2022年湖北省黄冈市红安第一中学高三数学文摸底试卷含解析.docx
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2022年湖北省黄冈市红安第一中学高三数学文摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. A. B. C. D. 参考答案：C2. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于A、B两点，则弦AB的长等于 A. B. C. D.1参考答案：B圆心到直线的距离，所以，即，所以，选B.3. 若函数在是增函数，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．参考答案：D略4. 对任意的实数x都有f（x+2）﹣f（x）=2f（1），若y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，且f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=（ ）A．0 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件判断函数f（x）是偶函数，结合条件关系求出函数的周期，进行转化计算即可．【解答】解：y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数f（x）是偶函数，令x=﹣1，则f（﹣1+2）﹣f（﹣1）=2f（1），即f（1）﹣f（1）=2f（1）=0，即f（1）=0，则f（x+2）﹣f（x）=2f（1）=0，即f（x+2）=f（x），则函数的周期是2，又f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=f（1）+f（0）=0+2=2，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键．5. 设变量x, y满足约束条件,则的最大值为( )A.-2 B.2 C.3 D.4参考答案：C6. 在中，是角的对边，，，则（ ）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：由得，又，由正弦定理可得.考点：同角关系式、正弦定理．7. 以下命题：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40．②线性回归直线方程恒过样本中心(，)，且至少过一个样本点； ③复数 (a∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点为M，则“a<0"是“点M在第四象限”的充要条件． 其中真命题的个数为 A．0 B． 1 C．2 D．3 参考答案：B8. 已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且?n=?，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9. 如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的全面积为A． B． C． D．参考答案：A10. 当直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|有3个公共点时，实数k的取值范围是( ) A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，1]参考答案：C考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：数形结合．分析：要求满足条件直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|有3个公共点时，实数k的取值范围，我们可以画出直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|图象，有且仅有三个交点时实数k的取值．解答： 解：直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|的图象如图所示，由图可知直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|当a=1时，有且仅有两个交点，当0＜a＜1时时，直线y=kx与曲线y=e|lnx|﹣|x﹣2|有3个公共点，实数k的取值范围是（0，1）故选C．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，画出函数的图象，进而利用图象法进行解答是解答本题的关键．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最大值为_______参考答案：1【分析】因为，所以可以把函数解析式化简，再逆用两角差的正弦公式化简函数解析式，利用正弦函数的性质求出最大值.【详解】, 所以，因此的最大值为1.【点睛】本题考查了二角差的正弦公式的逆用，正弦型函数的最值，考查了三角恒等变换.12. 已知A(7,1),B(1,4)，曲线ax-y=0与线段AB交于C,且，则实数a=___参考答案：113. 在区间上随机取一实数，则该实数满足不等式的概率为 ．参考答案：由不等式，可得，所以所求概率为。
14. 若双曲线－=1的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为 ．参考答案：2双曲线的一条渐近线方程为，因为与方程为的圆相切，所以，即，又，所以，故15. .已知平面内两个定点和点，P是动点，且直线PM, PN的斜率乘积为常数，设点P的轨迹为C.① 存在常数，使C上所有点到两点(－4,0),(4,0)距离之和为定值；② 存在常数，使C上所有点到两点(0,－4),(0,4)距离之和为定值；③ 不存在常数，使C上所有点到两点(－4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值；④ 不存在常数，使C上所有点到两点(0,－4),(0,4)距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）参考答案：②④【分析】由题意首先求得点P的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.【详解】设点P的坐标为：P（x，y），依题意，有：，整理，得：，对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，椭圆方程为：，则，解得：，符合；对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，不可能成为焦点在y轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，正确.所以，正确命题的序号是②④.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 （结果用最简分数表示）．参考答案：考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：所有的选法共有43=64 种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有 =24种，由此求得这3名学生选择的选修课互不相同的概率．解答：解：所有的选法共有43=64 种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有 =24种，故这3名学生选择的选修课互不相同的概率为 =，故答案为 ．点评：本题主要考查等可能事件的概率，分步计数原理的应用，属于中档题．17. 已知抛物线上两点的横坐标恰是方程的两个实根，则直线的方程是 ▲ ． 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且，数列{bn}满足，.（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记数列的前n项和为Tn，证明：.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【分析】（I）利用即可得出an. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得得出数列的通项公式并裂项，再利用“裂项相消法”即可得出Tn，证得结论．【详解】（I）由，当时，，两式相减得，所以数列是公比为2的等比数列，而，得，的通项公式为.（Ⅱ）由，得，即，所以.【点睛】本题考查了数列前n项和与数列通项公式间的关系：、考查了裂项的技巧及“裂项相消法”求和的方法，属于中档题.19. （本小题满分12分）已知数列的前n项和为且，，数列满足，.(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)求数列的前n项和.参考答案：(1)由Sn=，得： 当n=1时，；……………………………………………………（2分）当n2时，，n∈N﹡.由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡. ……………………………（5分）（2）由（1）知，n∈N﹡……………………………（6分）所以，……………………………（8分），……………………………（10分），，n∈N﹡. ……………………………（12分）20. 已知a∈R，函数f（x）=x2﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）讨论y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点个数．参考答案：考点：二次函数的性质． 专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）把绝对值函数化为分段函数，继而求出函数的最小值；（Ⅱ）设h（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|，分a＞1，a=1，a＜1三种情况讨论，其中a＞1，和a＜1时，还要继续分类讨论，根据二次函数的性质即可得到答案．解答： 解（Ⅰ）当a=1时，，故；（Ⅱ）设h（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|，当a＞1时，，1、x≥a时，h（a）=a＞0，对称轴，无零点．1≤x＜a时，x1=0（舍去），x2=a﹣1，所以（ⅰ）a≥2时，一个零点；（ⅱ）1＜a＜2时，x＜1时，△=a2+10a+1＞0，对称轴，h（1）=2﹣a所以（ⅰ）a≥2时，一个零点；（ⅱ）1＜a＜2时，两个零点．综上所述，a＞1时，h（x）有两个零点，即y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点有2个，2．a=1时，，即y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点有2个，3．a＜1时，…x≥1时，对称轴，h（1）=a．所以（ⅰ）a≤0时，一个零点；（ⅱ）0＜a＜1时，无零点．a≤x＜1时，x1=0（舍去），x2=1﹣a，所以（ⅰ）时，一个零点；（ⅱ）时，无零点．x＜a时，△=a2+10a+1，对称轴，h（a）=a（2a﹣1）所以（ⅰ）时，对称轴，h（a）=a（2a﹣1）＞0，无零点；（ⅱ）时，△=a2+10a+1＜0，无零点；（ⅲ）时，，一个零点；（ⅳ）或时，△=a2+10a+1＞0，对称轴，h（a）=a（2a﹣1）＞0，两个零点；（ⅴ）时，h（a）=a（2a﹣1）≤0，一个零点，综上，（ⅰ）或a＞0时，y=。
