内的将平面区域视为分布在某个角度内的无穷条射线（段）束的组合无穷条射线（段）束的组合  6. 用极坐标计算二重积分操作步骤与实例用极坐标计算二重积分操作步骤与实例ii) 写出二重积分区域写出二重积分区域 D 在极坐标下在极坐标下 的表示形式的表示形式 ( 这是关键）这是关键）;iii) 把二重积分化为极坐标下的累次积分（先积把二重积分化为极坐标下的累次积分（先积 r 后积后积   的内外两个的内外两个 定积分）定积分）;iv) 视视   为参数，先对为参数，先对 r 计算内层定积分计算内层定积分; 再对再对   计算外层定积分。

计算外层定积分 5. 二重积分在极坐标系下的累次积分公式二重积分在极坐标系下的累次积分公式i) 画出区域的草图；画出区域的草图；例例 计算二重积分：计算二重积分： ，其中，其中 D 是由曲线是由曲线-aa 和直线和直线 y = - x 围成的区域围成的区域2000年考研数学试题）年考研数学试题）11/2解：区域解：区域 D 如图所示如图所示. （（1998年考研数学试题）年考研数学试题） 7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关；积分区域是圆的一部分或与圆有关；ii)被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标iii) 下的定积分计算不便或根本无法计算）下的定积分计算不便或根本无法计算）例 计算二重积分 ，其中 D 由直线 x = 0 , y = 0 与 x + y = 1 所围成。

解：区域 D 如图所示.xyD 8. 利用函数可加性和区域可加性分别用直角坐标和极坐利用函数可加性和区域可加性分别用直角坐标和极坐标计算二重积分的实例标计算二重积分的实例（（1）利用被积函数可加性问题）利用被积函数可加性问题例 计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 和直线 x = -2 , x 轴， y = 2 围成的区域1999年考研数学试题）解：区域 D 如图所示.-221DD1（（2）利用区域可加性分别用直角坐标和极坐标计算问题）利用区域可加性分别用直角坐标和极坐标计算问题  9. 极坐标系下累次积分与直角坐标系下累次积分的互极坐标系下累次积分与直角坐标系下累次积分的互 换问题换问题 (1) 直角坐标系下累次积分化为极坐标系下累次积分问题直角坐标系下累次积分化为极坐标系下累次积分问题(2) 极坐标系下累次积分化为直角坐标系下累次积分极坐标系下累次积分化为直角坐标系下累次积分 10. 计算二元分块计算二元分块函数的二重积分问题函数的二重积分问题  其中其中 D1 为为 D 在第一象限的部分；在第一象限的部分；根据区域关于根据区域关于 x 、、y 轴的对称性，被积函数关于轴的对称性，被积函数关于 x 、、y 的偶性的偶性 11. 给定等式中含有未知函数二重积分求该未知函数问题给定等式中含有未知函数二重积分求该未知函数问题  12. 无穷区域上的二重积分的计算方法无穷区域上的二重积分的计算方法 例 计算广义积分 解：因为 RDRD (全平面） 13. 利用二重积分计算或证明定积分或广义积分问题利用二重积分计算或证明定积分或广义积分问题 。